創(chuàng)造 擇優(yōu) 規(guī)范
——“多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的筆算”單元整合教學(xué)實(shí)踐

□ 張晗芬

乘除法是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的重要內(nèi)容，北師大版教材將“多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的口算與筆算”教學(xué)安排在三年級(jí)，上冊(cè)教學(xué)乘、除法的口算及乘法的筆算；下冊(cè)教學(xué)除法的筆算。筆者圍繞這一內(nèi)容，從分析學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑開(kāi)始，進(jìn)行了相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐研究。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)的兩個(gè)困惑點(diǎn)

（一）為什么乘法豎式要并成一層，而除法豎式卻要分成兩層？

筆者針對(duì)“12×4”的乘法豎式在3 個(gè)班進(jìn)行了前測(cè)，發(fā)現(xiàn)40%左右的同學(xué)列出兩種分層的豎式（如圖1），從結(jié)果看兩種豎式都準(zhǔn)確地求出了積，從過(guò)程看，兩種豎式也沒(méi)有邏輯錯(cuò)誤。

圖1 部分學(xué)生列出的乘法豎式

圖2 教材中的豎式

教材借助智慧老人的話“乘法豎式通常這樣寫(xiě)”規(guī)范了豎式書(shū)寫(xiě)格式（如圖2），學(xué)生往往是用被動(dòng)接受的方式接納這種方法，不一定明白規(guī)定背后的道理。

在學(xué)了乘法豎式后，筆者針對(duì)“68÷2”的除法豎式又對(duì)這3個(gè)班進(jìn)行了前測(cè)，發(fā)現(xiàn)80%以上的學(xué)生采用了一層豎式的格式（如圖3）。

圖3 部分學(xué)生列出的除法豎式

可見(jiàn)，乘法豎式給除法豎式帶來(lái)了負(fù)遷移，雖然教材編排了“分小棒”的操作，但分小棒的方法很多，教材中“先整捆再單根”的分法似有刻意迎合除法豎式格式之嫌，學(xué)生對(duì)“為什么乘法豎式并成一層，而除法豎式卻要分成兩層”依舊充滿困惑。

（二）為什么乘法要從低位算起，而除法卻要從高位算起？

筆算乘法要從低位乘起，如計(jì)算48×2，先計(jì)算8×2=16，把1（也就是10）寫(xiě)在進(jìn)位處，將6 記錄在個(gè)位上，再計(jì)算4×2=8（實(shí)際是40×2=80），將8（80）加上進(jìn)位的1（10）等于9（90），在十位記錄下來(lái)。但讓學(xué)生感到困惑的是口算乘法時(shí)，一般從高位乘起，如同樣計(jì)算48×2，先算“40×2=80”，然后算“8×2=16”，再將兩次乘得的積相加，得到80+16=96。雖然教師會(huì)用“不容易出錯(cuò)”等原因做出解釋，但這還是會(huì)讓很多學(xué)生感到不解。

同樣，口算除法“68÷2”時(shí)，是先算“60÷2”，還是先算“8÷2”，在數(shù)學(xué)邏輯上沒(méi)有本質(zhì)差別，但豎式計(jì)算一般統(tǒng)一規(guī)定為從高位除起，教材借助分小棒的操作活動(dòng)解釋這個(gè)規(guī)定，難以令學(xué)生心服口服，同樣也是學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)的三個(gè)體驗(yàn)點(diǎn)

豎式教學(xué)中，如果只將規(guī)范格式告訴學(xué)生，就是靜態(tài)的教學(xué)。只有站在創(chuàng)造的角度，將學(xué)生的思維激活，才是動(dòng)態(tài)的教學(xué)。乘除法豎式的學(xué)習(xí)要實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)教學(xué)，有以下三個(gè)不可或缺的體驗(yàn)點(diǎn)。

（一）豎式是對(duì)口算過(guò)程的簡(jiǎn)便記錄

豎式的本質(zhì)就是對(duì)口算過(guò)程的簡(jiǎn)便記錄?？谒闶浅顺ㄘQ式的生長(zhǎng)點(diǎn)，“12×4”和“68÷2”都是分別計(jì)算兩次再把所得的結(jié)果相加。教學(xué)中可以嘗試讓學(xué)生重走豎式的創(chuàng)造之路，在知識(shí)的形成過(guò)程中體會(huì)豎式是對(duì)口算過(guò)程的簡(jiǎn)便記錄，這是學(xué)生在乘除法計(jì)算相關(guān)學(xué)習(xí)中不可或缺的體驗(yàn)。

（二）基于算理的豎式都是好的創(chuàng)造

以下形式的豎式，幾乎在每個(gè)班的學(xué)生中都會(huì)出現(xiàn)（如圖4）。

圖4 學(xué)生獨(dú)立列出的“豎式”

不同的豎式都是學(xué)生自己的精彩創(chuàng)造，甚至也是古人曾經(jīng)的創(chuàng)造。教學(xué)中教師應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生基于算理創(chuàng)造豎式，并尋找每一種創(chuàng)造蘊(yùn)含的道理，讓學(xué)生在創(chuàng)造的過(guò)程中打開(kāi)思維，深度理解豎式計(jì)算的算理，這是學(xué)生學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的體驗(yàn)點(diǎn)。

（三）規(guī)范格式是使用中的主動(dòng)擇優(yōu)

豎式計(jì)算法則是一種規(guī)定，規(guī)定的得來(lái)需要充分的理由。教學(xué)中把乘除法豎式放在一起思考，學(xué)生更容易感悟“普適性”這一法則規(guī)定的原則，現(xiàn)在豎式的計(jì)算法則其實(shí)是各種不同的豎式在使用過(guò)程中人們擇優(yōu)的結(jié)果，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容需要經(jīng)歷的體驗(yàn)。

三、基于“創(chuàng)造、擇優(yōu)、規(guī)范”的視角開(kāi)展單元整合教學(xué)

為了有效地突破困惑點(diǎn)，夯實(shí)體驗(yàn)點(diǎn)，更好地運(yùn)用乘法豎式創(chuàng)造過(guò)程中兩層寫(xiě)法對(duì)除法豎式的遷移作用，筆者對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行了單元整合教學(xué)實(shí)踐，利用乘除法豎式“本質(zhì)同形式異”這一特點(diǎn)嘗試結(jié)構(gòu)化教學(xué)，助力學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。為了體現(xiàn)延續(xù)性，整合過(guò)的上下冊(cè)內(nèi)容均在同一個(gè)班進(jìn)行教學(xué)，整合的方式如表1所示。

表1 “多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的筆算”單元整合教學(xué)結(jié)構(gòu)調(diào)整表

（一）單元整合的依據(jù)

整合就是通過(guò)協(xié)調(diào)、融合，將零散的要素組合在一起，主要體現(xiàn)在教材重組中，通過(guò)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的順序、合并或增加部分內(nèi)容、改變教學(xué)方式等途徑，試圖達(dá)到學(xué)科內(nèi)知識(shí)點(diǎn)的整合。

1.改造學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的需要

在對(duì)“12×4”“68÷2”列豎式的前測(cè)中可以看出，學(xué)生對(duì)如何列豎式有屬于自己的個(gè)性化學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（如圖4）。但通過(guò)訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)豎式的由來(lái)不清楚，對(duì)規(guī)定背后的道理也不清楚。單元整合教學(xué)可以更好地改造學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生更深刻地理解規(guī)定背后的道理。

2.打通教材編排的需要

教材中乘除法豎式的規(guī)范格式學(xué)生不容易理解，當(dāng)學(xué)生用兩層的形式記錄口算乘法時(shí)，教材借助智慧老人“乘法豎式通常這樣寫(xiě)”的話語(yǔ)把兩層規(guī)范成了一層；當(dāng)學(xué)生利用乘法豎式的經(jīng)驗(yàn)把“68÷2”的豎式也寫(xiě)成一層時(shí)，教材又借助分小棒的操作告訴學(xué)生應(yīng)該寫(xiě)成兩層。按照教材教學(xué)，往往教得生硬學(xué)得被動(dòng)。單元整合教學(xué)可以有效利用乘法豎式過(guò)程中出現(xiàn)的兩層經(jīng)驗(yàn)助力學(xué)生理解除法豎式的規(guī)范格式。

3.實(shí)現(xiàn)自我生長(zhǎng)的需要

豎式的規(guī)定之所以讓學(xué)生感到生硬，是因?yàn)槠浔桓盍褳橐粔K獨(dú)立的空間，缺少算理的支持和學(xué)生自身的體驗(yàn)，難以與學(xué)生的既有水平銜接。單元整合教學(xué)可以抓住口算這一生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)記錄口算驅(qū)動(dòng)學(xué)生創(chuàng)造豎式，在充分的體驗(yàn)與交流中實(shí)現(xiàn)主動(dòng)擇優(yōu)。

（二）單元整合的教學(xué)目標(biāo)

在充分理解教學(xué)內(nèi)容、了解學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑與需求后，筆者將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，確定了每課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（如表2）。

表2 “多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的筆算”單元整合教學(xué)目標(biāo)

（三）單元整合的教學(xué)實(shí)踐

1.創(chuàng)造：聯(lián)系中理解豎式的算理

乘除法豎式對(duì)成人來(lái)講是已有經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)兒童來(lái)講是在自己經(jīng)驗(yàn)之上的創(chuàng)造，是兒童自己獨(dú)有的精彩觀念。

（1）復(fù)習(xí)口算，為豎式的創(chuàng)造明確起點(diǎn)。

數(shù)學(xué)是講道理的，計(jì)算課的道理在算理，豎式的道理是對(duì)口算方法的記錄。

教學(xué)中先安排20 分鐘短課復(fù)習(xí)乘除法口算（主要內(nèi)容如圖5），然后在對(duì)比溝通中提煉出兩位數(shù)乘或除以一位數(shù)口算“分別計(jì)算兩次，再把兩次所得的結(jié)果相加”的相同點(diǎn)，為豎式的研究做好認(rèn)知鋪墊。

圖5 乘除法口算復(fù)習(xí)

（2）記錄口算，為豎式的創(chuàng)造搭建支架。

通過(guò)問(wèn)題“你能想辦法把12×4 的口算過(guò)程記錄下來(lái)嗎”驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)乘法的研究，學(xué)生創(chuàng)造出了畫(huà)圖、表格、豎式等不同的記錄方法（如圖6）。交流中大家發(fā)現(xiàn)用豎式記錄更方便，而且三種不同形式的豎式都與口算有關(guān)聯(lián)，既關(guān)聯(lián)算理也為后面兩層除法豎式的創(chuàng)造埋下伏筆。

圖6 學(xué)生對(duì)計(jì)算過(guò)程的記錄

在此基礎(chǔ)上請(qǐng)學(xué)生直接創(chuàng)造除法豎式。學(xué)生創(chuàng)造出了三種不同的豎式（如圖7），從前兩種豎式可以清楚地看出除了兩次，但除的順序不同，而第三種豎式除兩次的過(guò)程不如前兩種清晰。三種豎式相加的過(guò)程都比乘法豎式更隱蔽。

圖7 學(xué)生創(chuàng)造的“豎式”

（3）反饋評(píng)議，為學(xué)生的創(chuàng)造點(diǎn)贊。

學(xué)生創(chuàng)造的豎式不一定規(guī)范，但都不違背算理，并且學(xué)生在創(chuàng)造的過(guò)程中真正理解了豎式的簡(jiǎn)潔性，進(jìn)一步體會(huì)到乘除法豎式的算理。所以反饋評(píng)議的過(guò)程是對(duì)學(xué)生創(chuàng)造的肯定，同時(shí)提出下節(jié)課要思考的問(wèn)題：“這么多種豎式，到底哪一種更實(shí)用，更適合作為統(tǒng)一的規(guī)定呢？”

2.擇優(yōu)：思辨中感悟規(guī)定的普適性

學(xué)生創(chuàng)造了多種不同的豎式，但教材中給出的豎式只有一種。讓學(xué)生體會(huì)到規(guī)定的合理性是第三課時(shí)的目標(biāo)，因此筆者給學(xué)生安排了50 分鐘的探究、交流時(shí)間。

（1）明確標(biāo)準(zhǔn)，自主體驗(yàn)嘗試擇優(yōu)。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生思維，并能使他們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！边@么多合乎算理的創(chuàng)造，哪一種適合作為統(tǒng)一的規(guī)定？引導(dǎo)學(xué)生交流得出“簡(jiǎn)便、清楚”的標(biāo)準(zhǔn)后，就放手讓他們畫(huà)一畫(huà)、分一分、算一算，給足學(xué)生自主探究的空間（如圖8）。

圖8 嘗試擇優(yōu)的過(guò)程

（2）交流思辨，舉例論證達(dá)成共識(shí)。

數(shù)學(xué)是一門(mén)思辨的學(xué)科，計(jì)算課同樣需要讓學(xué)生在思辨中體驗(yàn)、對(duì)比，發(fā)現(xiàn)算法，并深入地理解算理。

對(duì)學(xué)生創(chuàng)造的三個(gè)乘法豎式，教師提出問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考：為什么只要一層？?jī)蓪釉趺床缓茫繎?yīng)從哪位乘起，為什么？學(xué)生在交流中道出了兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法豎式的真諦：“如果乘數(shù)是三位數(shù)、四位數(shù)，那豈不是要很多層了？容易出錯(cuò)?！薄昂竺嬗心敲炊?，我們?nèi)菀装褦?shù)位對(duì)錯(cuò)?！薄拔覀?cè)谧黾臃〞r(shí)也是這樣進(jìn)位的?！薄叭绻麖氖凰闫?，個(gè)位有進(jìn)位的話，十位不是又得擦掉了？”

學(xué)生對(duì)三個(gè)除法豎式的思辨更精彩。有學(xué)生說(shuō)：“我支持兩層的，因?yàn)樗宄匕殉齼纱蔚倪^(guò)程記錄下來(lái)?！薄扒宄币辉~說(shuō)服了全體學(xué)生。關(guān)于從高位除起還是從低位除起的問(wèn)題，有學(xué)生說(shuō)“和乘法一樣，從低位除起”，也有學(xué)生說(shuō)“應(yīng)該從高位除起”，還有學(xué)生說(shuō)“從高位除起和從低位除起差不多”。這時(shí)有幾位學(xué)生不約而同地提出用不同的方法算一算“58÷3”，以下是兩種比較有代表性的作品（如圖9）。

圖9 學(xué)生的作品

實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)思辨，學(xué)生不僅得出了規(guī)范格式，而且加深了對(duì)豎式意義的理解，在具體化描述的過(guò)程中深入理解了計(jì)算法則，并使數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展，提升了分析、比較、歸納等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）回顧反思，感悟規(guī)范加深體驗(yàn)。

回顧反思同樣能助力學(xué)生對(duì)算理的理解，因此筆者除了引導(dǎo)學(xué)生回顧正確的豎式格式外，還引導(dǎo)學(xué)生回顧了乘除法豎式得出的全過(guò)程，讓學(xué)生感受乘除法豎式規(guī)定的得來(lái)及美妙之處，感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)美、辯證的哲理美、簡(jiǎn)潔的形式美。

3.規(guī)范：練習(xí)中促進(jìn)算理的理解

算理的理解和格式的規(guī)范是相互促進(jìn)的，兩者協(xié)同發(fā)揮效用，能提高計(jì)算正確率。

（1）在規(guī)范表達(dá)中感悟算理。

雖然探究乘除法豎式得來(lái)的過(guò)程是開(kāi)放的，但運(yùn)用正確格式計(jì)算的過(guò)程可以是收攏的。在達(dá)成乘除法豎式的規(guī)范格式后，筆者先讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)乘除法豎式的格式要求，再一起來(lái)看規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如何表達(dá)的。這正是建構(gòu)學(xué)中的同化與順應(yīng)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)自身與外界的動(dòng)態(tài)平衡。

（2）在鞏固練習(xí)中提升技能。

計(jì)算教學(xué)中不需要?；ò?，學(xué)生只需扎扎實(shí)實(shí)地練，并結(jié)合前面的學(xué)習(xí)體驗(yàn)進(jìn)行分析與反思，理解后再進(jìn)行練習(xí)，在練習(xí)中促進(jìn)理解、提升技能。

單元整合后的乘除法豎式教學(xué)，從“創(chuàng)造、擇優(yōu)、規(guī)范”的視角關(guān)聯(lián)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，學(xué)生通過(guò)多種方式感悟乘除法豎式計(jì)算的算理，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，獲得了高質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。