核心素養(yǎng)導(dǎo)向的探究性教學(xué)實(shí)踐與反思
——以中職數(shù)學(xué)《直線與平面所成的角》為例

福建省廈門信息學(xué)校 許葆藝

探究性教學(xué)是指在教師的組織、引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞著教師設(shè)置的問(wèn)題情境，以自主探究或合作交流的方式主動(dòng)地感受問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自主地運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)尋找解決問(wèn)題的方法的一種教學(xué)模式。在探究式教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施中，要堅(jiān)持以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展為導(dǎo)向，提出有引導(dǎo)力的問(wèn)題，為學(xué)生開(kāi)辟思考的空間，開(kāi)展有啟發(fā)性的活動(dòng)，讓課堂充滿探索的力量，形成以知識(shí)技能為明線，思想方法為暗線，明暗結(jié)合的探究性課堂，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

下面以中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃新教材《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）》中“直線與平面所成的角（后簡(jiǎn)稱‘線面角’）”的教學(xué)為例，闡述筆者在中等職業(yè)學(xué)校建筑專業(yè)班級(jí)的教學(xué)實(shí)踐與反思。

一、專業(yè)助力，感受新知

問(wèn)題1：在建筑專業(yè)中，如何確定柱子與地面是否垂直呢？

問(wèn)題2：世界各地有很多傾斜的建筑，例如，意大利的比薩斜塔、中國(guó)的虎丘寶塔、阿聯(lián)酋的首都之門等。這些建筑的中軸線與地面都不是“垂直”的關(guān)系，那如何能知道中軸線與地面的傾斜程度呢？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：直線與平面的位置關(guān)系包含了平行與垂直的判定以及線面角的求解，是中職數(shù)學(xué)《立體幾何》中的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要載體。相較于平行與垂直的判定，線面角的求解更為復(fù)雜，學(xué)習(xí)難度也更大。結(jié)合授課班級(jí)學(xué)生的專業(yè)，設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的專業(yè)情境入手，關(guān)注建筑中的“線面角”問(wèn)題，展開(kāi)數(shù)學(xué)化的思考，同時(shí)引出“線面角”學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)背景與需求，從中確定“線面角”的學(xué)習(xí)主題。

二、動(dòng)手操作，生成新知

問(wèn)題3：在求解“空間兩條直線所成的角（后簡(jiǎn)稱‘線線角’）”中，我們通過(guò)作平行線進(jìn)行“降維”，最終轉(zhuǎn)化為求“兩條相交直線的夾角”來(lái)完成。那么研究“斜線與平面所成的角”，又該如何“降維”呢？

活動(dòng)1：根據(jù)教材中“直線l 與平面α 所成的角”的概念，嘗試在GeoGebra 軟件的3D 繪圖區(qū)進(jìn)行繪制與度量，同學(xué)之間互相驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)回顧“線線角”的求解方式，突出“降維”思想的重要性，引導(dǎo)學(xué)生更多地關(guān)注“斜線與平面所成的角”的降維過(guò)程，揭示知識(shí)間的聯(lián)系，意在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力。結(jié)合中職學(xué)生動(dòng)手能力較強(qiáng)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)活動(dòng)1—根據(jù)教材中的文字概念，利用軟件自行繪制“線面角”，展開(kāi)核心知識(shí)的學(xué)習(xí)。以學(xué)生的實(shí)踐操作替代教師的語(yǔ)言講解，形象直觀地呈現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)，化文字為圖形，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，化抽象為形象。借助軟件繪圖、翻轉(zhuǎn)、度量等一系列動(dòng)作，學(xué)生收獲的是一個(gè)立體的、鮮活的概念，有助于在頭腦中形成文字概念和圖形概念的有效連接，并為后續(xù)的探究活動(dòng)提供基礎(chǔ)與平臺(tái)。

三、性質(zhì)論證，鞏固新知

問(wèn)題4：為什么把“斜線l 與它在平面α 內(nèi)的射影的夾角叫作直線l 與平面α 所成的角”呢？相比于直線l 與平面α 內(nèi)其他直線所成的角，又有什么特質(zhì)呢？

活動(dòng)2：回到活動(dòng)1 界面，每位同學(xué)在平面內(nèi)任意繪制直線，度量直線與直線所成的角，將活動(dòng)1 和活動(dòng)2 的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

問(wèn)題5：通過(guò)活動(dòng)2，大家都有這樣的疑惑：“直線l 與平面α所成的角”在“直線與平面內(nèi)所有直線所成的角”中是最小的嗎？想辦法論證你們的猜想。

活動(dòng)3：回到活動(dòng)2 的軟件界面，開(kāi)展小組協(xié)作，設(shè)計(jì)方案，驗(yàn)證猜想。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：把握知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)原則。在教材的基礎(chǔ)上，增加對(duì)“線面角”特征的探究，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)知識(shí)和圖像的理解。綜合考慮中職學(xué)生的學(xué)情，制訂了“基于GeoGebra 軟件的不完全歸納”的方案：以學(xué)生個(gè)體為單位，進(jìn)行“簡(jiǎn)單枚舉推理”——活動(dòng)2；在此基礎(chǔ)上，以學(xué)生小組為單位，進(jìn)行“科學(xué)歸納推理”——活動(dòng)3。探究活動(dòng)以軟件為載體，降低參與的門檻，同時(shí)兼具個(gè)人與團(tuán)體活動(dòng)，營(yíng)造人人可參與、人人都參與，逐步形成人人愛(ài)參與的良性氛圍。

建筑專業(yè)的學(xué)生普遍具備使用軟件制圖的能力，均能完成圖像的繪制與度量。在此過(guò)程中，學(xué)生提出“線面角是斜線與平面中所有直線所成角中最小的角”的猜想。結(jié)合建筑實(shí)例和生活場(chǎng)景，逐步抽象出研究的幾何模型（圖1），同時(shí)積累了從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣。

圖1

在GeoGebra 軟件中，學(xué)生通過(guò)手動(dòng)或動(dòng)畫功能，模擬平面內(nèi)不同走向的直線，再利用表格自動(dòng)記錄“斜線與平面內(nèi)不同走向的直線所成的角”的數(shù)值。面對(duì)得到的眾多數(shù)據(jù)，學(xué)生各顯神通，有的小組對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序、分析，有的小組將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成折線圖（如圖2），直觀明了，驗(yàn)證了自己的猜想。從建立的模型中獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用圖表等手段對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成正確的認(rèn)知。

圖2

四、例題講練，應(yīng)用新知

例1：如圖3 所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，高DD1=4 cm，底面是邊長(zhǎng)為3 cm 的正方形，求對(duì)角線D1B 與底面ABCD 所成角的正切值。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解題，使學(xué)生識(shí)圖的能力得到鍛煉，知識(shí)應(yīng)用能力得到提升。由于學(xué)生初次接觸線面角的概念和圖形，對(duì)此類題型的圖形特點(diǎn)和解題步驟并不熟練，于是筆者選用最基本的模型——長(zhǎng)方體，充分利用信息技術(shù)進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)、隱藏，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考的方法，逐步培養(yǎng)空間想象的能力。師生一起剖析例題：長(zhǎng)方體的側(cè)棱DD1是垂線，底面的對(duì)角線DB 是D1B 在底面的射影，∠DBD1是對(duì)角線D1B 與底面ABCD 所成的角，它們同在直角三角形DBD1中。例1 的逐步引導(dǎo)，為學(xué)生掌握知識(shí)和技能奠定了基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在此基礎(chǔ)上，歸納提煉求解“線面角”的步驟：作垂線—找射影—確定角，滲透“做中學(xué)”的理念。

例2：如圖4 所示，等腰三角形ABC 的頂點(diǎn)A 在平面α 外，底邊BC 在平面α 內(nèi)，已知底邊長(zhǎng)BC=16，腰長(zhǎng)AB=17，又知點(diǎn)A 到平面α 的垂線段AD=10。求：

（1）等腰三角形ABC 的高AE 的長(zhǎng)；

（2）斜線AE 和平面α 所成的角的正弦值；

（3）斜線AC 和平面α 所成的角的正弦值。

圖4

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1 的學(xué)習(xí)，學(xué)生的識(shí)圖能力、分析能力、解題規(guī)范等均有所提高，對(duì)此，在鞏固線面角應(yīng)用的同時(shí)，對(duì)其進(jìn)行拓展，有意讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，引導(dǎo)學(xué)生在腦中開(kāi)展圖形的立體旋轉(zhuǎn)，呈現(xiàn)解題的最佳視角。過(guò)程側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、方法遷移的能力，同時(shí)提高學(xué)生的邏輯推理和空間想象的能力。

五、思維梳理，提煉新知

問(wèn)題6：通過(guò)本節(jié)課，同學(xué)們收獲了哪些知識(shí)和方法？有什么心得？請(qǐng)用“思維導(dǎo)圖”APP 完成梳理，并匯入本章的思維導(dǎo)圖中。

問(wèn)題7：華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)建造的玻璃金字塔，高21 米，底寬34 米，聳立在盧浮宮庭院中央。你能運(yùn)用本節(jié)課的知識(shí)推算玻璃金字塔的側(cè)棱和地面所成的角嗎？

設(shè)計(jì)意圖：借助思維導(dǎo)圖APP，幫助學(xué)生理清本節(jié)課的知識(shí)、方法、思想，同時(shí)做好與前序知識(shí)方法的關(guān)聯(lián)，逐步完善本章的知識(shí)體系。問(wèn)題7 的設(shè)置，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)將課堂探究活動(dòng)向課外延伸，借助空間形式認(rèn)識(shí)建筑與地面的位置關(guān)系，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，感悟事物的本質(zhì)。

六、教學(xué)反思，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)課圍繞“線面角”這一概念，從直觀感受到實(shí)踐生成，再到性質(zhì)論證、例題講練，最后到總結(jié)提煉，教學(xué)環(huán)節(jié)自然流暢，探究過(guò)程循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，充分體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升。

1.根植教材挖掘探究?jī)?nèi)容

中等職業(yè)教育課程改革國(guó)家規(guī)劃新教材是依據(jù)相應(yīng)的教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)編制的，符合中等職業(yè)教育的特點(diǎn)和要求，是中職教師執(zhí)教的依據(jù)，也是中職學(xué)生學(xué)習(xí)的依據(jù)。教材不僅是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是研究數(shù)學(xué)對(duì)象、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程和方法。立足教材，深入挖掘，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)教材中的知識(shí)原理進(jìn)行探究拓展，對(duì)教材中的典型例題開(kāi)展變式研究，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

2.把握學(xué)情選擇探究模式

學(xué)情分析是進(jìn)行良好教學(xué)的前提，是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。了解中職學(xué)生的心理需求，將外在的教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。分析中職學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異制訂教學(xué)策略和探究形式，做到因材施教，真正落實(shí)學(xué)生的主體地位。正視中職學(xué)生間存在的差異，個(gè)人獨(dú)立探究與小組協(xié)作探究相結(jié)合，同時(shí)借助信息化工具，提高課堂參與度和有效性。

3.結(jié)合專業(yè)設(shè)計(jì)探究背景

結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特色，選擇典型實(shí)例，設(shè)計(jì)相應(yīng)的探究背景，把握中職數(shù)學(xué)教學(xué)與專業(yè)教學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)兩者的有效融合。以專業(yè)助力數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，以數(shù)學(xué)化解專業(yè)操作的原理，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的建立與完善，對(duì)培養(yǎng)高素質(zhì)技能型人才發(fā)揮著重要的作用。

核心素養(yǎng)導(dǎo)向是教育教學(xué)改革的大勢(shì)所趨，在中職數(shù)學(xué)學(xué)科開(kāi)展探索性教學(xué)，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。