中值定理“中值點”漸進(jìn)性定量刻畫的進(jìn)一步研究

邵偉如

（北京交通運輸職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部 北京 102618）

0 引言

關(guān)于中值定理中的 的極限問題引起了不少學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[1]對中值定理的“中值點”問題在低階可導(dǎo)的范疇內(nèi)進(jìn)行了詳盡地刻畫，并在文章的結(jié)尾提出函數(shù) 在 點低階可導(dǎo)的結(jié)論可以推廣到 階可導(dǎo)，應(yīng)該有類似的結(jié)論，但并未給出相應(yīng)的證明。文獻(xiàn)[2]利用 公式對函數(shù) 在 點由低階連續(xù)可導(dǎo)推廣到高階連續(xù)可導(dǎo)以及更般的情況下及 中值定理的 的極限問題進(jìn)行定量研究。

本文指出了文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]在證明過程中的筆誤，并將文獻(xiàn)[1]中 中值定理、積分第二中值定理、積分第一中值定理及推廣的積分第一中值定理中 的極限問題進(jìn)行定量研究，由低階連續(xù)可導(dǎo)推廣到高階連續(xù)可導(dǎo)的情況，得到了更一般性的結(jié)論。

1 拉格朗日中值定理中“中值點”的極限問題

3 柯西中值定理中“中值點”的極限問題

4 積分第一中值定理中“中值點”的極限問題

5 積分第二中值定理中“中值點”的極限問題

6 推廣的積分第一中值定理中“中值點”的極限問題

分別代入式（18）、式（19）并結(jié)合已知條件可得

7 結(jié)論

這一條件是不能省略的，在沒有這個前提條件之下，中值定理中值點的漸進(jìn)性問題最終能否得到類似的結(jié)論并沒有得到討論和解決。