直左復(fù)線有軌電車干線可變帶寬綠波模型

王昊，黎冬平，孫國鼎

(1.東南大學(xué)，a.交通學(xué)院，b.城市智能交通江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，c.現(xiàn)代城市交通技術(shù)江蘇高校協(xié)同創(chuàng)新中心，南京211189；2.上海市城市建設(shè)設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海200125)

0 引言

現(xiàn)代有軌電車采用地面敷設(shè)式軌道，在平面交叉口處與機(jī)動(dòng)車存在通行權(quán)沖突，交通組織方式較為復(fù)雜，特別是對(duì)于直行和轉(zhuǎn)向多線共軌的有軌電車網(wǎng)絡(luò)，軌道在交叉口處分叉進(jìn)一步增加了地面交通組織和控制的復(fù)雜度。如果缺少合理、有效的信號(hào)控制方案，將導(dǎo)致有軌電車和社會(huì)車輛通行權(quán)不協(xié)調(diào)，增加社會(huì)車輛和有軌電車的整體延誤，嚴(yán)重影響干線系統(tǒng)的通行效率。因此，分析直行與轉(zhuǎn)向復(fù)線共軌的有軌電車運(yùn)行特點(diǎn)，構(gòu)建兼顧復(fù)線有軌電車和社會(huì)車輛通行效率的干線綠波方案設(shè)計(jì)方法，既具有理論意義，又具有實(shí)用價(jià)值。

國外學(xué)者對(duì)干線信號(hào)協(xié)調(diào)控制的研究較早，最經(jīng)典的成果是 MAXBAND 綠波模型和MULTIBAND綠波模型。Little等[1-2]在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出半整數(shù)相位差(half-integer)信號(hào)協(xié)調(diào)，加入左轉(zhuǎn)信號(hào)相位影響因素，基于雙向交通流量比分配帶寬，建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型——MAXBAND，通過分支定界法尋求最優(yōu)解，從而確定最佳的雙向最大帶寬、信號(hào)周期、相鄰信號(hào)相位差、行駛時(shí)間及左轉(zhuǎn)相位設(shè)計(jì)方案等。Gartner 等以MAXBAND 模型為基礎(chǔ)，即根據(jù)交叉口間各路段的交通流量、交通條件及交通需求給予不同路段不同帶寬值，建立了MULTIBAND 模型[3]，運(yùn)用啟發(fā)式分解算法提高了混合整數(shù)線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的求解效率[4]，并使模型能夠適應(yīng)實(shí)時(shí)信號(hào)協(xié)調(diào)控制優(yōu)化的要求[5]。Jeong等[6]提出了基于MAXBAND 的TRAMBAND 模型，在同一信號(hào)控制背景下分別生成路中式有軌電車綠波、社會(huì)車輛綠波，并通過實(shí)例驗(yàn)證該模型可有效降低社會(huì)車輛、有軌電車在交叉口的延誤。Zhang 等[7]對(duì)MUTILIBAND 模型進(jìn)行了改進(jìn)，取消了模型中同一路段內(nèi)綠波必須對(duì)稱的約束，提出非對(duì)稱綠波模型AM-BAND。

國內(nèi)學(xué)者王殿海等[8]提出了經(jīng)過修正的綠波帶寬數(shù)解法以及實(shí)際交叉口與理想交叉口的匹配方法。戴光遠(yuǎn)等[9]在MAXBAND模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)公交車的停站特性及通行需求，將公交車站作為綠波分區(qū)節(jié)點(diǎn)，突破了傳統(tǒng)綠波算法中同一路段內(nèi)綠波帶寬不可變的限制，提出了分段式綠波模型。周洋帆等[10]提出了考慮運(yùn)行圖約束的有軌電車干線信號(hào)協(xié)調(diào)優(yōu)化模型，使有軌電車停站時(shí)間和站間運(yùn)行時(shí)間與運(yùn)行圖一致。

綜上所述，國內(nèi)外對(duì)綠波的研究成果主要集中于社會(huì)車輛以及常規(guī)公交車輛、有軌電車的干線綠波優(yōu)化，缺少對(duì)同時(shí)存在直行和轉(zhuǎn)向的復(fù)線共軌式有軌電車的干線綠波的研究。鑒于此，本文針對(duì)存在直左復(fù)線有軌電車的干線系統(tǒng)，改進(jìn)經(jīng)典MULTIBAND模型，在滿足有軌電車綠波帶寬需求的基礎(chǔ)上，以最大化社會(huì)車輛綠波帶寬為目標(biāo)，建立綜合考慮直左復(fù)線有軌電車綠波系統(tǒng)和社會(huì)車輛綠波系統(tǒng)的干線交通信號(hào)協(xié)調(diào)控制模型。

1 直左復(fù)線有軌電車基本特征

1.1 有軌電車線路特征

圖1為直行線路和左轉(zhuǎn)線路的有軌電車在干線道路共軌的路中式布局，圖中Sk為交叉口k。有軌電車布設(shè)在路中，在路段上擁有獨(dú)立路權(quán)，與社會(huì)車輛之間互不干擾，只有在交叉口處與社會(huì)車輛混行；干線分為上、下行方向，有軌電車線路1為直行線路，有軌電車線路2 為左轉(zhuǎn)線路，該線路上行有軌電車在干線的第k個(gè)交叉口處通過左轉(zhuǎn)由干線轉(zhuǎn)到相交道路上，下行有軌電車在該處通過右轉(zhuǎn)由相交道路轉(zhuǎn)至干線道路。

圖1 直行與左轉(zhuǎn)有軌電車復(fù)線共軌布局示意Fig.1 Layout of arterial with straight and left-turn tram lines

1.2 干線交叉口相位設(shè)計(jì)

在路中式有軌電車布局中，直行線路有軌電車僅與直行機(jī)動(dòng)車不存在沖突，可以共用通行相位。左轉(zhuǎn)線路有軌電車與干線雙向左轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)車以及干線同向直行機(jī)動(dòng)車不存在沖突，可以共用相位。為擴(kuò)大綠波解的可行域，采用早啟遲斷式相位方案。圖2為干線上、下行方向社會(huì)車輛左轉(zhuǎn)通行相位和直行通行相位的4 種典型組合。使用上劃線表達(dá)下行方向的變量。為求解方便，將所有關(guān)于時(shí)間的變量都表示為信號(hào)周期時(shí)長(zhǎng)C的倍數(shù)。i表示干線上行方向上第i個(gè)交叉口的序號(hào)。直行有軌電車和轉(zhuǎn)向有軌電車?yán)门c之無沖突的社會(huì)車輛相位通過交叉口。li、分別為第i個(gè)交叉口上、下行方向左轉(zhuǎn)相位的綠燈時(shí)長(zhǎng)；gi、分別為第i個(gè)交叉口上、下行方向直行相位的綠燈時(shí)長(zhǎng)；Ri為第i個(gè)交叉口支路方向綠燈時(shí)長(zhǎng)。

圖2 干線交叉口信號(hào)相位組合Fig.2 Schemes of traffic phase for intersections in arterial

令Δi表示第i個(gè)交叉口上行紅燈時(shí)間中心時(shí)刻到下行紅燈時(shí)間中心時(shí)刻的時(shí)間差值，并引入0-1變量，則不同相位組合方案下的Δi為

式中：δi，均為0-1 變量，表1為4 種相位方案的變量取值情況。

表1 不同相位組合對(duì)應(yīng)的δi 和Table 1 δi and for various phase schemes

表1 不同相位組合對(duì)應(yīng)的δi 和Table 1 δi and for various phase schemes

相位相序組合組合1組合2組合3組合4 δi 0 1 0 1 δˉi 1 0 0 1

2 考慮有軌電車綠波的干線信號(hào)協(xié)調(diào)控制模型

考慮直左復(fù)線有軌電車綠波的干線協(xié)調(diào)控制模型包含5 個(gè)方面：社會(huì)車輛綠波的約束條件，直行線路有軌電車綠波的約束條件，左轉(zhuǎn)線路有軌電車綠波的約束條件，社會(huì)車輛綠波與雙線路有軌電車綠波的交互約束條件，以及模型目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)。

2.1 社會(huì)車輛綠波約束條件

圖3為干線社會(huì)車輛綠波時(shí)空?qǐng)D，根據(jù)MULTIBAND 模型[3]，社會(huì)車輛綠波的基礎(chǔ)約束條件為

式中：Φg,i()為交叉口Si+1與Si社會(huì)車輛上(下)行紅燈中心時(shí)刻的時(shí)間差(cycle)；ri()為交叉口Si上(下)行社會(huì)車輛直行相位的紅燈時(shí)長(zhǎng)(cycle)；wg,i()為交叉口Si上(下)行社會(huì)車輛綠波帶中線與上(下)行紅燈時(shí)間右(左)側(cè)的時(shí)間差(cycle)；tg,i()為上(下)行社會(huì)車輛在交叉口Si與Si+1之間的行程時(shí)間(cycle)；bg,i()為上(下)行社會(huì)車輛在交叉口Si與Si+1之間的綠波帶寬(cycle)；Cmax(Cmin)為周期時(shí)長(zhǎng)的最大(最小)值(s)；vg,max(vg,min)為社會(huì)車輛平均行駛車速的最大(最小)值(m·s-1)；Li為交叉口Si與Si+1之間的路段長(zhǎng)度(s)；kg,i為社會(huì)車輛上、下行綠波帶寬的影響參數(shù)，由上、下行交通量的比值表示；Z為周期倒數(shù)(cycle·s-1)。

圖3 社會(huì)車輛綠波系統(tǒng)時(shí)空?qǐng)DFig.3 Time-space diagram of general traffic

2.2 有軌電車直行線路約束條件

類似于社會(huì)車輛綠波系統(tǒng)，有軌電車直行線路綠波系統(tǒng)的基礎(chǔ)約束條件可根據(jù)圖4進(jìn)行推導(dǎo)，即

式中：Φt,i()為直行線路有軌電車綠波系統(tǒng)中交叉口Si+1與Si的上(下)行紅燈中心時(shí)刻的時(shí)間差(cycle)；wt,i()為交叉口Si處直行線路有軌電車上(下)行綠波帶前(后)鋒與上(下)行紅燈時(shí)間右(左)側(cè)的時(shí)間差(cycle)；tt,i()為上(下)行直行線路有軌電車在交叉口Si與Si+1之間的行程時(shí)間(cycle)；vt,max(vt,min)為有軌電車平均行駛車速的最大(最小)值(m·s-1)；τij(j)為上(下)行有軌電車在交叉口Si與Si+1之間第j個(gè)站臺(tái)的?？繒r(shí)間(cycle)；Ni為交叉口Si與Si+1之間有軌電車?？空緮?shù)量。

圖4 直行線路有軌電車綠波系統(tǒng)時(shí)空?qǐng)DFig.4 Time-space diagram of straight tram line

直行有軌電車與干線上、下行左轉(zhuǎn)社會(huì)車輛存在沖突。因此，與干線社會(huì)車輛綠波系統(tǒng)相比，直行有軌電車綠波的約束更為苛刻。有軌電車直行線路的綠波不能與上、下行紅燈觸碰，同時(shí)還要滿足有軌電車較長(zhǎng)的清空時(shí)間要求。圖5為上行方向直行有軌電車綠波在4 種相位方案下受到的約束情況，其數(shù)學(xué)表達(dá)為

類似地，對(duì)于有軌電車下行方向，分析4 種典型相位方案，可以獲得另一組約束條件為

根據(jù)有軌電車通行需求，設(shè)置有軌電車上、下行帶寬約束范圍為

貨物丟失也是投訴中比例較大的。經(jīng)?？梢栽谝恍﹫?bào)紙或新聞中看到快遞公司丟失貨物的消息，有的甚至連公司也不知道是在哪一個(gè)環(huán)節(jié)丟失的，這方面的投訴也越來越多。當(dāng)前很多快遞企業(yè)在對(duì)待用戶的物品損壞或者丟失的投訴時(shí)，總喜歡以“能推就推，能拖就拖”的方式處理。前段時(shí)間身邊的一個(gè)例子，快遞公司說快遞已經(jīng)丟失，結(jié)果第二天又找到，還不肯送，造成這樣的問題，還是自身素質(zhì)存在缺陷。

式中：bt()為直行線路有軌電車上(下)行綠波帶寬(cycle)；tc,i()為上(下)行方向直行線路有軌電車在交叉口Si的清空時(shí)間(cycle)；bt,max(bt,min)為有軌電車綠波帶寬的最大(最小)值(cycle)。

圖5 wt,i 在不同相序相位組合下的約束Fig.5 Constraints for wt,i under various phase schemes

2.3 有軌電車左轉(zhuǎn)線路約束條件

有軌電車左轉(zhuǎn)線路中與直行線路共軌的部分，其相關(guān)約束條件與2.2 節(jié)直行線路的約束條件類似。

當(dāng)上(下)行有軌電車在交叉口Sk左(右)轉(zhuǎn)彎時(shí)，需要建立關(guān)于wtl,k和的特殊約束條件。如圖6所示，當(dāng)上行有軌電車左轉(zhuǎn)通過交叉口Sk時(shí)，4種相位組合方案下的有軌電車左轉(zhuǎn)線路約束可統(tǒng)一表示為

下行有軌電車右轉(zhuǎn)通過交叉口Sk過程中，的約束分析與上行左轉(zhuǎn)有軌電車方法類似，約束條件為

式中：tcl,k()為上(下)行有軌電車在第k個(gè)交叉口的左轉(zhuǎn)清空時(shí)間；wtl,k()為上(下)行有軌電車左轉(zhuǎn)綠波前鋒與(下)行紅燈時(shí)間右(左)側(cè)的時(shí)間差。

圖6 wtl,k 在不同相位組合下的約束Fig.6 Constraints for wtl,k under various phase schemes

2.4 社會(huì)車輛與有軌電車直左復(fù)線的交互約束條件

社會(huì)車輛的綠波系統(tǒng)和有軌電車直行、左轉(zhuǎn)線路的綠波系統(tǒng)屬于同一個(gè)信號(hào)協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)。因此，各綠波系統(tǒng)相位差的差值必須是信號(hào)周期時(shí)長(zhǎng)的整數(shù)倍，即符合

式中：mt,i()為整數(shù)變量。

2.5 模型目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

單個(gè)周期內(nèi)至多有1列有軌電車到達(dá)交叉口，因而有軌電車綠波帶寬滿足基本通行需求即可。為提高整個(gè)干線系統(tǒng)的通行效率，以社會(huì)車輛綠波帶寬最大為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)為

式中：B為所有路段社會(huì)車輛綠波帶寬加權(quán)均值；ai和分別為交叉口Si與Si+1之間的上、下行方向路段的社會(huì)車輛綠波帶寬的權(quán)重，可以用直行社會(huì)車流量與通行能力的比值表示。

以式(1)～式(34)為約束條件，式(35)為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)成一個(gè)混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。模型得求解變量包括：通過分支定界算法或啟發(fā)式算法可以獲得該模型的最優(yōu)解。

3 算例分析

以一條包括6個(gè)信號(hào)控制交叉口的干線為例，如圖7所示。有軌電車軌道和站臺(tái)都布設(shè)于路中，線路分為直行線路和左轉(zhuǎn)線路，兩條線路在第4個(gè)交叉口之前共軌，在第4個(gè)交叉口處分叉。

圖7 有軌電車直左復(fù)線布局示意Fig.7 Layout of straight and left-turn tram lines

3.1 參數(shù)設(shè)置與輸入變量

算例參數(shù)設(shè)置如表2和表3所示。模型優(yōu)化過程中，交叉口綠信比固定，以保證通行能力穩(wěn)定。有軌電車的最小帶寬設(shè)置為10 s，滿足基本通行需求。

表2 干線信號(hào)交叉口主要控制參數(shù)Table 2 Main parameters of phase schemes of intersections on arterial

表3 干線主要交通參數(shù)Table 3 Main traffic parameters of arterial

3.2 結(jié)果分析

將案例中的參數(shù)和已知條件代入本文構(gòu)建的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃優(yōu)化器Gurobi求解模型，得到結(jié)果如表4所示。干線綠波整體信號(hào)周期長(zhǎng)度為150 s，在保證有軌電車綠波帶寬為10 s的基礎(chǔ)上，獲得社會(huì)車輛綠波帶寬的最優(yōu)解以及所有交叉口最優(yōu)的相位方案。表5為每個(gè)交叉口的相位最優(yōu)組合方式。社會(huì)車輛與有軌電車直行線路以及左轉(zhuǎn)線路的綠波時(shí)空?qǐng)D如圖8和圖9所示。其中，粗實(shí)線表示的寬綠波為社會(huì)車輛綠波，細(xì)實(shí)線表示的窄綠波為有軌電車綠波。圖9中，第4 個(gè)交叉口上行方向的點(diǎn)虛線表示上行方向左轉(zhuǎn)相位時(shí)長(zhǎng)。圖中對(duì)有軌電車綠波軌跡進(jìn)行了平滑處理，將停站等待時(shí)間包含在行程時(shí)間之內(nèi)，因而綠波的斜率表示有軌電車在該路段的平均行程車速。

表4 模型優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results

表5 沿線交叉口的δi 和優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of δi and for arterial intersections

表5 沿線交叉口的δi 和優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of δi and for arterial intersections

0-1變量δi δˉi S101 S210 S300 S401 S510 S600

圖8 直行有軌電車與社會(huì)車輛綠波時(shí)空?qǐng)DFig.8 Time-space diagram of green waves for straight trams and general traffic

圖9 左轉(zhuǎn)有軌電車與社會(huì)車輛綠波時(shí)空?qǐng)DFig.9 Time-space diagram of green waves for left-turn trams and general traffic

模型優(yōu)化結(jié)果顯示，社會(huì)車輛雙向綠波帶寬均不小于34 s，部分路段綠波帶寬達(dá)到60 s 以上。直行與左轉(zhuǎn)有軌電車的雙向綠波帶寬均為10 s。需要注意的是，本文綠波模型的約束條件為有軌電車安全通過交叉口提供了清空時(shí)間作為保障，該清空時(shí)間并不包括在有軌電車綠波帶寬之內(nèi)。因此，有軌電車僅需在綠波提供的10 s 時(shí)間窗口內(nèi)達(dá)到交叉口前方即可確保安全通過交叉口。由于有軌電車行駛速度和停站時(shí)間具備較好的可控性，且通常一個(gè)信號(hào)周期內(nèi)至多到達(dá)1列有軌電車，故有軌電車對(duì)綠波帶寬的需求較小。

4 結(jié)論

本文得到主要結(jié)論如下：

(1)路中鋪設(shè)軌道的交叉口，可采用早啟遲斷式控制，直行和左轉(zhuǎn)有軌電車可分別利用社會(huì)車輛直行相位和左轉(zhuǎn)相位通行。

(2)通過對(duì)MULTIBAND綠波模型中增加直行和左轉(zhuǎn)有軌電車綠波約束條件，能夠?qū)崿F(xiàn)干線信號(hào)協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)對(duì)社會(huì)車輛綠波、有軌電車直行和左轉(zhuǎn)綠波的兼容，在滿足有軌電車通行需求的前提下為社會(huì)車輛提供最大帶寬綠波。算例表明，干線直左復(fù)線有軌電車可獲得雙向10 s通行帶寬，社會(huì)車輛綠波雙向帶寬均大于34 s，部分路段綠波帶寬可達(dá)60 s以上。

(3)本文為復(fù)線共軌式有軌電車干線的綠波方案設(shè)計(jì)提供了一般性方法論。模型中，有軌電車停站時(shí)間、交叉口清空時(shí)間、最小綠波帶寬等參數(shù)均可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。本文的優(yōu)化方法同樣適用于有軌電車的直右復(fù)線、左右復(fù)線，以及路側(cè)式軌道布設(shè)情況。