淺析一類切線題目中的證直角問題

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【摘要】證明切線問題是初中幾何難點(diǎn)問題，證切線有兩類題型：第一類有切點(diǎn)連半徑證垂直，第二類無切點(diǎn)作垂直證等徑。其中，第一類題型的解決策略是將證明切點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化成證明兩線垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成證明直角問題。本文梳理了證明直角的兩大方法，直接證明法和間接證明法，間接證明方法又細(xì)化為證明直角轉(zhuǎn)化成證明另外兩個(gè)角互余或轉(zhuǎn)化成證明特殊的線和特殊的圖形。

【關(guān)鍵詞】切線;直角;直接證法;間接證法

證明切線問題，是中考?jí)狠S題目圓中綜合題的熱點(diǎn)問題。若有切點(diǎn)，連接半徑證明垂直，是證明切線問題中的一類。此類型題目，將證切線問題轉(zhuǎn)換成證半徑和過半徑的末端的直線垂直的問題，即證明切線問題轉(zhuǎn)換成證明垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成證明直角問題。很多學(xué)生對(duì)于證明直角問題的掌握不是很好，不知道如何入手，本文通過一道中考原題，概括出證明直角問題的兩種方法：直接證法和間接證明。具體內(nèi)容如下：

一、中考題目再現(xiàn)

（2018年廣東省中考數(shù)學(xué)題）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E.

（1）證明：OD∥BC;

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切;

（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長(zhǎng)。

二、方法呈現(xiàn)

（一）直接證明法：直接證明要證明角與一個(gè)已知直角相等。

本方法以第二小問中的證明進(jìn)行展示。

法一：證明：∠DAO=∠ACB=90O

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90O

∵tan∠ABC=2

∴AC=2BC

∵OD∥BC

∴∠OEA=90O，∠AOD=∠ABC

∴OD⊥AC

∴AC=2AE

設(shè)BC=a，則AC=2a，AE=a，AB=，AO=a

∴AD=

∴DE=2a

∴OE=BC=

∴OD=OE+ED

∴

∴△OAD∽△BCA

∴∠DAO=∠ACB=90O

∴DA與⊙O相切

本題還可以直接證明：∠DAO=

∠OEA=90O或者∠DAO=∠DEA=90O，具體過程略。

（二）間接證明法：本證明方法分為兩種解題策略：第一，把要證明的直角問題轉(zhuǎn)換成證明另兩個(gè)角的和是90O，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成證明兩個(gè)角相等。第二，把證明直角問題，間接轉(zhuǎn)化成證明含有直角的特殊的線，例如，高線、中垂線等;或者轉(zhuǎn)化成含有直角的特殊的圖形，例如，直角三角形、菱形、矩形、正方形，相交圓等。

1.要證明的直角問題轉(zhuǎn)換成證明另兩個(gè)角的和是90O

本方法以第二小問中的證明進(jìn)行展示。

法二：證明∠BAD=90O轉(zhuǎn)化成證明∠BAC+∠CAD=90O

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90O

∵tan∠ABC=2

∴AC=2BC

∵OD∥BC

∴∠OEA=∠AED=90O

∴OD⊥AC

∴AC=2AE

設(shè)BC=a，則，AC=2a，AE=a，

∴BC=AE

∵AD=AB

∴△ADE≌△BAC

∴∠DAE=∠ABC

∵∠BAC+∠ABC=90O

∴∠BAC+∠CAD=90O

∴∠BAD=90O

∴DA與⊙O相切

2.證明直角問題，轉(zhuǎn)化成證明含有直角的特殊線或者特殊的圖形

（1）證明直角問題，轉(zhuǎn)化成證明含有直角的特殊線問題

本方法以第一小問中的證明進(jìn)行展示。

法三：要證∠AEO=90O，轉(zhuǎn)化成證OD是中垂線

證明：連接OC

∵OA=OC

∴點(diǎn)O在AC的中垂線上

∵AD=CD

∴點(diǎn)D在AC的中垂線上

∴OD所在的直線是AC的中垂線

∴OD⊥AC

∴∠AED=90O

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90O

∴∠ACB=∠AED

∴OD∥BC

（2）證明直角問題轉(zhuǎn)化成證明含有直角的特殊圖形

本方法以第二小問中的證明進(jìn)行展示。

法四：證明∠BAD=90O轉(zhuǎn)化成證明△OAD是直角三角形

證明：∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90O

∵tan∠ABC=2

∴AC=2BC

∵OD∥BC

∴∠OEA=90O

∴OD⊥AC

∴AC=2AE

設(shè)BC=a，則AC=2a，AE=a，AB=，AO=a

總之，在圓中證明直線與圓相切問題，轉(zhuǎn)化成證明切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成證明直角問題。本文從直接證明法和間接證明法兩個(gè)方向概括了證明直角問題，為學(xué)生們今后證明切線問題給出了方法性指引。

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