基于Gamma 和混合Copula 的元動作單元性能可靠性分析

張根保，張定飛，冉琰，應廣祺

（重慶大學機械工程學院，重慶 400044）

隨著高新技術不斷發(fā)展和應用，產品（或系統(tǒng)）的高度集成化、高度智能化和復雜性不斷提高，并廣泛應用于航空航天、核電廠設備和大型工業(yè)機器當中，復雜機電產品的可靠性研究逐漸成為可靠性工程領域的關鍵問題[1-2].性能可靠性研究是產品質量特性研究的一個重要內容，可靠性的優(yōu)劣直接決定了產品的性能和市場接受程度，因此利用科學合理的評估方法進行可靠性分析在很大程度上可以有效指導產品的設計、開發(fā)、制造和維護策略優(yōu)化等，從而保障和提高產品質量.針對故障信息、性能退化數據和工藝數據等的可靠性分析是如今可靠性研究的主要研究方向[3].基于性能退化數據進行可靠性分析是目前廣泛使用的方法之一.產品性能在退化過程中包含著大量與壽命有關的關鍵信息，所以從產品性能指標變化著手，對性能指標進行連續(xù)測量得到相應的退化數據，就可對產品性能的退化過程進行分析，進而評估產品可靠性.

目前，國內外學者針對產品的性能退化過程和可靠性分析方面進行了大量研究工作.在產品性能退化方面，Kim[4]等為了解決產品實時可靠性預測問題，于1992 年首次提出了性能可靠性的概念.Wiener 過程由于其簡單的結構和直觀的數學表達式而受到廣泛應用，已然成為性能退化建模中最為廣泛的一種模型.如王璽[5]等針對航空發(fā)動機性能衰減過程具有的非線性和不確定性特點，利用非線性Wiener 過程建立同時考慮二者特點的性能衰減模型，進而推導剩余壽命分布.張雄健[6]等利用廣義Wiener 過程，提出了一種雙時間尺度函數模型來描述航空航天設備常用的組件激光器的退化過程.Zhang[7]等針對復雜系統(tǒng)退化過程中的非線性和隨機性，提出了一個與年齡和狀態(tài)有關的通用非線性退化模型，利用具有與年齡和狀態(tài)相關的非線性漂移和揮發(fā)性系數的擴散過程來表征軸承退化過程的動態(tài)性和非線性.其它性能退化模型也有大量的研究，如Wang[8]等假設一個產品具有兩種性能特征，兩種性能特征相互依賴，依賴關系通過一個Copula 函數來表征，同時每種性能特征的退化遵循非平穩(wěn)的伽馬退化過程，利用貝葉斯方法實時更新隨機效應來描述性能退化過程.Duan[9]等針對設備退化數據實際組成特點，提出一種面向不同類型小樣本數據的可靠性評估方法，引入最小二乘支持向量機（LS-SVM）回歸算法分析設備性能退化過程，實現系統(tǒng)性能聯(lián)合可靠性的計算，并將其應用于特定類型的CNC 機床.在可靠性研究方面，主要涉及可靠性分析方法與建模.周偉[10]等針對元動作單元之間的相互作用所引起的性能依賴會給多態(tài)系統(tǒng)可靠性造成影響，給出了非齊次馬爾可夫模型，分析并確定了元動作單元的多狀態(tài)演變過程以及多態(tài)單元處于各狀態(tài)的概率，利用向量通用發(fā)生函數建立了可靠性分析模型.鞠萍華[11]等為解決可靠性研究中分析數據不足的問題，提出一種基于模糊物元法的相似元動作單元提取方法，利用相似元動作單元為元動作單元的可靠性分析提供充分的壽命失效數據，最后通過三參數威布爾分布進行建模和可靠性分析.張根保[12]等在元動作理論的基礎上進一步給出元動作鏈理論，將產品微觀失效原因和運行信息納入考慮，構建宏觀系統(tǒng)可靠度與微觀元動作運行失效之間的聯(lián)系，準確應用于機床的故障模式分析，消除了傳統(tǒng)可靠性建模過程不確定性問題.Chai[13]等針對機械零件疲勞可靠性分析中存在樣本計算量大且忽略概率密度函數信息的問題，利用Kriging 模型構建了學習函數，結合蒙特卡洛模擬，開發(fā)了一種新的結構可靠性分析方法.An[14]等針對機械系統(tǒng)中存在復雜相互關系的問題，利用Copula 函數來解決相關性問題，詳細研究并建立了串并聯(lián)機械系統(tǒng)的可靠性模型，得到它們的可靠性函數.以上研究對復雜機電產品的性能退化和可靠性建模、評估、預測起到了重要作用.

然而，復雜機電產品是一個多子系統(tǒng)交叉耦合的整體，其性能退化和可靠性問題涉及內部眾多子系統(tǒng)及其零部件和其它影響因素，導致性能退化建模和可靠性分析過程的計算量和復雜程度大大提升，建模工作難以實施[15].機電產品的性能好壞一般體現在其是否能實現所要完成的某一特定功能，因此對實現某一特定功能的元動作單元進行退化建模和可靠性分析，既可以有針對性地對機電產品實施模塊化建模，同時也可以降低分析和計算的復雜程度.

為此，本文分析機電產品性能退化過程特點時將其性能與特定功能聯(lián)系起來，簡化其性能退化和可靠性建模分析過程，以實現特定功能的元動作單元的退化過程為分析對象，提出元動作單元的性能可靠性分析通用模型及其建立方法，并以某加工中心的托盤交換架為例，驗證所提出的性能可靠性分析通用模型的可行性和有效性.

1 元動作單元和非線性Gamma 隨機過程

1.1 性能退化與功能的關系

系統(tǒng)（產品）的性能退化是指性能參數隨時間發(fā)生的物理或化學變化，性能退化一般過程如圖1所示.

圖1 性能退化過程Fig.1 Performance degradation process

性能退化到閾值Xfc后，則認為系統(tǒng)失效，功能無法實現.即在性能閾值內，屬于性能問題，超過閾值則屬于功能問題.復雜機電產品存在多種子系統(tǒng)耦合現象，單純的進行性能可靠性分析固然是困難的.然而產品是以實現其各種功能為目的而存在的，不同功能對應不同的子系統(tǒng)去完成，因此，我們可以將產品性能可靠性研究問題轉化為研究實現特定功能的對象的性能可靠性，進而簡化性能可靠性建模和分析過程.

1.2 元動作和元動作單元

對于結構復雜的產品而言，根據文獻[16-17]的研究方法，可以利用功能（Function）-運動（Motion）-動作（Action）的功能運動層次分解方法將其功能映射為部件的運動，部件的運動又可以繼續(xù)分解為實現該運動所需的動作，即實現產品功能的最小運動單元——元動作（Meta-Action，MA），FMA 分解使得可靠性建模和分析過程得到簡化.

FMA 分解過程可以總結為：首先研究系統(tǒng)要實現的功能，然后將功能分解為各個子系統(tǒng)（部件）的運動，最后將子系統(tǒng)的運動再分解成動作，即為元動作，如圖2 所示.

圖2 FMA 分解示意圖Fig.2 FMA decomposition schematic

元動作單元的所有相關零件（動力輸入件、動力輸出件、中間件、支撐件、緊固件）按照裝配關系構成的整體稱為元動作單元.元動作單元包括移動元動作單元和轉動元動作單元兩類，移動元動作單元實現最基本的移動功能（直線移動），如油缸中活塞移動單元、齒條移動單元等；轉動類單元實現最基本的轉動功能（定軸轉動），如齒輪轉動單元、絲杠轉動單元等.元動作鏈是指按照某種運動流組合在一起的、用以完成某一預定運動的元動作序列.其建立對象是一個單一的運動傳遞關系，如圖2 中實現運動M221的動作層A 中的元動作M2211向M221t傳遞的路徑.

1.3 單個零件性能退化及非線性Gamma 隨機過程

往往一件產品可以分解得到多種元動作單元，從而將產品的性能退化映射為元動作單元的性能退化.然而并不是所有元動作單元都會產生性能退化趨勢，對于存在性能退化趨勢的元動作單元而言，主要考慮其內部單個零件受到磨損、腐蝕、疲勞、老化等形式的物理劣化，其性能退化量不斷累積.然而維納過程并不能很好地描述磨損和累積損傷，因此我們使用具有單調性質的Gamma 過程建立隨機退化模型來描述單元中的零件性能退化過程[18]，趨勢如圖1 所示.

單個零件的退化也是一個多維性能指標共同作用表征的結果，因此在分析之前，給出單個零件的多維性能退化指標轉化為一維的性能退化指標的數據融合公式[19]，即性能退化量.融合公式為

式中：xi（t）為第i 個零件的性能退化量；xik（t）為第i個零件在t 時刻第k 維性能指標退化值；xikf為零件i 的第k 維性能指標獨立發(fā)生失效時的退化值；為零件i 的k 維性能指標獨立發(fā)生失效時的退化平均值.

非線性Gamma 過程對磨損過程具有良好的分析能力，假設單個零件的性能退化服從非線性Gamma 分布，記隨機變量服從形狀參數為α ＞0，尺度參數β ＞0 的非線性Gamma 分布，則其概率密度函數為：

式中：fG（x（t）|α，β為伽馬概率密度函數，α 和β 分別為分布的形狀和尺度參數，Γ（α）=為Gamma 函數.

上述Gamma 過程具有如下性質：

1）對于任意時刻，x（t+Δt）-x（t）～Ga[αΔt，β]成立；

2）退化速率是平穩(wěn)的，x（t）具有獨立的增量；

3）在t=0 時，x（t）的退化被認為是零.

形狀參數α 描述的是外部環(huán)境等因素對元動作單元性能水平的影響，而尺度參數β 描述的是隨機性因素（振動、沖擊）對元動作單元性能水平的影響.為了方便研究，本文在建立退化模型時不對隨機因素的影響進行考慮，因此，我們假設形狀參數與時間相關，即α=at.則x（t）在時間t 處的均值和方差可以分別表示為：

則性能退化量x（t）的概率密度函數表示為：

x（t）的累積分布fG（x（t）|at，β）可以使用不完整的伽瑪函數進行評估.根據圖1 中單個零件的失效時間T 為x（t）首次達到或超過Xfc的時間，即

則元動作單元性能退化的累積分布函數可以表示為：

1.4 模型參數的點估計

本文采用矩估計法對非線性Gamma 隨機過程模型進行參數估計.復雜產品往往具有高可靠和長壽命的特點.因此，實際中一般采用離散、長間隔且非周期性的狀態(tài)監(jiān)測方法，造成單元中每個零件的監(jiān)測次數非常有限.為了能獲取足夠的監(jiān)測數據進行參數估計，我們假設同類單元內相同類型零件表現出相似的性能退化機理.因此，可利用多個同類單元中同類型零件的性能退化數據用于參數估計.

假設系統(tǒng)有N 個同類型零件，在時刻t1，t2，…，tm分別對各零件進行m 次監(jiān)測，記對第i 個同類零件進行第j 次監(jiān)測的時刻為ti，j，監(jiān)測值轉化后的性能退化量為X（ti，j），得到第i 個同類型零件的性能退化量矩陣為：

那么第i 個同類型零件在時刻ti，j和ti，j-1之間的退化量Δxij可以表示為：

則退化量的樣本均值為

通過Gamma 函數的均值構造函數M=Δxij-Δti，j，因此由Gamma 性質可知E（M）=0，可得

退化量的樣本方差為

則對構造函數M 進行變換，化簡后可得：

由于E（M）=0，化簡后可得

最后通過計算可得

利用數值計算方法求解式（12）和（16）構成的方程組，即可得到參數a 和β 的估計值.

2 基于Copula 函數的元動作單元性能可靠性建模

2.1 元動作單元內部結構及其性能水平

在復雜產品中，任何一個單獨的零件都不能孤立地完成一個動作，即單個零件本身是沒有功能的.任何一個元動作的實現都需要其他零件的協(xié)助，即一個元動作單元完成其動作是由其內部所有零件共同完成的，這些零件共同構成一個最基本的結構單元，共同實現一個元動作.根據元動作單元的結構組成要素及裝配關系，給出其概念示意圖及內部結構關系，如圖3 所示.

組成元動作單元的五大要素定義分別如下[20]：輸入件：為元動作件提供運動和動力或接收上游元動作單元輸出的運動和動力的零件.

輸出件：元動作單元中，向下游元動作單元輸出運動和動力的零件.

中間件：元動作單元中，起傳遞運動和動力作用，并使輸入件和輸出件保持正確位置的零件.

緊固件：元動作單元中，起固定、防松和密封作用、或用來連接多個零件、且相互間沒有相對運動的零件.

圖3 元動作單元結構示意圖Fig.3 schematic diagram of unit structure

支撐件：元動作單元中，用來作為其他零件安裝基準的零件.

元動作單元的性能水平定義為完成某一預定動作的元動作單元在服役過程中內部結構零件發(fā)生依賴耦合后所表征的整體性能退化量.元動作單元內部結構之間的依賴耦合關系，其性能退化量一定存在著復雜的非線性變化.假設一個元動作單元含有m 個必要零件，y1（t），y2（t），…，ym（t）表示t 時刻內部各零件的性能退化量，F1（y1），F2（y2），…，Fm（ym）表示對應零件的累積失效分布函數.定義元動作單元性能的累積分布函數FMA，他們應具有如下關系，即存在某一函數關系使得下式成立.

其中f（·）是未知的函數關系.

2.2 Copula 函數

設有隨機變量X=（x1，x2，…，xn），其聯(lián)合分布F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn），且當F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）連續(xù)時，對于n 維隨機變量存在唯一的n 維Copula函數，使得下式成立

可以看出，n 維隨機變量x 的聯(lián)合分布函數可以用一個Copula 函數表示，其中所有的一維邊際分布函數Fi（xi）都是其變量.也就是說，不同隨機變量的相關關系，根據它們的邊際分布函數，可以通過一個Copula 函數來體現.

Copula 函數包括正態(tài)Copula 函數、T-Copula 函數以及阿基米德Copula 函數.其中阿基米德Copula函數包含常用的Gumbel-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula 三種函數.

2.3 基于Copula 的元動作單元可靠性模型

Copula 函數可用于表征一組隨機變量與邊際分布函數的依存關系，在簡化具有依存關系結構的聯(lián)合概率分布的分配方面具有很好的表現[21].因此本文通過Copula 函數考慮元動作單元內部結構的依賴耦合關系.類似地，在元動作單元的性能可靠性分析中，包含相同隨機退化過程的不同類型零件之間的依賴耦合關系也可以通過Copula 函數來體現.在本文研究中，Copula 函數中討論的隨機變量xi（或時間t 的隨機過程xi（t））表示元動作單元內部第i 個類型零件的性能退化量（或第i 個類型零件的連續(xù)磨損，疲勞等）或者是累積失效分布函數.

這里引入串聯(lián)系統(tǒng)的概念[22]，當系統(tǒng)中任一構件失效而造成系統(tǒng)失效則為串聯(lián)系統(tǒng)，反之則為并聯(lián)系統(tǒng).元動作單元內部只要存在一個必要零件發(fā)生失效，則認為元動作單元功能不能正常發(fā)揮，因此本文認為元動作單元屬于串聯(lián)系統(tǒng)的一種形式.

假設元動作單元內第i 個必要零件的累積分布函數為FGi，則元動作單元的累積失效分布函數為

式中：FMA是元動作單元的累積失效分布函數；C2（·），C3（·），…，Cm（·）是Copula 函數，表示元動作單元內部同時有（2，3，…，m）個零件發(fā)生依賴耦合退化.

則考慮依賴耦合的元動作單元可靠度為

3 基于混合Copula 函數的元動作單元性能可靠性建模

3.1 混合Copula 函數

元動作單元內部結構之間依賴關系造成其性能退化量存在著更為復雜的非線性變化，單一的Copula 函數只能反映某一種特定的非線性變量之間的相關性或非對稱結構.研究表明混合Copula 函數比單一的Copula 函數更能準確的反映非線性變量之間的相關性與非對稱結構[23].

混合Copula 函數是利用多種Copula 函數乘以權重系數進行疊加，因此能夠更加全面的表征隨機變量的分布特性.其數學表達式如下：

為了研究方便起見：選取三種最優(yōu)Copula 函數構造一個混合Copula 函數.

式中：C1（·θ1）、C2（·θ2）、C3（·θ3）分別為提取出的3 種最優(yōu)Copula 函數；θ1、θ2、θ3分別為對應的相關參數，反映了各變量間的相關程度；εi為權重系數，描述了各變量間的相關模式，且有：ε1+ε2+…+εn=1，可以通過改變權重系數εi，使得混合Copula 函數能夠更好地表征變量之間的對稱性與非對稱性結構.

3.2 混合Copula 函數相關性度量指標及最優(yōu)選擇

我們選擇應用較為廣泛的二元Copula 函數進行簡單特征分析并結合其他模型判斷準則，給出三步方法提取出幾種最優(yōu)的Copula 函數構造混合Copula 函數用于元動作單元的性能可靠性建模.

假設二元Copula 函數為C=C（m，n），m=F（x1），n=F（x2），相關性度量指標及函數選擇具體方法如下：

1）散點圖法：通過繪制任意兩組原始數據的散點圖，觀察退化數據是否成對稱分布，以及上尾部和下尾部的變化情況.同時對比幾種常用Copula 函數的特征可以大致選擇一種或幾種合適的Copula函數.

上下尾部的變化情況可由尾部相關系數進行度量.假設任意兩個隨機變量x1、x2對應的邊緣分布函數分別為m=F（x1）和n=F（x2），兩隨機變量的上下尾部相關系數分別定義為[24]：

若λup∈（0，1]，則稱兩隨機變量x1、x2為上尾部相關，若λup=0，則稱為上尾部獨立；反之，λlow∈（0，1]，則稱兩隨機變量x1、x2為上尾部相關，若λlow=0，則稱為下尾部獨立.

根據二元Copula 函數的性質，尾部相關系數可以通過Copula 函數進行表示.

2）秩相關系數檢驗法：原始退化量之間的相關系數，并不能很好地表現單調不變性，因此選用Kendall 秩相關系數τ 來彌補相關系數的不足，再通過與常用Copula 函數的Kendall 秩相關系數進行對比，選擇更接近的Copula 函數.

Kendall 秩相關系數τ 與各Copula 函數之間存在一定的轉換關系，可通過散點圖的繪制分析得出或計算Copula 函數參數得到，轉換關系如表1 所示.

表1 轉換關系Tab.1 Conversion relationships

其中：ρ、α 為各Copula 函數的模型參數；Dm（x）=

3）赤池信息準則（AIC）：AIC 準則適用于通過極大似然估計法得到的參數估計模型.

式中：k 表示Copula 模型中參數個數，log（MLE）是整體對數似然函數值.如果計算的AIC 值越小，說明模型的擬合程度更高，并且在似然函數差異性不顯著時，模型的復雜度越低.

若對于統(tǒng)計樣本是離散型的，則可以將赤池信息準則進行轉換得到式（28）.

式中：n 代表觀察樣本數量，RSS 為剩余平方和.

通過上述三步法可以合理選出最優(yōu)Copula 函數用來構造混合Copula 函數.

3.3 混合Copula 函數參數估計

參數估計的方法主要有極大似然估計法（MLE），最大期望值（EM）、貝葉斯線性回歸和兩步參數估計法.考慮數據處理的精確性并防止過擬合現象，本文采用蒙特卡羅方法產生隨機樣本數據，并基于最小偏差平方準則，通過改進的遺傳算法優(yōu)化求解混合Copula 函數的未知參數估計問題.

采用蒙特卡洛模擬方法，對系統(tǒng)中每個零件的隨機變量進行采樣.將采樣的隨機數據代入對應于各零件失效退化的函數中.每個函數生成與采樣數據對應的性能退化量序列x（t）.將每個性能退化量序列x（t）轉化為相應的累積分布函數FG（x（t））.

遺傳算法作為一種自適應型全局優(yōu)化搜索算法，具有很強的適應性，在組合優(yōu)化等方面得到了廣泛的應用.遺傳算法的基本思想為：從問題的潛在解集的其中任意一個種群開始，種群則由二進制編碼形式構成的一定數目的個體組成.父代由初代種群組成，計算每個個體的適應度值，并保留m 個精英個體，進行選擇、父代交叉、個體變異操作后，判斷是否滿足適應度條件，若不滿足則繼續(xù)執(zhí)行交叉、變異操作，判斷子代種群是否滿足算法結束要求，不滿足，則以新的種群作為父代，重復上述步驟，直到滿足計算要求為止.本文利用改進的多目標遺傳算法對混合Copula 函數的未知參數進行優(yōu)化求解，具體步驟及流程圖如圖4 所示.

圖4 改進的遺傳算法流程圖Fig.4 Improved genetic algorithm flow chart

1）編碼、參數初始化

使用二進制編碼將采樣數據轉換成二進制串形式

式中：amam-1…a2a1代表實數的整數部分，bnbn-1…b2b1代表實數的小數部分.

參數包括種群規(guī)模N、交叉概率Pc、變異概率PM、進化代數T，編碼精度R.當種群規(guī)模N 太小時，會出現近親交配，產生病態(tài)基因；種群規(guī)模較大，難以收斂，穩(wěn)健性下降.一般取0～100.交叉概率Pc是更新種群的重要方式，交配概率太大破壞已有的有利模式，隨機性增大，容易錯失最優(yōu)個體；交配概率太小不能有效更新種群，一般取0.4～0.99.變異概率PM太小時，種群的多樣性下降太快，導致有效基因的迅速丟失且不容易修補；當變異概率太大時，高階模式被破壞的概率隨之增大.一般取0.000 1～2.進化代數T 太小，算法不容易收斂，種群還沒有成熟；代數太大，進化沒有意義，浪費時間和資源.一般取100～500.編碼精度R 為遺傳算法的停止準則.

2）遺傳算子

包括選擇、交叉、變異.選擇操作的任務就是按某種方法從父代群體中選取一些個體，遺傳到下一代群體.這里使用比例選擇算子，即各個個體被選中的概率與其適應度函數值大小成正比.設群體大小為n，個體i 的適應度為Fi，則個體i 被選中遺傳到下一代群體的概率為：

每個概率值組成一個區(qū)域，全部概率值之和為1；最后再產生一個0～1 之間的隨機數，依據該隨機數出現在上述哪一個概率區(qū)域內來確定各個個體被選中的次數.交叉操作以某一概率相互交換隨機搭配的某兩個個體之間的部分二進制串，包括單點交叉、兩點/多點交叉，部分序列交叉等，本文采用多點交叉.變異操作是對個體的某一個或某一些二進制串按某一較小的概率進行取反操作，本文采用兩點變異.

3）改進的適應度函數

適應度是遺傳算法終止的停止準則.本文采用在均方根誤差公式的基礎上加入懲罰項作為混合Copula 函數未知參數估計優(yōu)化求解的適應度函數.RMSE 公式如下：

式中：FMA為累積分布函數序列是混合Copula 函數，γ 為懲罰因子.當適應度滿足編碼精度的條件時，則輸出對應的二進制串，最后通過解碼公式得出十進制的混合Copula 的未知參數

式中：Z 代表實數；L、K 分別代表未知參數定義域區(qū)間的兩個端點.

這種方法可以使搜索區(qū)域分布在整個搜索空間，提高種群的遍歷性，可以更好地跳出局部最優(yōu)解.

將求解出的參數代入式（20）（21）和（23）即可得到基于混合Copula 的元動作單元性能可靠度表達式.

4 應用實例

以某加工中心切削輔助功能中的托盤交換架交換工件運動為例，首先按FMA 分解托盤交換架，得到動作層各個元動作，如圖5 所示.

圖5 托盤交換架結構化分解模型Fig.5 Pallet exchange rack structural decomposition model

提取交換架回轉運動M112中的齒輪轉動元動作單元A1124作為本次實例分析的對象，其內部結構圖如圖6 所示.

在齒輪轉動元動作單元的五大組成要素零件上安裝多類傳感器，其中輸入件、輸出件和中間件均屬于轉動零件，選用加速度傳感器，溫度傳感器，支撐件和緊固件均屬于固定型零件，選用位移傳感器，設定間隔時間并進行性能指標數據監(jiān)測，監(jiān)測的性能指標主要包括振動信號，磨損量，重復定位精度，工作溫度等，分析得到齒輪轉動元動作單元內部每個組成要素零件的多組性能退化數據.利用式（1）將多維性能退化數據融合為單個零件的性能退化量，再將其與設定的間隔時間代入式（10）（12）和（16），求得元動作單元內部各類型零件的Gamma 參數估計值，如表2 所示.

圖6 齒輪轉動元動作單元的結構模型Fig.6 Gear rotation meta action unit structural model

圖7 元動作單元五大件的可靠度曲線Fig.7 Meta action units five types components reliability curve

表2 參數估計結果Tab.2 Parameter estimation results

聯(lián)合各參數估計值和式（7）（8）推導出元動作單元內每個類型零件的可靠度曲線，如圖7 所示.

從圖7 可以看出，元動作單元內部各零件的可靠度曲線隨元動作單元服役時間的延長，其內部結構之間的擠壓、摩擦不斷作用各組成要素，導致各零件不斷出現磨損、蠕變和疲勞等退化現象，性能退化量不斷增大，可靠度不斷下降.這也標志著元動作單元內部結構老化程度逐漸增加.各類零件的可靠度曲線的平滑程度不一，即在同樣的時刻下，各零件的可靠度水平不同，如果選用最弱環(huán)節(jié)理論來評估元動作單元的可靠性則會高估元動作單元的性能可靠性水平，若認為元動作單元內各類型零件退化過程獨立，則會低估元動作單元的性能可靠性水平.

因此通過考慮元動作單元內部結構的依賴耦合分析元動作單元的性能可靠性水平，利用本文所述的3 種方法提取3 種最優(yōu)的Copula 函數構造混合Copula 函數，采用10 個齒輪轉動元動作單元的10個觀測時刻對應下的各組成要素的多種性能指標樣本值，利用公式（1）計算分別得到對應時刻下各同類組成要素共100 個性能退化量數值，其中元動作單元內的動力輸入件和動力輸出件的退化量失效閾值為14，中間件、緊固件和支撐件的退化量失效閾值為20，挑選任意兩種類型零件構造一系列二維散點圖，結果如圖8 所示.

圖8 元動作單元各零件之間的相關關系圖Fig.8 Different parts scatter diagram in meta action unit

同時計算各零件性能退化量的Kendall 相關系數，相關系數矩陣結果如表3 所示.

各類Copula 函數的相關系數如表4 所示.

結合樣本數據和上述計算時得到的極大似然函數估計值，獲得各Copula 函數對應的AIC 值如表5所示.

表3 秩相關系數矩陣Tab.3 Rank correlation coefficient matrix

表4 Copula 函數的秩相關系數Tab.4 Copula function rank correlation coefficient

表5 Copula 函數的AIC 結果Tab.5 AIC results of Copula function

通過二維散點圖特征可以發(fā)現，元動作單元內部各組成要素零件的性能退化量基本上存在對稱分布和下尾部相依關系，上尾部相依關系表現不太明顯，表4 中顯示除了Gumbel，其余Copula 函數的Kendall 與五大件之間的Kendall 較為接近，進一步證實了散點圖表現出的對稱和下尾部相依關系.根據AIC 選擇理論，Frank、Clayton 和T-Copula 對應的AIC 值相對較小，說明該3 種Copula 函數用于描述樣本數據可以獲得更為準確的結果，因此將它們作為3 種最優(yōu)Copula 函數用于構造混合Copula 函數.最后利用本文提出的改進的遺傳算法優(yōu)化求解混合Copula 參數估計，結果如表6 所示

表6 混合Copula 函數的參數估計結果Tab.6 Parameter estimation results of mixed copula

將參數估計結果代入式（19），結合（20）和（22），得到混合Copula 函數的可靠度表達式，下面選取元動作單元內部兩種類型零件并通過混合Copula 函數考慮兩者之間的依賴耦合關系，得到的元動作單元性能可靠度曲線，如圖9 所示.

圖9 齒輪轉動元動作單元可靠度曲線對比Fig.9 Comparison of reliability curves of gear rotating element action unit

從圖9 中可以看出通過混合Copula 函數得到的齒輪轉動元動作單元的可靠度曲線介于最弱理論和獨立假設之間，可以得出較為科學、準確的可靠度變化結果，具有良好的適用性，也證明了本文方法用于分析元動作單元性能可靠性水平的有效性.

考慮產品功能的實現可能與多個有關的元動作單元有關，科學合理的估計產品的可靠性水平，需要同時對多個元動作單元進行可靠性分析，于是我們再次提取交換架回轉運動M112中的齒條移動元動作單元A1123作為分析對象，按照相同的操作流程，繪制得到齒條移動元動作單元的可靠度曲線，如圖10 所示.

圖10 齒條移動元動作單元可靠度曲線對比Fig.10 Comparison of reliability curves of rack moving element action unit

從圖10 中可以看出通過混合Copula 函數得到的齒條移動元動作單元的可靠度曲線仍介于最弱理論和獨立假設之間，與圖9 中齒輪轉動元動作單元的可靠度曲線對比可以發(fā)現，兩種元動作單元的可靠度變化存在明顯差異，因此對實現同一運動功能的不同元動作單元進行可靠性分析才能科學準確地評價產品的可靠性水平.

5 結論

針對機電產品性能可靠性建模和分析困難的問題，本文將系統(tǒng)性能與其功能聯(lián)系起來，從系統(tǒng)完成其功能的角度出發(fā)，將復雜機電產品分解成一系列元動作單元，元動作單元性能可靠性水平對于復雜機電產品性能可靠性的保證具有重要意義，因此對元動作單元的性能可靠性進行了分析研究.

1）采用了功能-運動-動作的FMA 結構化分解方法，分解機電產品可以得到元動作分解樹以及一系列元動作單元，并給出元動作單元的結構模型及其必要組成零件類型.

2）分析描述了元動作單元內部每一類型零件的性能退化滿足Gamma 隨機過程的性質，得到服從Gamma 分布的累積失效分布函數和性能可靠度，同時考慮元動作單元內部結構之間的依賴耦合，結合具有簡化依存關系結構良好分析能力的混合Copula函數對元動作單元的性能可靠性進行分析.

3）給出實例，分別采用兩種不同元動作單元作為本次實驗的分析對象，通過Gamma 過程分析計算得到不同元動作單元的不同假設情況下可靠度曲線與結合混合Copula 函數得到的性能可靠度曲線進行對比，有效地彌補了最弱理論和獨立退化假設進行性能可靠性分析的不足，證明了該方法得到性能可靠度曲線的可行性和有效性.

4）實施元動作單元的性能可靠性分析，對于評估和保障機電產品性能可靠性具有重要意義.針對產品完成其功能是由一系列元動作單元共同完成的，因此元動作鏈的性能可靠性分析問題是下一步有待研究的工作.