隨機環(huán)辛烷鏈的三類 Kirchhoff指數(shù)

劉合超， 吳讓威， 尤利華

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 廣州 510631)

拓?fù)渲笖?shù)是一類刻畫分子結(jié)構(gòu)的數(shù)值不變量. 在理論化學(xué)中,拓?fù)渲笖?shù)被用于預(yù)測化合物的物理化學(xué)性質(zhì)、藥理活性和生理活性等. 常用的與距離有關(guān)的拓?fù)渲笖?shù)主要有 Wiener 指數(shù)[1-2]、 Harary 指數(shù)[3]和Kirchhoff 指數(shù)[4].

環(huán)辛烷及其衍生物是有機化學(xué)中重要的環(huán)烷烴,可用于藥物合成、有機合成等. 而研究一些特殊化學(xué)鏈的拓?fù)渲笖?shù)及其在化學(xué)中的應(yīng)用也成為化學(xué)圖論的熱點問題[5-13]. 如：WU等[5]計算了聚苯鏈、聚苯蜘蛛鏈的hyper-Wiener指數(shù),得到上、下界;YANG和ZHANG[6]給出了隨機聚苯鏈的Wiener指數(shù)的期望值;WEI等[12]給出了隨機環(huán)辛烷鏈的 Wiener指數(shù)的期望值;ZHANG等[13]確定了隨機聚苯鏈的Schultz指數(shù)、Gutman指數(shù)、度積Kirchhoff指數(shù)、度和Kirchhoff指數(shù)的期望值.

關(guān)于Kirchhoff指數(shù)的研究已經(jīng)有比較多的成果. 如：YANG和JIANG[14]給出了單圈圖的Kirchhoff指數(shù)的極大、極小值;GUO等[15]確定了全負(fù)荷單圈圖的Kirchhoff指數(shù)的極大、極小值;FENG等[16]刻畫了具有極大、極小度Kirchhoff指數(shù)的全負(fù)荷單圈圖;FEI和TU[17]刻畫了具有最大、第二大度Kirchhoff指數(shù)的雙圈圖. 關(guān)于更多介紹Kirchhoff指數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[18-21]. 在文獻(xiàn)[12-13]的啟發(fā)下,本文首先確定了隨機環(huán)辛烷鏈的3類Kirchhoff指數(shù)(Kirchhoff指數(shù)、度積Kirchhoff指數(shù)、度和Kirchhoff指數(shù))的期望表達(dá)式,再由該式得到了具有n個八邊形的環(huán)辛烷鏈的3類Kirchhoff指數(shù)的極大值與極小值,并刻畫了相應(yīng)的極圖.

1 預(yù)備知識

在 Wiener 指數(shù)的定義中用電阻距離替代距離,則可得到 Kirchhoff 指數(shù)[4]：

度積Kirchhoff指數(shù)Kf*(G)[23]與度和Kirchhoff指數(shù)Kf+(G)[24]是2類加權(quán)版的Kirchhoff指數(shù),分別定義為:

圖1為一條具有n個正八邊形的環(huán)辛烷鏈COCn,可以看成是將環(huán)辛烷鏈COCn-1通過一條割邊連接一個新的終端正八邊形On所構(gòu)成的.

圖1 n個正八邊形的環(huán)辛烷鏈COCn

設(shè)COCn=O1O2…On為具有n(n≥2)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈,其中Ot(t=2,3,…,n)為圖COCn中通過割邊ut-1vt與Ot-1相連的第t個正八邊形. 在Ot中,與點vt距離為1、2、3、4的點分別記為ot、mt、wt、lt. 例如:圖1中vn=z1;on=z2,z8;mn=z3,z7;wn=z4,z6;ln=z5.

在具有n個正八邊形的環(huán)辛烷鏈COCn中,有一些特殊類的COCn. 例如:對任意的2≤t≤n-1,若均有ut=ot,則將該環(huán)辛烷鏈COCn記為COn;若ut=mt,則將其記為CMn;如ut=wt,則將其記為CWn;若ut=lt,則將其記為CLn.

圖2 環(huán)辛烷鏈的4種連接方式

特別地,COC(n;1,0,0)、COC(n;0,1,0)、COC(n;0,0,1)、COC(n;0,0,0)分別為鏈COn、CMn、CWn、CLn.

2 隨機環(huán)辛烷鏈的Kirchhoff指數(shù)

引理1設(shè)COCn為具有n(n≥1)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈,則

Kf(COCn)=Kf(COCn-1)+8r(un-1|COCn-1)+

148(n-1)+42.

(1)

對于任意頂點vV(COCn-1),由圖1知r(zi,v)=r(zi,un-1)+r(un-1,v),且

(2)

對于zkV(On)(1≤k≤8),有

從而

(3)

進(jìn)而

8r(un-1|COCn-1)+148(n-1)+42.

故式(1)成立. 證畢.

記Un=E[r(un|COCn)],下面給出Un的表達(dá)式.

引理2設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥1)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈,則

(4)

證明分以下4種情況來計算Un.

由情形1至情形4及式(3),可知

Un=r(z2|COCn)p1+r(z3|COCn)p2+r(z4|COCn)p3+

r(z5|COCn)(1-p1-p2-p3)=

(1-p1-p2-p3)[r(un-1|COC(n-1;p1,p2,p3))+

而E[Un]=Un,則

(5)

由引理1和引理2,易得隨機環(huán)辛烷鏈的Kirchhoff指數(shù)的期望值.

定理1設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥1)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈,則

E[Kf(COC(n;p1,p2,p3))]=

(6)

證明對式(1)兩邊取期望,由式(4),有

E[Kf(COC(n;p1,p2,p3))]=

E[Kf(COC(n-1;p1,p2,p3))]+

8E[r(un-1|COC(n-1;p1,p2,p3))]+

148(n-1)+42=E[Kf(COC(n-1;p1,p2,p3))]+

8Un-1+148n-106.

從而

E[Kf(COC(n+1;p1,p2,p3))]=

E[Kf(COC(n;p1,p2,p3))]+(96-36p1-16p2-4p3)n2+

(136+36p1+16p2+4p3)n+42.

(7)

將初始值E[Kf(COC(1;p1,p2,p3))]=42代入式(7),遞歸可得式(6)成立. 證畢.

由于COC(n;1,0,0)、COC(n;0,1,0)、COC(n;0,0,1)、COC(n;0,0,0)分別為鏈COn、CMn、CWn、CLn. 將(p1,p2,p3)=(1,0,0)、(p1,p2,p3)=(0,1,0)、(p1,p2,p3)=(0,0,1)、(p1,p2,p3)=(0,0,0)分別代入定理1的期望表達(dá)式,易得下面的推論.

推論14種特殊環(huán)辛烷鏈COn、CMn、CWn、CLn的Kirchhoff指數(shù)為

Kf(COn)=20n3+56n2-34n,

Kf(CLn)=32n3+20n2-10n.

下面給出環(huán)辛烷鏈的Kirchhoff指數(shù)達(dá)到上、下界的極圖刻畫.

定理2在所有具有n(n≥3)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈中,CLn是具有最大Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈,CMn是具有最小Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

證明設(shè)COC(n;p1,p2,p3)是具有n(n≥3)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈. 由定理1,有

f(p1,p2,p3)=E[Kf(COC(n;p1,p2,p3))]=

當(dāng)n≥3 時,有

而0≤p1,p2,p3≤1,0≤p1+p2+p3≤1,所以f(p1,p2,p3)≤32n3+20n2-10n,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=p3=0,即CLn是具有最大Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

另一方面,有

f(p1,p2,p3)=(-12n3+36n2-24n)(p1+p2)+

顯見

(8)

3 隨機環(huán)辛烷鏈的度積 Kirchhoff 指數(shù)

在有n(n≥2)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈COCn中:第1個和第n個正八邊形中恰有1個3度點,其余7個點都是2度點;在其余的n-2個正八邊形中,恰有2個3度點,其余都是2度點;在On中,d(z1)=3,d(zi)=2(2≤i≤8). 所以

且在On中,

(9)

下面求Kf*(COC(n;p1,p2,p3))的期望值. 記V=V(COCn),V1=V(COCn-1),V2=V(COCn-1){un-1}.

定理3設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥1)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈,則

E[Kf*(COC(n;p1,p2,p3))]=

(10)

證明令Kf*(COCn)=A1+B1+C1,其中

由式(2)、(9)及對稱性,類似地,有

38(18n-19),

因此,

684n-533.

(11)

(12)

再由式(11)、(12)可得

E[Kf*(COC(n+1;p1,p2,p3))]=

導(dǎo)入初始值E[Kf*(COC(1;p1,p2,p3))]=168,遞歸可得式(10)成立. 證畢.

將(p1,p2,p3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)代入式(10),易得下面的推論.

推論24種特殊環(huán)辛烷鏈COn,CMn,CWn,CLn的度積Kirchhoff指數(shù)為

Kf*(CMn)=135n3+117n2-83n-1,

Kf*(CLn)=162n3+36n2-29n-1.

下面給出環(huán)辛烷鏈的度積Kirchhoff指數(shù)達(dá)到上、下界的極圖刻畫.

定理4在所有具有n(n≥3)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈中,CLn是具有最大度積Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈,CMn是具有最小度積Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

證明設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥3)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈. 由定理3,有

f1(p1,p2,p3)=E[Kf*(COC(n;p1,p2,p3))]=

當(dāng)n≥3時,有

而0≤p1,p2,p3≤1,0≤p1+p2+p3≤1,所以f1(p1,p2,p3)≤162n3+36n2-29n-1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=p3=0,即CLn是具有最大度積Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

另一方面,有

顯見

(13)

的等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p1+p2=1,p2+p3=1且0≤p1+p2+p3≤1,即(p1,p2,p3)=(0,1,0). 將p2=1代入式(13)可得f1(p1,p2,p3)≥135n3+117n2-83n-1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(p1,p2,p3)=(0,1,0),即CMn是具有最小度積Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈. 證畢.

4 隨機環(huán)辛烷鏈的度和Kirchhoff指數(shù)

本節(jié)求Kf+(COC(n;p1,p2,p3))的期望值. 仍記V=V(COCn),V1=V(COCn-1),V2=V(COCn-1){un-1}.

定理5設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥1)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈,則

E[Kf+(COC(n;p1,p2,p3))]=6(24-9p1-4p2-p3)n3+

(14)

由式(2)、(9),類似地,有

Kf+(COCn-1)+r(un-1|COCn-1),

因此,

Kf+(COCn)=Kf+(COCn-1)+18r(un-1|COCn-1)+

(15)

r(z5|COCn)(1-p1-p2-p3)=

(16)

由式(15)、(16),可得

E[Kf+(COC(n+1;p1,p2,p3))]=

E[Kf+(COC(n;p1,p2,p3))]+18(24-9p1-4p2-p3)n2+

代入初始值E[Kf+(COC(1;p1,p2,p3))]=168,遞歸可得式(14)成立. 證畢.

將(p1,p2,p3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)分別代入式(14),易得如下推論.

推論34種特殊環(huán)辛烷鏈COn,CMn,CWn,CLn的度和Kirchhoff指數(shù)為

Kf+(COn)=90n3+223n2-145n,

Kf+(CMn)=120n3+133n2-85n,

Kf+(CWn)=138n3+79n2-49n,

Kf+(CLn)=144n3+61n2-37n.

下面給出環(huán)辛烷鏈的度和 Kirchhoff 指數(shù)達(dá)到上、下界的極圖刻畫.

定理6在所有具有n(n≥3)個正八邊形的環(huán)辛烷鏈中,CLn是具有最大度和 Kirchhoff 指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈,CMn是具有最小度和 Kirchhoff 指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

證明設(shè)COC(n;p1,p2,p3)為具有n(n≥3)個正八邊形的隨機環(huán)辛烷鏈. 由定理5,有

f2(p1,p2,p3)=E[Kf+(COC(n;p1,p2,p3))]=

(-54n3+162n2-108n)p1+(-24n3+72n2-48n)p2+

(-6n3+18n2-12n)p3+144n3+61n2-37n.

當(dāng)n≥3 時,有

而0≤p1,p2,p3≤1,0≤p1+p2+p3≤1,所以f2(p1,p2,p3)≤144n3+61n2-37n,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=p3=0,即CLn是具有最大度和Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈.

另一方面,有

f2(p1,p2,p3)=(-54n3+162n2-108n)(p1+p2)+

(30n3-90n2+60n)p2+(-6n3+18n2-12n)p3+

162n3+144n3+61n2-37n≥(30n3-90n2+60n)p2+

(-6n3+18n2-12n)p3+90n3+223n2-145n=

(-6n3+18n2-12n)(p2+p3)+(36n3-108n2+72n)p2+

90n3+223n2-145n≥(36n3-108n2+72n)p2+84n3+

241n2-157n.

顯見

f2(p1,p2,p3)≥(36n3-108n2+72n)p2+

84n3+241n2-157n

(17)

的等號成立當(dāng)且僅當(dāng)p1+p2=1,p2+p3=1且0≤p1+p2+p3≤1,即(p1,p2,p3)=(0,1,0). 將p2=1代入式(17)，可得f2(p1,p2,p3)≥120n3+133n2-85n,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)(p1,p2,p3)=(0,1,0),即CMn是具有最小度和Kirchhoff指數(shù)的惟一的環(huán)辛烷鏈. 證畢.

5 隨機環(huán)辛烷鏈的3類Kirchhoff指數(shù)的平均值

定理7環(huán)辛烷鏈集n的3類 Kirchhoff 指數(shù)的平均值分別為

我們發(fā)現(xiàn)

Kf*(CWn)+Kf*(CLn)),

Kf+(CLn)).

這意味著可以用這4條特殊的鏈COn、CMn、CWn、CLn的Kirchhoff指數(shù)(度積Kirchhoff指數(shù)、度和Kirchhoff指數(shù))的平均值來表示n的Kirchhoff指數(shù)(度積Kirchhoff指數(shù)、度和Kirchhoff指數(shù))整體的平均值.