強一致收斂下弱幾乎周期點和周期序列跟蹤性的研究

冀占江， 張更容

(1. 梧州學院大數(shù)據(jù)與軟件工程學院∥廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室∥廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點實驗室， 梧州 543002; 2. 湖南第一師范學院數(shù)學與計算科學學院， 長沙 410205)

周期序列跟蹤性和弱幾乎周期點是動力系統(tǒng)中非常重要的概念，與系統(tǒng)的混沌有著密切的聯(lián)系，在計算機領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用.

本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上得到弱幾乎周期點集的拓撲結(jié)構(gòu)，并研究了強一致收斂下的周期序列跟蹤性，以期促進強一致收斂下弱幾乎周期點和周期序列跟蹤性理論的發(fā)展.

1 基本概念

定義1[1]設(shè)(X,d)是度量空間，對?n+，fn:X→X連續(xù)，f:X→X連續(xù). 稱序列映射{fn}在X上強一致收斂于f，如果?ε>0，?n0+，當n>n0時，?xX，?m≥0，有記作

定義2[5]設(shè)(X,d)是度量空間，f:X→X連續(xù)，xX． 若對?ε>0，?N>0，對?n≥0，有#({r:fr(x)B(x,ε),0≤r

定義3[14]設(shè)(X,d)是度量空間，f:X→X連續(xù)． 若對?ε>0，?δ>0,使得當{xi}i≥0是X中f的δ-周期偽軌時，?yP(f)，?{ni|ni+1>ni,ni蹤則稱f具有周期序列跟蹤性．

定義4[14]設(shè)(X,d)是度量空間，f:X→X連續(xù)． 若對?ε>0，使得當{xi}i≥0是f的ε-周期偽軌時，?yP(f)，?{ni|ni+1>ni,ni蹤則稱f具有fine周期序列跟蹤性．

2 主要結(jié)論

證明因為f是等度連續(xù)的，所以?ε>0，?0<δ<ε/3，當d(z1,z2)<δ時，?l≥0，有

(1)

(2)

結(jié)合引理1，可知xm是f的弱幾乎周期點，因此,對ε/3>0，?q>0，?n≥0，有

#({r:fr(xm)B(xm,ε/3),0≤r

令An={r:fr(xm)B(xm,ε/3),0≤r

(3)

由式(2)、(3)，可得

d(fr(x),x)

則rBn，An?Bn，故#Bn>#An≥n. 因此，點x是極限映射f的弱幾乎周期點.

證明因為f是等度連續(xù)的，故?ε>0，?0<δ<ε/4，當d(z1,z2)<δ時，?l≥0，有

(4)

(5)

設(shè)zlimsupW(fn)，則?m>N1(m+)，使得

W(fm)∩B(z,δ)≠?.

取yW(fm)∩B(z,δ). 由于yW(fm)，故對ε/4>0，?q>0，對?n，有

(6)

則由yB(z,δ)和式(4)，有

(7)

再由式(5)～(7)，可得

則rBn，An?Bn，故#Bn>#An≥n，因此，zW(f)，從而可得limsupW(fn)?W(f).

注1在強一致收斂下，即使?jié)M足定理2的條件，也存在limsupW(fn)≠W(f)的情況.

例1設(shè)I=[0,1]，對n+，定義fn:X→X

定義f:X→X

f(x)=x(x[0,1])，

則limsupW(fn)≠W(f).

(8)

若x當k≥1時，有

若x當k≥2時，有

若x當k≥3時，有

依此類推，若x則?m=m(n,x)+，當k≥m時，有

故式(8)成立. 設(shè)x(0,1]. 下面證明xW(fn). 假設(shè)xW(fn)，則?ε>0，?m0>m,使得B(x,ε). 由式(8)可得故0B(x,ε)，這與ε的任意性矛盾，故xW(fn). 又0W(fn)，則W(fn)={0}. 故limsupW(fn)={0}，因此limsupW(fn)≠W(f).

d(f(xi),xi+1)<δ.

(9)

(10)

取m>N1并固定m，根據(jù)式(10)，當i≥0時，有

d(fm(xi),f(xi))<δ.

(11)

再由式(9)、(11)，可得

由于映射fm具有fine周期序列跟蹤性，則?xP(fm)，?{ni|ni+1>ni,ni當i≥0時，有

(12)

再由式(10)可得：當i≥0時，有

(13)

結(jié)合式(12)、(13)可得：當i≥0時，有

下面證明xP(f). 因為xP(fm)，所以，?k>0，使得根據(jù)式(10)可得

故

由于ε是任意小的，則fk(x)=x，故xP(f)，從而可得f具有周期序列跟蹤性.

3 總結(jié)