打破應(yīng)試慣性，引導(dǎo)教學(xué)回歸

張曉斌 楊勇 周敦鸞

摘要：“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題順應(yīng)了深化高考命題改革的方向，與以往高考的數(shù)學(xué)試題相比，出現(xiàn)了許多新亮點(diǎn)。其特點(diǎn)有：突出綜合性，強(qiáng)調(diào)“能力立意”;關(guān)聯(lián)高等數(shù)學(xué)，考查學(xué)習(xí)潛能;關(guān)注不常考的內(nèi)容和形式，進(jìn)一步反猜題;減少多背景融合的試題，縮短試題篇幅，使試卷更簡(jiǎn)潔;部分呈現(xiàn)新高考的新題型，控制試卷難度;改變多選題的評(píng)分規(guī)則，使評(píng)價(jià)更合理。由此提出的復(fù)習(xí)教學(xué)建議有：淡化經(jīng)驗(yàn)，回歸課標(biāo);淡化教輔，回歸教材;淡化“結(jié)果”，回歸“過(guò)程”。

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;數(shù)學(xué)試題;復(fù)習(xí)教學(xué)

2019年，《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》（以下簡(jiǎn)稱《意見》）對(duì)深化高考命題改革做了明確要求，指出：“普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試命題要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù)，實(shí)施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱。優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題?！?/p>

2021年1月的“八省聯(lián)考”是新高考試卷結(jié)構(gòu)模式首次大規(guī)?？荚嚵料啵m然曾在2020年山東、海南兩省高考中亮相，但是考試規(guī)模遠(yuǎn)比不上“八省聯(lián)考”），意義重大。本次考試的試題順應(yīng)了《意見》提出的深化高考命題改革的方向，與以往的高考試題相比，出現(xiàn)了許多新亮點(diǎn)。

本次考試的數(shù)學(xué)試題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）為依據(jù)，注重對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及主干內(nèi)容的考查，同時(shí)多角度、多層次地考查數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng);展示高中數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性;體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要地位，同時(shí)考查大多數(shù)考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能;充分發(fā)揮高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，對(duì)后期復(fù)習(xí)備考將起到積極的引導(dǎo)作用。

本文重點(diǎn)分析試題特點(diǎn)，并提出相關(guān)復(fù)習(xí)教學(xué)建議。

一、試題特點(diǎn)

（一）突出綜合性，強(qiáng)調(diào)“能力立意”

試題綜合性較強(qiáng)，比較“活”（不繁難），多考“想”（少套路），突出“能力立意”，沒(méi)有“送分題”（也沒(méi)有特別難的題目），僅靠死記硬背知識(shí)和大量“刷題”是很難拿到高分的，還需具備理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、處理問(wèn)題的能力。這正是《課標(biāo)》提倡的“三會(huì)”：理解問(wèn)題就是“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”;分析問(wèn)題就是“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”;處理問(wèn)題就是“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。

例如，集合與復(fù)數(shù)這兩個(gè)部分的內(nèi)容在歷年高考中考查的難度都較低，主要考查學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的水平（具有“送分性”）。但是，本次考試除了考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，還考查學(xué)生的思維能力：第1題（單選題）涉及集合部分的子集、補(bǔ)集、并集等知識(shí)，需要學(xué)生具備畫韋恩圖分析集合間關(guān)系的能力;第10題（多選題）涉及復(fù)數(shù)部分的復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)乘法等知識(shí)，要求學(xué)生依次判斷四個(gè)選項(xiàng)的正確性，需要學(xué)生具備運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力。另外，第7題（單選題）綜合考查了拋物線、圓和直線的知識(shí)，第12題（多選題）綜合考查了三角函數(shù)的周期性、有界性和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識(shí)，等等。

（二）關(guān)聯(lián)高等數(shù)學(xué)，考查學(xué)習(xí)潛能

第17題（解答題）是由三項(xiàng)遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，可以使用高等數(shù)學(xué)中的特征方程求解;第20題（解答題）是立體幾何題，引入高等數(shù)學(xué)微分幾何中的曲率概念，立意深遠(yuǎn)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì);第22題（壓軸題）如果采用分離參數(shù)的方式求解，則可使用高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則。這類試題并不要求學(xué)生利用大學(xué)的知識(shí)解決，但考查了學(xué)生將來(lái)進(jìn)入高校的學(xué)習(xí)潛能。學(xué)生如果能在學(xué)有余力的情況下自學(xué)部分高等數(shù)學(xué)知識(shí)，就能深刻地理解高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，并能居高臨下地剖析以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的高中數(shù)學(xué)試題。

（三）關(guān)注不?？嫉膬?nèi)容和形式，進(jìn)一步反猜題

第13題（填空題）考查圓臺(tái)體積公式，第17題（解答題）考查數(shù)列的三項(xiàng)遞推關(guān)系，第20題（解答題）考查新定義的曲率概念、多邊形的內(nèi)角和以及多面體頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)（面的邊數(shù)）與面數(shù)的關(guān)系，第22題（壓軸題）考查指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)混合函數(shù)的求導(dǎo)。這些都是近幾年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中不常出現(xiàn)（甚至從未出現(xiàn)）的內(nèi)容，也是很多教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中容易忽略的內(nèi)容。

另外，第3題（單選題）表面上是一個(gè)真假命題判斷的問(wèn)題，實(shí)際上是一道邏輯推理題：給出的四個(gè)命題中，每個(gè)命題的真假都與其他命題的真假相關(guān)聯(lián)，需要進(jìn)行邏輯推理。這是近幾年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中不常出現(xiàn)的考查形式，進(jìn)一步明確了邏輯推理核心素養(yǎng)的重要性——此外，從6道解答題中有4道要求證明，也可見本次考試對(duì)邏輯推理的重視。第21題則以解答題的形式考查了雙曲線的知識(shí)。這讓很多學(xué)生不適應(yīng)，但好在此題的設(shè)問(wèn)方式比較常規(guī)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力。

與此同時(shí)，本次考試也在一定程度上回避了很多“熱點(diǎn)”“常規(guī)”，進(jìn)一步做到了反猜題。

（四）減少多背景融合的試題，縮短試題篇幅，使試卷更簡(jiǎn)潔

2020年全國(guó)高考三套數(shù)學(xué)卷中，都有3道以上多背景融合且篇幅較長(zhǎng)的試題。而本次考試多背景融合的試題明顯減少，且試題篇幅有所縮短，顯得簡(jiǎn)潔明晰——同時(shí)也是一種反猜題的做法，因?yàn)楹芏鄮熒恢闭J(rèn)為近幾年的全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷具有情境題（包括新知閱讀題）多的特點(diǎn)。綜觀全卷，只有兩道試題設(shè)計(jì)跨學(xué)科背景、現(xiàn)實(shí)背景和數(shù)學(xué)科學(xué)背景，但這兩道題的設(shè)計(jì)風(fēng)格截然不同。第16題（填空題）以物理量的測(cè)量為背景，考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力，跨學(xué)科，但綜合性不強(qiáng)。第20題（解答題）以北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的設(shè)計(jì)為背景，讓學(xué)生了解北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的建設(shè)成就，關(guān)注現(xiàn)實(shí)，蘊(yùn)含了勞育價(jià)值、美育價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值;同時(shí)嫁接多面體歐拉公式和高等數(shù)學(xué)微分幾何中的曲率概念，一改傳統(tǒng)的線面關(guān)系證明與空間向量計(jì)算，轉(zhuǎn)而考查理解新概念、獲取新知識(shí)、探究新問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了科學(xué)探索價(jià)值和文化育人價(jià)值。

（五）部分呈現(xiàn)新高考的新題型，控制試卷難度

數(shù)學(xué)學(xué)科新高考的最大特點(diǎn)就是提出了很多新題型，包括多選題、雙空填空題、開放題、結(jié)構(gòu)不良試題、新知閱讀題以及一題三問(wèn)的形式等。2020年全國(guó)高考三套數(shù)學(xué)卷中，出現(xiàn)了開放題、新知閱讀題和一題三問(wèn)的形式，沒(méi)有出現(xiàn)多選題、雙空填空題和結(jié)構(gòu)不良試題; 2020年新高考山東卷和海南卷中，都出現(xiàn)了多選題（四道）、新知閱讀題（多個(gè)）、結(jié)構(gòu)不良試題（第17題，解答題）和一題三問(wèn)的形式（第19題，解答題），沒(méi)有出現(xiàn)雙空填空題和開放題。而本次考試出現(xiàn)了多選題（第9—第12題）、雙空填空題（第14題）、開放題（第15題）和新知閱讀題（第20題），沒(méi)有出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題和一題三問(wèn)的形式。這說(shuō)明新高考的新題型可能會(huì)在今后的高考試卷中輪流設(shè)計(jì)或交替出現(xiàn)，而不會(huì)在同一張?jiān)嚲碇腥苛料?，從而控制試卷的解答難度和批改難度，也為猜題增加難度。

（六）改變多選題的評(píng)分規(guī)則，使評(píng)價(jià)更合理

2020年新高考山東卷和海南卷中，多選題的評(píng)分規(guī)則是全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。很多學(xué)生為了保險(xiǎn)起見，把多選題當(dāng)成單選題做，只選擇最有把握的一個(gè)選項(xiàng)，爭(zhēng)取得3分，而不冒險(xiǎn)得5分。而本次考試多選題的評(píng)分規(guī)則把部分選對(duì)的分值從3分降為2分。這樣的評(píng)分規(guī)則更合理，減少了學(xué)生投機(jī)的傾向，增加了學(xué)生能力水平的區(qū)分度，更有利于選拔優(yōu)秀學(xué)生。

二、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

（一）淡化經(jīng)驗(yàn)，回歸課標(biāo)

高考復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)概念、公式和定理繁多，章節(jié)內(nèi)容考點(diǎn)龐雜，問(wèn)題形式變幻無(wú)窮。很多教師在以考試大綱（說(shuō)明）為指導(dǎo)的思維慣性下，會(huì)憑自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)（感覺(jué)）按知識(shí)點(diǎn)或考點(diǎn)進(jìn)行題型歸類、解法總結(jié)。這樣的教學(xué)很可能把握不準(zhǔn)復(fù)習(xí)的尺度。例如，不少教師憑經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，對(duì)于空間幾何體，高考經(jīng)常考查柱體與錐體，很少考查臺(tái)體，所以在復(fù)習(xí)時(shí)，將重點(diǎn)放在柱體與錐體的知識(shí)運(yùn)用上。但是，本次考試第13題恰恰考查了圓臺(tái)的體積公式。再如，很多教師認(rèn)為，對(duì)于圓錐曲線，高考的解答題主要考查橢圓，一般不會(huì)考查雙曲線和拋物線，所以在復(fù)習(xí)時(shí)，以橢圓為重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練解答題。但是，本次考試第21題卻以解答題的形式考查了雙曲線的知識(shí)。

按照《意見》的要求，今后的高考取消了考試大綱，所以教師應(yīng)逐漸淡化自認(rèn)為的“經(jīng)驗(yàn)”，不唯經(jīng)驗(yàn)論，而圍繞唯一的命題依據(jù)——《課標(biāo)》制訂復(fù)習(xí)計(jì)劃，在復(fù)習(xí)中不留盲點(diǎn)。特別是一些不?？嫉膬?nèi)容和形式，正是學(xué)生不重視的薄弱部分，更要加強(qiáng)復(fù)習(xí)。實(shí)際上，本次考試的數(shù)學(xué)試題就較好地體現(xiàn)了《課標(biāo)》的要求。例如，對(duì)于復(fù)數(shù)，《課標(biāo)》在“教學(xué)提示”中要求“注重對(duì)復(fù)數(shù)的表示及其幾何意義的理解，避免煩瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練”，由此不難理解本次考試第10題（復(fù)數(shù)題）的設(shè)計(jì)。再如，對(duì)于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，《課標(biāo)》在選擇性必修課程中的要求有“能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)[限于形如f（ax+b）]的導(dǎo)數(shù)”，第12題要求函數(shù)f（x）=2cos 2x4+sin 2x的導(dǎo)數(shù)，與之完全吻合;在選修課程中的要求有“理解二階導(dǎo)數(shù)的概念，了解二階導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義，掌握一些基本初等函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)”，第22題根據(jù)考查學(xué)生數(shù)學(xué)潛能的目的，涉及簡(jiǎn)單的二階求導(dǎo)也是情理之中的事。

（二）淡化教輔，回歸教材

教材是權(quán)威專家編寫與審查通過(guò)的國(guó)家教學(xué)范本，同時(shí)也是高考命題的重要參考。遺憾的是，很多教師在復(fù)習(xí)中過(guò)分依賴教輔資料，很少利用教材，甚至有的學(xué)生在復(fù)習(xí)中從來(lái)沒(méi)有翻過(guò)教材。實(shí)際上，市面上的教輔資料種類繁多，質(zhì)量參差。教師一旦選錯(cuò)，不僅達(dá)不到復(fù)習(xí)的效果，還會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間和精力;即便選到質(zhì)量不錯(cuò)的，也不一定適合所教學(xué)生的學(xué)情。

近幾年的全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中，有很多基本題目是由教材問(wèn)題稍加改造而成的，還有一些較難的題目是在挖掘教材問(wèn)題、吸收組題思想的基礎(chǔ)上加工、組合而成的。例如，2019年高考全國(guó)Ⅱ數(shù)學(xué)理科卷的第21題（壓軸題）就是由人教A版高中數(shù)學(xué)[基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》編寫的舊教材]選修21中“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一小節(jié)的例3改編、拓展而成的。具體題目如下：

本次考試也有不少試題是由教材中的例題、習(xí)題改編而成的。例如，第10題（復(fù)數(shù)問(wèn)題）的各選擇支散見于各版本高中數(shù)學(xué)教材的習(xí)題中，以證明題的形式呈現(xiàn);第11題（正方體的平面展開圖問(wèn)題）是由人教A版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)第132頁(yè)習(xí)題的第9題改編而成的;第17題（遞推數(shù)列問(wèn)題）是由人教A版高中數(shù)學(xué)（舊教材）必修5第69頁(yè)“復(fù)習(xí)參考題”B組第6題改編而成的。

所以，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)該重視教材、回歸教材，立足教材中的例題、習(xí)題，根據(jù)學(xué)情有針對(duì)性地編制變式練習(xí)，并把一些結(jié)果整理成常用結(jié)論，以提升學(xué)生的應(yīng)變能力和解題速度。

此外，在復(fù)習(xí)教學(xué)中重視教材、回歸教材的另一個(gè)重要意義是：加強(qiáng)概念、公式、定理等重要知識(shí)及重要思想方法的聯(lián)系，以提升理解的深刻性、運(yùn)用的靈活性。“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系?！?本次考試的許多試題綜合性強(qiáng)，打通了知識(shí)間的聯(lián)系，因而顯得“活”，需要“想”。新授教學(xué)通常是按照教材章節(jié)展開的，很容易忽視知識(shí)間的聯(lián)系，因而，復(fù)習(xí)教學(xué)正是構(gòu)建知識(shí)間聯(lián)系的良好時(shí)機(jī)。例如，復(fù)習(xí)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生證明反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，從而建立圓錐曲線與函數(shù)間的聯(lián)系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（三）淡化“結(jié)果”，回歸“過(guò)程”

在追求分?jǐn)?shù)與成績(jī)的競(jìng)爭(zhēng)中，教師與學(xué)生都過(guò)分注重解題結(jié)果，特別是注重通過(guò)大量“刷題”歸納題型，總結(jié)技巧性解法（如特值法、秒殺法等）。這樣雖能快速得到答案，但使解題變得簡(jiǎn)單機(jī)械、套路化、程序化，并未真正理解題目背后知識(shí)的意義與本質(zhì)，不利于挖掘掌握解題的通性通法，難以形成良好的數(shù)學(xué)思維能力。本次考試的數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了打破應(yīng)試慣性，反套路化、反程序化的導(dǎo)向，引導(dǎo)教師在教學(xué)中，充分關(guān)注學(xué)生解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。所以，教師在教學(xué)中，要精選典型題目，引導(dǎo)學(xué)生充分探索與交流，同時(shí)注意揭示題目背后的知識(shí)本質(zhì)，滲透解題運(yùn)用的思想方法，提升學(xué)生的解題悟性。

數(shù)學(xué)解題過(guò)程大致可以劃分為四個(gè)階段：理解題意、探求思路、書寫解答、回顧反思。每一個(gè)階段都至關(guān)重要。理解題意就是弄清問(wèn)題，準(zhǔn)確把握或翻譯已知和所求。例如，對(duì)本次考試第20題，很多學(xué)生就是沒(méi)有理解“面角”與“曲率”的概念，導(dǎo)致出錯(cuò)。探求思路就是在弄清題意的基礎(chǔ)上，探索已知與所求之間的聯(lián)系，特別是分析問(wèn)題本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。例如，本次考試第14題考查學(xué)生能否建立正方形邊與對(duì)角線的關(guān)系以及夾角與斜率的關(guān)系等。規(guī)范書寫解答不僅是正確解題的重要保證，也是理清思維邏輯順序的重要過(guò)程。例如，對(duì)本次考試第17題，很多學(xué)生因?yàn)闀鴮懖灰?guī)范而導(dǎo)致出現(xiàn)邏輯推理錯(cuò)誤，即想當(dāng)然地認(rèn)為，{an+an+1}為等比數(shù)列，則{an}為等比數(shù)列?；仡櫡此际莾?yōu)化解法，提煉處理“類問(wèn)題”的經(jīng)驗(yàn)，提升遷移能力的至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。很多學(xué)生會(huì)忽視這一環(huán)節(jié)，所以教師要積極引導(dǎo)學(xué)生回顧反思解題的過(guò)程，讓學(xué)生在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上站得更高、看得更遠(yuǎn)。例如，解決“已知△ABC的邊BC的垂直平分線交邊BC于Q，交邊AC于P，若AB=1，AC=2，求AP·BC的值”這一平面向量問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的基底法出發(fā)，得到結(jié)論后再反思過(guò)程，進(jìn)行優(yōu)化，提煉形成一般化的思路。

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.