一道基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)試題的命制與評(píng)析

程銀生 楊巧玲

摘要：卡萊爾的幾何解法是數(shù)學(xué)史上解一元二次方程的著名方法之一。在一次命制九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷壓軸題的過程中，嘗試重構(gòu)卡萊爾的幾何解法，將“圓和直線的交點(diǎn)”與“一元二次方程的根”關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生在運(yùn)用圓、相似三角形等相關(guān)知識(shí)解決問題的過程中拓寬數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，深化知識(shí)理解，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)。在試題測(cè)評(píng)反饋、講評(píng)拓展的基礎(chǔ)上反思得到關(guān)于數(shù)學(xué)史類試題命制與數(shù)學(xué)史類試題融入數(shù)學(xué)教學(xué)的體會(huì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)試題;卡萊爾的幾何解法;一元二次方程

現(xiàn)各版本教材、各級(jí)各類考試中，以數(shù)學(xué)史為背景的閱讀材料、習(xí)題、試題等日益增多，數(shù)學(xué)史素材的整理、裁剪和加工已成為試題命制的重要途徑和方法。其中，2017年浙江省臺(tái)州市中考數(shù)學(xué)卷第24題以直角三角板的移動(dòng)操作為載體，融入卡萊爾的一元二次方程的幾何解法，構(gòu)思精妙，讓人深感佩服。我們?cè)谝淮蚊凭拍昙?jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷壓軸題的過程中，嘗試重構(gòu)卡萊爾的幾何解法，將“圓和直線的交點(diǎn)”與“一元二次方程的根”關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生在運(yùn)用圓、相似三角形等相關(guān)知識(shí)解決問題的過程中拓寬數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，深化知識(shí)理解，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)。

一、卡萊爾的幾何解法簡(jiǎn)介

19世紀(jì)英國(guó)著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾（Thomas Carlyle，1795—1881）在愛丁堡大學(xué)讀書時(shí)，給出了一個(gè)十分新穎、簡(jiǎn)潔的任意一元二次方程實(shí)根的幾何解法。這個(gè)解法后來(lái)被他的老師——蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利（John Leslie，1766—1832）收入《幾何基礎(chǔ)（第三版）》（1817）一書中，成為數(shù)學(xué)史上解一元二次方程的著名方法之一。具體如下：

三、命制設(shè)想

本題來(lái)源于數(shù)學(xué)史料，將數(shù)學(xué)史料中解決問題的思想、方法、結(jié)論加以遷移、應(yīng)用、拓展，融歷史于無(wú)形。具體設(shè)想如下：

本題共設(shè)五個(gè)環(huán)節(jié)，前三個(gè)環(huán)節(jié)中方程的二次項(xiàng)系為1，后兩個(gè)環(huán)節(jié)中二次項(xiàng)系數(shù)非1，五個(gè)環(huán)節(jié)逐層遞進(jìn)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般，讓在學(xué)生解決問題的過程中，感受問題研究的一般思路與方法。

命制“超級(jí)模仿秀”環(huán)節(jié)時(shí)，我們?cè)紤]直接呈現(xiàn)卡萊爾的幾何解法史料。這樣，整道題在布局上更美觀，但對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力要求更高。在關(guān)注學(xué)生能力差異的同時(shí)，考慮到這一環(huán)節(jié)是幾何解法構(gòu)圖的核心，我們最終決定以列舉特例的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，模仿書寫，加深對(duì)構(gòu)圖的認(rèn)識(shí)。如此，不僅降低了起點(diǎn)，也為學(xué)生深入研究打好了基礎(chǔ)。

“越戰(zhàn)越勇”環(huán)節(jié)，第一空從代數(shù)角度出發(fā)，已知根寫方程;第二空從幾何角度出發(fā)，模仿構(gòu)圖，利用相似求定點(diǎn)B的坐標(biāo)。兩空求解過程相對(duì)獨(dú)立，但數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)度很大，讓學(xué)生進(jìn)一步感知二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程中一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與幾何解法構(gòu)圖中定點(diǎn)B的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。此環(huán)節(jié)不僅是對(duì)第一環(huán)節(jié)構(gòu)圖法的靈活應(yīng)用，考查了學(xué)生的逆向思維，也為下一環(huán)節(jié)歸納一般化結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

“破曉”環(huán)節(jié)是對(duì)前面兩個(gè)環(huán)節(jié)解題感悟的顯性呈現(xiàn)。學(xué)生可在前兩環(huán)節(jié)特例的基礎(chǔ)上猜想一般性結(jié)論，然后利用第一環(huán)節(jié)的構(gòu)圖法進(jìn)一步確認(rèn)結(jié)論的正確性，從而揭開卡萊爾幾何解法的神秘面紗，也為二次項(xiàng)系數(shù)非1的一元二次方程的幾何解法提供思考的方向。

“奔跑吧”環(huán)節(jié)中一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)非1，可以利用轉(zhuǎn)化思想將系數(shù)化為1。這一思想與教材中求根公式推導(dǎo)過程的第一步一致，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，使其發(fā)揮應(yīng)有的“范本”功能。

“乘風(fēng)破浪”環(huán)節(jié)要求模仿構(gòu)圖確定一元二次方程，經(jīng)過類比操作驗(yàn)證，讓學(xué)生意識(shí)到定點(diǎn)A的縱坐標(biāo)并非一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，同時(shí)產(chǎn)生新的問題：能否類似卡萊爾的幾何解法，利用定點(diǎn)的坐標(biāo)直接表示一元二次方程ax2+bx+c=0的根？給學(xué)生留下廣闊的思考空間，將問題探究引向深處。

四、測(cè)評(píng)反饋

（一）整體數(shù)據(jù)分析

本題滿分12分，考試均分2.50分。各小題（環(huán)節(jié)）的分值與得分率如表1所示。

第一環(huán)節(jié)正確率為74%，在預(yù)估范圍內(nèi)，說明大部分學(xué)生能理解題意，并能再現(xiàn)解題過程。第二環(huán)節(jié)正確率大幅下降，說明學(xué)生靈活運(yùn)用以及逆向思考的能力不足;而第一空正確率低于第二空，有些異常，說明學(xué)生對(duì)已知根求一元二次方程這個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)掌握得不是很好。第三環(huán)節(jié)正確率與第二環(huán)節(jié)基本持平，可以看出學(xué)生從數(shù)到字母的過渡掌握得較好。第四環(huán)節(jié)正確率偏低，說明學(xué)生對(duì)第一環(huán)節(jié)中構(gòu)圖的適用條件不清楚，將系數(shù)化為1的轉(zhuǎn)化意識(shí)淡薄。第五環(huán)節(jié)正確率與預(yù)估基本吻合，說明能夠深刻理解并運(yùn)用構(gòu)圖法的學(xué)生甚少。

（二）典型錯(cuò)誤分析

第二環(huán)節(jié)和第三環(huán)節(jié)的典型錯(cuò)誤如下頁(yè)圖6、圖7所示。圖6說明學(xué)生已關(guān)注具體數(shù)值的符號(hào)問題，但在已知根直接寫一元二次方程的符號(hào)處理上有誤。圖7說明學(xué)生意識(shí)到一般情況下的符號(hào)問題，但是沒有處理好符號(hào)的統(tǒng)一性問題。測(cè)試后，與出現(xiàn)圖7所示錯(cuò)誤的一位學(xué)生當(dāng)面交流，發(fā)現(xiàn)該生誤認(rèn)為在第一象限是“-b”，那么在第二象限一定是“+b”，即忽略了b本身的正負(fù)性，于是分情況來(lái)表示。

第四環(huán)節(jié)的典型錯(cuò)誤如圖8、圖9所示。這樣的錯(cuò)誤說明學(xué)生只是簡(jiǎn)單地模仿第一環(huán)節(jié)構(gòu)圖，誤認(rèn)為定點(diǎn)A的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，而沒有將系數(shù)化為1。圖9更是說明學(xué)生沒關(guān)注到常數(shù)項(xiàng)的符號(hào)與定點(diǎn)B縱坐標(biāo)的符號(hào)的關(guān)系，符號(hào)意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)有待提高。

第五環(huán)節(jié)的典型錯(cuò)誤有選CD和選BC。這兩種錯(cuò)誤首先是選擇了兩個(gè)答案，與圖6所示的錯(cuò)誤有相同的認(rèn)識(shí)誤區(qū)。選CD說明學(xué)生沒有重構(gòu)卡萊爾的圖形，想當(dāng)然地認(rèn)為定點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即為二次項(xiàng)系數(shù)。選項(xiàng)B和C的兩個(gè)方程之間沒有必然的聯(lián)系，說明學(xué)生對(duì)卡萊爾幾何解法的理解比較模糊。

五、講評(píng)拓展

卡萊爾的幾何解法將圓和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程的解建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。命制試題時(shí)考慮到結(jié)構(gòu)因素，無(wú)法面面俱到，只呈現(xiàn)了圓和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，因此，對(duì)只有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)的情況，可以在講評(píng)時(shí)拓展。具體操作如下：

結(jié)合圖1，引導(dǎo)學(xué)生初步感知：若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)-b確定，當(dāng)縱坐標(biāo)c較大時(shí)，圓與x軸沒有交點(diǎn)（如圖10）;當(dāng)縱坐標(biāo)c取某一特殊值時(shí)，圓與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（如圖11）;當(dāng)縱坐標(biāo)c較小或?yàn)樨?fù)值時(shí)，圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖12）。

六、反思

（一）數(shù)學(xué)史類試題命制的體會(huì)

如何命制以數(shù)學(xué)史料為背景的數(shù)學(xué)試題呢？可選用顯性的重現(xiàn)式，也可選用隱性的改編式或遷移式。例如，李雋易的《數(shù)學(xué)文化題編擬研究》一文例6顯性重現(xiàn)文化物品“魯班鎖”，通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)探究魯班鎖這一新幾何體的幾何性質(zhì)。再如，上文試題隱性“分解”改編卡萊爾的幾何解法，分層設(shè)計(jì)，豐富內(nèi)涵，在考查基本知識(shí)與基本技能的同時(shí)，揭示了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史料的理解。

數(shù)學(xué)史類試題的命制還應(yīng)注重挖掘和拓寬數(shù)學(xué)史料中的相關(guān)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)文化的核心價(jià)值，也可嘗試開放性探究。例如，卡萊爾的構(gòu)圖法適合二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，上文命題時(shí)，我們引導(dǎo)學(xué)生思考可否直接構(gòu)圖表示二次項(xiàng)系數(shù)非1的一元二次方程的根，從而在拓寬學(xué)生思維的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生敢于提問、善于思考的品質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生的探究精神。

（二）數(shù)學(xué)史類試題融入數(shù)學(xué)教學(xué)的體會(huì)

數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要的促進(jìn)作用。融入數(shù)學(xué)史類試題的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史可為教師提供豐富的教學(xué)素材，可幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”新知識(shí)或新的思想方法。例如，上文試題引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”了一元二次方程的圖形解法;講評(píng)時(shí)研究“一元二次方程的根”與“圓和直線的交點(diǎn)”的關(guān)系，直觀形象的表示讓學(xué)生眼前一亮，幫學(xué)生打開了思維的一扇窗;“系數(shù)化為1”回歸教材的設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生用好教材，理解教材意圖，發(fā)揮例題應(yīng)有功能;進(jìn)一步可引導(dǎo)學(xué)生查閱法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒、德國(guó)數(shù)學(xué)家斯陶特等的一元二次方程的幾何解法，讓學(xué)生欣賞與熱愛數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 李雋易.數(shù)學(xué)文化題編擬研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（9）.