一道課本習(xí)題的學(xué)習(xí)研究和結(jié)論的推廣

江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017) 寧 成

河北省和縣第一中學(xué)(054400) 景瑞強(qiáng)

波利亞曾說(shuō)過(guò)“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各方面,使得通過(guò)這道題就像通過(guò)一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”.課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn), 也是考試的重要來(lái)源.蘇教版高中數(shù)學(xué)課程教科書第4 版必修2 第106 頁(yè)有這樣一道習(xí)題:

已知直線l與直線l1:2x?y+2=0 和l1:2x?y+4=0的距離相等,求直線l的方程.

題目不難, 可以這樣去求解.顯然l1//l2, 所以l//l1//l2, 設(shè)直線l的方程為2x ?y+λ= 0, 由題意可得:所以直線l的方程為2x ?y+ 1 = 0.此問(wèn)題可推廣到一般形式: 若已知直線l與直線l1:Ax+By+C1= 0 和l2:Ax+By+C2= 0(C1/=C2) 的距離相等, 不難得出直線l的方程為Ax+By+

對(duì)于這類問(wèn)題, 到兩條平行線距離相等的直線, 也就是兩條直線的中間位置(對(duì)稱軸), 實(shí)際上就是x,y系數(shù)不變, 常數(shù)項(xiàng)恰為兩條直線常數(shù)項(xiàng)的平均數(shù).或者說(shuō), 這條直線恰好是兩條直線“求和”2Ax+2By+C1+C2= 0, 即Ax+By+

解完后,筆者腦海中一次浮現(xiàn)一個(gè)疑問(wèn),如果兩條直線不平行,那么兩條直線“相加”或者“相減”會(huì)得到什么樣的情況呢? 是否是兩條相交直線的對(duì)稱軸呢?

以直線l1: 2x ?y ?3 = 0 和l2:x ?6y+5 = 0 為例,兩直線“相加”得到3x ?5y+2 = 0,通過(guò)GGB 軟件觀察似乎不是期望的角平分線,得到是過(guò)直線l1和l2交點(diǎn)的某一條直線.事實(shí)上,如果我們單純的讓直線“相加”,得到的是2x ?y ?3+λ(x ?6y+5)=0,也就是相交直線系方程嘛!

那么也就是說(shuō), 直線3x ?5y+ 2 = 0 是過(guò)直線l1: 2x ?y ?3 = 0 和l2:x ?6y+ 5 = 0 的交點(diǎn)沒(méi)有錯(cuò),但是由直線l1和l2中x,y的系數(shù)確定的.

接下來(lái), 筆者嘗試通過(guò)直線中x,y的系數(shù)來(lái)研究這三條直線什么關(guān)系? 顯然, 我們可通過(guò)直線方程中x,y的系數(shù)確定出直線的法向量! 我們知道若直線的方程為Ax+By+C=0,其中A,B不同時(shí)為0,則向量a=(B,?A)是直線的一個(gè)方向向量,n=(A,B)是直線的一個(gè)法向量.

例設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是直線上一點(diǎn),且直線的一個(gè)法向量為n=(A,B),求直線的方程.

解: 設(shè)直線上任一點(diǎn)M(x,y),則由于即A(x ?x0)+B(y ?y0)=0,整理可得Ax+By+(?Ax0?By0)=0.

我們可以利用直線的法向量可以輕松驗(yàn)證兩不重合的直線平行重合的充要條件:l1:A1x+B1y+C1= 0,法向量n1= (A1,B1),l2:A2x+B2y+C2= 0, 法向量n2=(A2,B2)

接下來(lái), 借助于直線的法向量來(lái)理解直線“相加”,以直線l1: 2x+y ?3 = 0的法向量是n1= (2,1) 和l2:x ?6y+ 5 = 0 的法向量是n2= (1,?6)為例,直線3x ?5y+2 = 0 的法向量是n=n1+n2=(2+1,1?6)=(3,?5),如圖.

顯然,我們得到兩條直線l1和l2“相加”后得到的直線的“意義”,即過(guò)l1和l2的交點(diǎn),且法向量是l1和l2的法向量的和向量! 推廣到一般形式:l1:A1x+B1y+C1= 0,法向量n1=(A1,B1),l2:A2x+B2y+C2=0,法向量n2=(A2,B2)直線l:(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=0,法向量n=(A1+A2,B1+B2)=n1+n2.

顯然,直線l過(guò)直線l1和l2的交點(diǎn).再此可以設(shè)想,如果改變直線的法向量,使得兩條直線法向量的模相等,那么這兩個(gè)向量的和恰好平分向量的夾角!

于是操作:l1: 2x+y ?3 = 0 的法向量是n1= (2,1),|n1|=√l2:x ?6y+ 5 = 0 的 法 向量是n2= (1,?6),|n2|=所以改直線l1方程為l1:= 0, 法向量是n1=

同理改直線l2方程為l2:法向量是n2=顯然|n1|=|n2|, 我們令兩直線方程“相加”, 得到直線如圖.

因?yàn)榭紤]兩直線的法向量模較大, 為了追求視覺(jué)效果,我們?cè)俅涡薷闹本€,直線l1:2x+y?3=0 的法向量是n1=直線l2方程為0, 法向量是兩直線方程“相加”,得到直線法向量是如下圖(左),同樣,我們借助于向量減法的意義,可以得到兩條直線“相減”仍可以得到直線l1:2x+y ?3=0 和l2:x ?6y+5=0 的一個(gè)角平分線所在的直線如下圖(右)示.以下我們證明這一結(jié)論.

先證明一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論:兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0,且A21+B21=A22+B22,即兩直線的法向量的模相等,|n1|=|n2|.則兩直線的角平分線,即對(duì)稱軸為(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2) = 0 和(A1?A2)x+(B1?B2)y+(C1?C2)=0.

證明: 設(shè)(x,y) 是直線l1和l2角平分線的任意一點(diǎn), 由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等, 所以因?yàn)樗詜A1x+B1y+C1|=|A2x+B2y+C2|, 即A1x+B1y+C1=±(A2x+B2y+C2), 此即為直線(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=0 和(A1?A2)x+(B1?B2)y+(C1?C2)=0,得證.

對(duì)于一般情況, 兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0, 我們?nèi)ˇ?得到兩直線新的方程l1:A1x+B1y+C1= 0,l2:λA2x+λB2y+λC2= 0,顯然(λA2)2+(λB2)2=即兩直線的法向量的模相等, 由以上結(jié)論可得, 兩直線的角平分線, 即對(duì)稱軸為(A1+λA2)x+ (B1+λB2)y+ (C1+λC2) = 0 和(A1?λA2)x+(B1?λB2)y+(C1?λC2)=0.

對(duì)于求夾角的角平分線直線方程, 只需根據(jù)實(shí)際情況(位置或者斜率),取舍即可!

我們?cè)賮?lái)看一道題目:

例1 已知ΔABC的三邊所所在直線的方程分別為lAB: 4x ?3y+ 10 = 0,lBC: 12x+ 5y ?15 = 0,lAC: 5x ?12y ?5 = 0,求ΔABC內(nèi)角角平分線所在直線的方程.

求兩直線的角平分線,實(shí)際上就是兩直線的對(duì)稱軸,由此聯(lián)系,能否用這種方法解決一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線呢? 先通過(guò)一道具體題目來(lái)看:

例2求直線2x+y?4=0 關(guān)于直線AB:3x+4y?1=0 對(duì)稱的直線l的方程.

解: 設(shè)直線l的方程為Ax+By+C= 0, 不妨設(shè)A2+B2= 22+ 12= 5, 所以有(2± A)x+ (1±B)y+ (?4± C) =m(3x+ 4y ?1),m /= 0.不妨設(shè)(2+A)x+(1+B)y+(?4+C)=m(3x+4y ?1).

上式對(duì)?x,y ∈R 恒成立,則有2+A=3m,1+B=4m,?4+C=?m,解得A=3m?2,B=4m?1.由A2+B2=22+12= 5,即A2+B2= (3m ?2)2+(4m ?1)2= 5?或0(舍),所以,所以直線l方程為=0,即2x+11y+16=0.

以上方法推廣到一般形式:

求直線A1x+B1y+C1=0 關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的直線l的方程.

解: 設(shè)直線的方程為A2x+B2y+C2= 0 , 不妨設(shè)所以有:(A1±A2)x+(B1±B2)y+(C1±C2)=m(Ax+By+C),m/=0,不失一般性.取(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)=m(Ax+By+C),對(duì)?x,y ∈R 恒成立,則有A1+A2=mA,B1+B2=mB,C1+C2=mC,解得A2=mA?A1,B2=mB?B1,由即= (mA ?A1)2+(mB ?B1)2,即(A2+B2)m2?2(A1A2+B1B2)m+所以m=或0(舍) , ∴所求直線方程為(mA ?A1)x+ (mB ?B1)y+ (mC ?C1) = 0, 其中m=

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的例(習(xí))題凝聚了幾代專家、學(xué)者的集體智慧和結(jié)晶,看似平淡無(wú)奇的課后習(xí)題,往往隱藏著深遠(yuǎn)的研究意義,也是包括高中在內(nèi)的大型考試?yán)碚撛搭^,深入研究,往往有著意想不到的.從全方位、多角度對(duì)這些習(xí)題的探究,讓我們變中求進(jìn)、進(jìn)中求通,通中求簡(jiǎn),開闊視野,拓展思維,從而跳出“題?！?、觸類旁通,進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.

以上是筆者對(duì)直線“相加”、“相減”分析的淺顯的思考,與讀者交流.