讓函數(shù)考查回歸本質(zhì)*
——對(duì)廣州市中考數(shù)學(xué)第25題的思考

廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523808) 嚴(yán) 明

廣州市中考數(shù)學(xué)第25 題的設(shè)計(jì)一直以來(lái)都頗具特色,近二年來(lái),都是以含參二次函數(shù)為主體,無(wú)圖呈現(xiàn)的綜合壓軸題,解決這類問題應(yīng)當(dāng)如何尋找思路的突破口? 給我們的教學(xué)帶來(lái)怎樣的思考? 本文以2019 年、2020 年的問題解答為例,談些自己的思考,供大家參考.

1 2019 年原題呈現(xiàn)

已知拋物線G:y=mx2?2mx ?3 有最低點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y=mx2?2mx ?3 的最小值(用含m的式子表示);

(2)將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),隨著m的變化,拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)記(2)所求的函數(shù)為H,拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P,結(jié)合圖象,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

1.1 思路分析

函數(shù)綜合題不給出函數(shù)圖象,這對(duì)考生無(wú)疑構(gòu)成為一種強(qiáng)大的心理壓力, 需要他們冷靜分析試題中的每一個(gè)條件,根據(jù)解題的需要,自行繪制出函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題.

對(duì)于此題的題干條件,含參數(shù)m的二次函數(shù)有最低點(diǎn),可以判定二次項(xiàng)系數(shù)m ＞0,在第(1)中求二次函數(shù)的最小值,可以運(yùn)用公式法,也可以運(yùn)用配方法,而運(yùn)用配方法將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式更好.

第(2)問中,將拋物線平移,根據(jù)坐標(biāo)系平移特征,平移m個(gè)單位后拋物線G1可以表示,其頂點(diǎn)坐標(biāo)也可以表達(dá),利用消元思想求函數(shù)解析式.

第(3) 問, 研究拋物線G與一次函數(shù)H之間的交點(diǎn)P, 一般思路是將兩函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組,解方程組, 但面對(duì)一個(gè)含參的方程組, 消元后, 得到:mx2+ (?2m+ 1)x ?1 = 0, 在不能使用因式分解的情況下接下來(lái)要用公式法解,計(jì)算量顯然會(huì)很大,是不是要硬著頭皮進(jìn)行呢? 一時(shí)思維受阻.根據(jù)題目提示:“結(jié)合圖象,判定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍”,嘗試性地畫函數(shù)圖象,但由于拋物線G含有參數(shù)m,圖象似乎也很難準(zhǔn)確確定.

當(dāng)然,還是可以確定一些相關(guān)要素的,比如拋物線對(duì)稱軸為x= 1,與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)C(0,?3),畫出示意圖等.觀察圖象,可知拋物線過點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D(2,?3),得到交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)肯定小于?3,而大于?m ?3,但接下來(lái)要更精確地鎖定點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍,這是有一定挑戰(zhàn)的,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E,借助于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵.

1.2 解答參考

(1)由題意得:y=mx2?2mx ?3=m(x2?2x)?3=m(x ?1)2?m ?3,∵拋物線有最低點(diǎn),∴m ＞0,二次函數(shù)的最小值為?m ?3.

(2)由題意得,G:y=m(x ?1)2?m ?3 向右平移m個(gè)單位后得G1:y=m(x ?1?m)2?m ?3(m ＞0),∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1+m,?m ?3),則消去m,得y=?x ?2,∵m ＞0,∴x=1+m ＞1.即隨著m的變化,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間存在的函數(shù)關(guān)系式為:y=?x ?2,且取值范圍是x ＞1.

(3)由y=mx2?2mx?3可知: 對(duì)稱軸為x=1,與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,?3),由拋物線的對(duì)稱性可知,其圖象必過對(duì)稱點(diǎn)D(2,?3).∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,?m ?3),對(duì)于函數(shù)H:y=?x ?2(x ＞1),當(dāng)x=1 時(shí),y=?1?2=?3,∴點(diǎn)F(1,?3),當(dāng)x=2 時(shí),y=?2?2=?4,∴E(2,?4),∴函數(shù)圖象交點(diǎn)P必在線段EF之間,即點(diǎn)P縱坐標(biāo)yP取值范圍是:?4＜yP ＜?3.

圖1

2 2020 年原題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)過A(1,c ?5a),B(x1,3),C(x2,3),頂點(diǎn)D不在第一象限,線段BC上有一點(diǎn)E,設(shè)ΔOBE的面積為S1,ΔOCE的面積為S2,S1=S2+

(1)用含a的式子表示b;

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+3,求y=ax2+bx+c在1＜x ＜6 時(shí)的取值范圍(用含a的式子表示).

2.1 思路分析

這也是沒有圖形呈現(xiàn)的函數(shù)綜合題,需要仔細(xì)分析問題題干中給出的條件,盡可能地尋找問題的突破口.

第(1)問要用含a的式子表示b;二次函數(shù)解析式含a、b、c三個(gè)參數(shù),所給的A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)也都?xì)埲辈蝗?剛開始真的并不一定很明確要如何走, 但可以嘗試著將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式,結(jié)果運(yùn)氣好化簡(jiǎn)時(shí)消去了c,得到一個(gè)關(guān)于a、b的關(guān)系式,問題得到解決;

第(2)問是在第(1)基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究.題目已知中C,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不確定,但縱坐標(biāo)相同,可知B、C兩點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn),(1)的結(jié)論,實(shí)質(zhì)是研究拋物線的對(duì)稱軸,得到對(duì)稱軸為x= 3,再研究ΔOBE、ΔOCE的面積,這是兩個(gè)不同底,但高都為3 的三角形,由題目中S1、S2的關(guān)系式,可轉(zhuǎn)化得到BE=CE+1,如何認(rèn)識(shí)這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)難點(diǎn),可放在數(shù)軸上,也可由線段及中點(diǎn)的知識(shí)推導(dǎo).

圖2

如圖2, 線段BC及中點(diǎn)M, 得到BM=MC, 由BE=EC+1,∴BM+EM=EC+1,∴MC+EM=EC+1,∴MC+EM ?EC= 1,∴EM=在坐標(biāo)系中,點(diǎn)M坐標(biāo)為(3,3),由此推理得到點(diǎn)E的坐標(biāo),當(dāng)然,需要注意的是點(diǎn)B不一定在左邊,所以點(diǎn)E的位置在坐標(biāo)系中,可能在對(duì)稱軸右邊,也可能在左邊,分二種情況;

第(3)問,肯定是問題的制高點(diǎn),首先還是要確定一下圖象,哪怕是某些元素不確定的大致圖象,這一問中,點(diǎn)D是頂點(diǎn),點(diǎn)F的橫坐標(biāo)說(shuō)明點(diǎn)F在對(duì)稱軸右邊,所以點(diǎn)E只能是對(duì)稱軸右邊點(diǎn),接下來(lái)如何思考呢? 由D、E、F三點(diǎn)的橫坐標(biāo)都已確定或可表示,所以,思考這三點(diǎn)的縱坐標(biāo),構(gòu)造由平行線組成的兩三角形相似來(lái)尋找突破口,經(jīng)過比較大的運(yùn)算之后,可得到c、a之間的關(guān)系式c= 9a,這樣二次函數(shù)解析式就可以都用含a的式子表示,再由對(duì)稱軸為x= 3,研究1＜x ＜6 可知,這是需要研究拋物線上非對(duì)稱區(qū)間y的取值范圍,分別求出界點(diǎn)(即x=1、x=6 時(shí))對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,再綜合得到函數(shù)值的取值范圍.

2.2 解答參考

(1)由A(1,c ?5a)代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,得到:a+b+c=c ?5a,∴b=?6a;

(2) 由題意, 可得對(duì)稱軸x== 3; 再由B(x1,3),C(x2,3) 可知:BC//x軸, 且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.由S1=∴EB=CE+1,再由對(duì)稱性可知,點(diǎn)E到對(duì)稱軸的距離為

圖3

(3) 由交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+ 3＞3, 可 見點(diǎn)F在對(duì)稱軸右邊, 如圖3,過點(diǎn)F作FN ⊥x軸交于直線BE于點(diǎn)N, 當(dāng)x=時(shí),y=?6a×∴FN=?9a+c ?3,EN=由(1)可知,當(dāng)x=3 時(shí),y=9a?18a+c=c?9a.∴D(3,c?9a),MD=3?c+9a,由題意, 可得: ΔMDE∽ΔFEN.得到:化簡(jiǎn)得到c=9a,∴拋物線的解析式為y=ax2?6ax+9a,∴由1＜x ＜6,a ＞0,對(duì)稱軸為x= 3,可知: 當(dāng)x= 3 時(shí),y最小為c ?9a= 0;當(dāng)x= 6時(shí),y=36a ?36a+c=9a,∴0 ≤y ＜9a.

3 試題思考

3.1 關(guān)注函數(shù)壓軸考查回歸本質(zhì)

長(zhǎng)期以來(lái), 充斥于中考卷中二次函數(shù)類的綜合壓軸題,大都是把函數(shù)圖像與幾何圖形結(jié)合起來(lái), 考查圖形的屬性,這類試題因其過分注重技巧套路,有將未來(lái)高中要學(xué)的解析幾何的有關(guān)研究放在初中探究?jī)A向,不夠自然,偏離了函數(shù)研究的本質(zhì),其命題導(dǎo)向一直飽受詬病.什么是函數(shù)? 函數(shù)就是刻畫現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型,在初中范圍內(nèi),函數(shù)本質(zhì)是“變量說(shuō)”,指向的是兩個(gè)變量之間的一種單值對(duì)應(yīng)關(guān)系,而函數(shù)的單調(diào)性,才是中學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)最基本、最核心的性質(zhì),所以,在初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域,最重要的知識(shí)就是函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),最重要的思想就是模型思想、變化和對(duì)應(yīng)的思想.考查的重點(diǎn)就是利用數(shù)形結(jié)合的研究方法,既從解析式來(lái)確定圖像的意義,又從圖像來(lái)獲取對(duì)應(yīng)與變化規(guī)律.廣州市這二年函數(shù)綜合題可謂是正本清源,回歸本質(zhì).從所涉及到的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看,主體是二次函數(shù),專注于二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、交點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)圖象平移特征等基礎(chǔ)知識(shí),前一題從拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律的角度,研究縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并應(yīng)用函數(shù)圖象,直觀想象研究交點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化規(guī)律;而后一題,則以圖像上若干點(diǎn)的坐標(biāo)之間的依賴關(guān)系, 研究拋物線上一部分的變化規(guī)律.這種考查抓住了函數(shù)的本質(zhì),體現(xiàn)了知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系.

3.2 回應(yīng)當(dāng)下的命題趨勢(shì)

函數(shù)中含參問題是近年來(lái)各地中考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)亮點(diǎn).研究這兩年各地的中考試題, 不難發(fā)現(xiàn), 以含參數(shù)的形式來(lái)研究數(shù)學(xué)問題有增多趨勢(shì),比如2019 年的揚(yáng)州卷第27題、宜昌卷第24 題、泰州卷第26 題、天津第25 題、浙江舟山卷第24 題,2020 年上海第24 題、北京第26 題、長(zhǎng)沙第24題、揚(yáng)州第28 題等.其實(shí),廣州卷早在2016 年中考中就有類似的設(shè)計(jì),在2018 年中考卷第24 題也是如此.參數(shù)問題,因其抽象不具體、參變量不確定而引起圖像相應(yīng)地產(chǎn)生某些變化特征,對(duì)學(xué)生解題能力要求較高,一直以來(lái)都是學(xué)生不易把握的難點(diǎn),但同時(shí),這也是初、高中知識(shí)銜接的一個(gè)切入口,廣州卷堅(jiān)持這種導(dǎo)向,既是對(duì)當(dāng)下命題亮點(diǎn)趨勢(shì)的一種回應(yīng),也是對(duì)教學(xué)導(dǎo)向的一種堅(jiān)守.

4 教學(xué)啟示

4.1 堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的深度教學(xué)

從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度,文中的兩道綜合題都是重點(diǎn)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).首先是學(xué)生的運(yùn)算能力.解決有關(guān)綜合題,沒有高超的運(yùn)算能力,肯定是行不通的.而參數(shù)的加入,使得運(yùn)算要求變得更高了.含參的頂點(diǎn)坐標(biāo)、含參的交點(diǎn)坐標(biāo)、含參的點(diǎn)的坐標(biāo)、含參式子的因式分解等等,都會(huì)增加運(yùn)算的難度,影響學(xué)生運(yùn)用運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行推理、歸納和發(fā)現(xiàn),阻隔學(xué)生的思維,當(dāng)然這也說(shuō)明,在初一初二的代數(shù)教學(xué)中,其實(shí)也需要適當(dāng)滲透一些字母運(yùn)算的機(jī)會(huì)的.

其次是數(shù)形結(jié)合的研究方法受到了挑戰(zhàn), 參數(shù)的加入,使得連畫函數(shù)圖像都成了一件很困難的事情,題目中沒有圖像呈現(xiàn),自然就會(huì)影響到學(xué)生觀察圖像,直觀想象的能力.由此,在平時(shí)的教學(xué)過程中,仍然要立足數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),堅(jiān)持抓住函數(shù)本質(zhì)的教學(xué),運(yùn)用圖形和空間想象的意識(shí),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,規(guī)范表達(dá),形成學(xué)生一般性思考、程序化思考問題的習(xí)慣,發(fā)展學(xué)生的思維.

4.2 加強(qiáng)含參二次函數(shù)解題反思

對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)綜合題難度往往很大,但也有其相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法.首先是在日常教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生深入探究問題的本質(zhì)特征,提高解后反思,比如追問“三個(gè)一”即一題多解、一題多變、多題歸一,“你知道一道與它有關(guān)系題目嗎? ”“你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎? ”而不是盲目追求解題的數(shù)量.其次,要深刻理解含參數(shù)的二次函數(shù)中各參數(shù)的含義,克服因參數(shù)的不確定性帶來(lái)的困難,尋找其變化中的不變量,這通常就是問題的切入點(diǎn).比如可以嘗試通過含參的二次函數(shù)的解析式進(jìn)行“圖像六追”: 拋物線的開口方向有沒變化、對(duì)稱軸有沒有變化、頂點(diǎn)坐標(biāo)有沒有變化、增減性有沒有變化、有沒有過某個(gè)定點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)有沒有變化等,從中挖掘其中的隱含信息,尋找不變量,把握?qǐng)D像的變化規(guī)律,并注意積累解題經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上,對(duì)于含參的二次函數(shù)y=ax2+bx+c,如果a、b、c之比為定值時(shí),與x軸的交于定點(diǎn);如果a、b的比為定值時(shí),對(duì)稱軸或頂點(diǎn)橫坐標(biāo)一定不變;解析式如果能夠因式分解成兩個(gè)一次式的乘積,就意味著對(duì)稱軸以及與x軸兩交點(diǎn)間的距離可研究,觀察解析式,看有沒有哪組值代入,剛好令相關(guān)參數(shù)全部消除,這就說(shuō)明圖像過某個(gè)定點(diǎn).