穩(wěn)健波束域MVDR 高分辨算法

魏濤 沈文苗

（第七一五研究所，杭州，310023）

用聲基陣探測目標時，傳統(tǒng)的方法采用常規(guī)波束形成（Conventional BeamForming，CBF），但是它的方位估計精度和分辨能力較差，特別是在低信噪比下，當多個目標方位互相靠近時，CBF 算法的分辨能力就顯得很有限。針對這一局限性，Capon于1969 年提出了具有良好的分辨能力的MVDR 波束形成器[1]，但是該算法對陣列失配敏感，在陣列校準失配、快拍數(shù)少等情況下，性能嚴重下降。

現(xiàn)在已有許多方法來提高MVDR 算法的穩(wěn)健性[2-7]，其中包括NCCB 和RCB[4]，它們都屬于對角加載法。NCCB 根據(jù)陣列失配程度利用加權范數(shù)約束來自適應地求解加載量；RCB 利用陣列導向矢量的不確定集求解加載量。然而NCCB 和RCB 在運算過程中計算量都較大，在實際工程中難以應用。為了降低計算量，文獻[8]提出在RCB 框架下的Krylov子空間降維技術，以實現(xiàn)低復雜度且快速收斂的穩(wěn)健自適應波束形成器。文獻[9]提出通過劃分子陣的方式來進行降維處理，以犧牲一定的分辨率來減小算法的復雜度，具有一定的工程應用價值。

本文利用波束域降維方法，即將陣元域數(shù)據(jù)轉換成低維的波束域數(shù)據(jù)，再進行后續(xù)處理；理論推導了BNCCB 和BRCB 算法，經(jīng)仿真分析結果驗證了其運算速度和算法穩(wěn)健性均得到提高。

1 算法描述

1.1 MVDR 算法

假設基陣是由M 個水聽器組成的均勻線列陣，陣元間距d 為半波長，且空間存在l 個遠場無關的窄帶信號入射進基陣，如圖1 所示。

假設信號入射的方位角為 θi（ i=1,2, … ,l），則相鄰陣元之間的時延表示為

式中，c 為水聲信號的傳播速度。

圖1 基陣結構示意圖

對于陣元間距為半波長的均勻線陣，陣列的導向矢量為

則陣列流形矩陣表示為

窄帶遠場信號的陣列接收數(shù)據(jù)模型為

式中， s （ t ）是信號向量， n （ t）是噪聲向量。

在實際中，陣列協(xié)方差矩陣?R 是未知的，可以由一段數(shù)據(jù)快拍樣本的空間相關矩陣來估計：

式中，L 是快拍數(shù)，（）H· 表示共軛轉置。

MVDR 波束形成器的設計原理是讓它對感興趣方位的信號無失真地輸出，而使波束輸出功率P =wHRw 最小。即

采用拉格朗日算子，可求得MVDR 波束形成器的權矢量為

則MVDR 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ ∈Θ）掃描的輸出功率為

1.2 BMVDR 算法

波束域方法將陣元空間數(shù)據(jù)轉換到波束空間，如圖2 所示，這一步是波束域方法的關鍵[10]。以半波長布陣方式，由M 個陣元組成的均勻線陣的離散空間傅里葉變換可表示為

式中，sinuθ=。

圖2 空間轉換示意圖

定義1M× 的離散空間傅里葉變換波束形成加權矢量為

并構造M N× 的波束轉換矩陣T 為

為了保證波束轉換后不改變噪聲的統(tǒng)計特性，使波束域輸出仍然滿足空間白噪聲背景，通常要求波束轉換矩陣滿足

不滿足上式時，可以通過To=T （THT）-1/2進行正交化。此時波束域中輸入向量表示為

波束域中導向矢量表示為

而波束域輸入向量的協(xié)方差矩陣為

因此，BMVDR 的權矢量表示為

則BMVDR 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ∈Θ）掃描的輸出功率為

1.3 BNCCB 算法

對BMVDR 波束形成器增加加權向量范數(shù)，得到BNCCB。

式中，ξ 越小，波束形成器的穩(wěn)健性越高。但它不能無限小，還須滿足1/Mξ ≥ 。

因此，若范數(shù)約束是激活的，BNCCB 波束形成器為

利用上式約束條件，通過拉格朗日算子可以求得BNCCB 的權矢量為

可見，BNCCB 波束形成器屬于對角加載類方法。與常規(guī)對角加載法不同的是，BNCCB 波束形成器中的對角加載量是通過加權向量范數(shù)約束量確定的。

BNCCB 波束形成器對角加載量λ 可以通過求解如下方程得到

可以證明[11]，在激活條件約束下，上式存在唯一的正數(shù)解0λ ＞ 。而且式（21）左邊函數(shù)是單調降函數(shù)，因此可以用牛頓迭代法求解。接下來求λ的范圍。將BR 進行特征值分解，得到

式中，BΓ 是由特征值組成的對角矩陣，且

令

且nz 表示z 的第n 個元素。式（21）可以寫成[6]

因此有

由此可以得到λ 的上界，考慮到0λ ≥ ，λ 的上下界范圍為

將求解出的λ 代入到式（20）中得到 wBNCCB。

BNCCB 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ∈Θ）掃描的輸出功率為

波束域數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

式中，BsR 、BiR 、BnR 分別是波束域信號、干擾與噪聲協(xié)方差矩陣。于是BNCCB 波束形成器的輸出SINR 表達式為

1.4 BRCB 算法

式中，ε 是用戶設定的導向矢量誤差范數(shù)上界。

對于任意給定的b，式（31）中的波束域穩(wěn)健波束形成問題可以轉化為

為了避免無用解0=b，假設

式（32）的解顯然發(fā)生在約束集的邊界，因此不等式約束可以寫成等式約束：

運用Lagrange 乘子法，定義函數(shù)

式中，λ ≥ 0是實值Lagrange乘子。上式對 bH求導，并令導數(shù)為0，得到

可得上式中b 的解為

由矩陣求逆理論，上式進一步可寫成

通過特征分解，有

于是，式（38）可以表示為

代入下式中，得到估計的信號功率為

將式（40）代入下式中，得到RCB 波束形成器加權向量為

由上式可見，BRCB 方法是對角加載類算法，其對角加載量為1/λ。

將式（40）代入式（34）中的約束函數(shù)，可得

上式可以表示成

容易看出， g （ λ ）是關于λ 的單調遞減函數(shù)。由式（33）、（40）與（44）知 g（ 0）＞ ε。由式（44）知limλ→∞g（ λ）= 0＜ ε。因此，式（44）存在唯一解。分別用最大與最小特征值 γ1與 γN代替式中的γn，可以得到λ 的上下界范圍

將式（44）分母中的1 去掉，可以得到λ 的另一個上界

因此，λ 的上下界范圍為

將求解出的λ 代入到式（42）中得到wBRCB。則BRCB 波束形成器在觀察視區(qū)Θ（θ ∈Θ）掃描的輸出功率為

同理，BRCB 波束形成器的輸出SINR 表達式與式（30）一致。

2 仿真分析

2.1 算例一

假設空間具有半波長布陣方式的標準線陣，陣元數(shù)為16，快拍數(shù)為500，兩個單頻信號分別從θ1=0°、θ2=8°入射進來，SNR1=0 dB，SNR2=10 dB。仿真結果如圖3 所示。

圖3 無誤差下的CBF 和MVDR 空間譜

結果分析：常規(guī)波束形成器的空間譜圖中，由于CBF 算法的空間分辨力有限，無法準確分辨出兩個信號。而理想MVDR 空間譜中，MVDR 波束掃描得到的空間譜峰值更尖銳，正確顯示兩個信號。這說明MVDR 波束掃描具有比常規(guī)波束掃描更高的方位分辨能力。理想MVDR 空間譜效果很好，但在實際應用中，由于陣列失配問題，MVDR 空間譜性能下降嚴重。

2.2 算例二

圖4 陣列流形誤差下的空間譜

結果分析：陣列流形向量誤差下，BMVDR 波束形成器空間掃描效果下降嚴重，已無法分辨出空間中的兩個信號。雖然BNCCB 算法能分辨出這兩個信號，但估計的信號功率比真實信號功率低。只有BRCB 算法的信號功率估計能力較好，幾乎能正確指示信號功率。這表明BRCB 在陣列流形向量誤差下具有比BMVDR 和BNCCB 更高的方位分辨力，對陣列流形誤差具有一定的穩(wěn)健性。

用MATLAB R2016b 中CPUTIME 函數(shù)分別計算了表1 中6 種算法的運算時間。從表1 可以看出，在本例中，波束域算法計算量通常比陣元域算法小，證明了波束域方法能有效減小計算量。

表1 運算時間比較

2.3 算例三

下面利用仿真分析具體比較BMVDR、BNCCB和BRCB三種算法在不同的陣列失配情況下的性能。

假設空間具有半波長布陣方式的標準線陣，陣元數(shù)為16，選擇9 個波束，波束扇覆蓋范圍為[-30°, 30°]。期望信號從θ0=0°處入射，SNR=0 dB，干擾信號從θ=-20°處入射且INR=20 dB。BNCCB 算法中Gwd=1 dB。BRCB 算法中2ε = 。各個仿真均采用蒙特卡洛仿真方法重復試驗。圖5 為期望信號DOA 估計誤差而導致的陣列失配時輸出SINR 情況。圖中，橫坐標表示期望信號DOA 估計值相對于主瓣寬度的誤差。

圖5 DOA 估計誤差下輸出SINR

從三個仿真結果可以得到以下結論：

（1）BMVDR 在DOA 估計誤差下性能下降嚴重，BNCCB 和BRCB 在一定誤差范圍內性能有所改善。當DOA 估計誤差較小時，BRCB 對其的穩(wěn)健性較好；當DOA 估計誤差較大時，BNCCB 的穩(wěn)健性更好。

（2）在陣元位置誤差逐漸增大的過程中，BRCB 的輸出SINR 比BNCCB、BMVDR 中下降得更緩慢。

（3）陣元域RCB 與MVDR 相比，只需要更少的快拍數(shù)就能得到較好的輸出SINR。通過波束域處理后，性能再次得到提升。且波束數(shù)為7 時的估計性能優(yōu)于波束數(shù)9。

圖6 陣元位置誤差下輸出SINR

圖7 有限快拍下輸出SINR

仿真結果表明在三種不同的陣列失配誤差情況下，BNCCB 在提高DOA 估計誤差穩(wěn)健性方面優(yōu)于BRCB 和BMVDR，而BRCB 在提高陣元位置誤差情況的穩(wěn)健性方面優(yōu)于另兩種算法，并以BRCB在小塊拍情況為例，說明此算法分別從波束域處理和穩(wěn)健處理兩個維度提升MVDR 算法性能。

3 結論

波束域預處理通過一組波束聚焦感興趣的區(qū)域，減小系統(tǒng)復雜度的同時提高其穩(wěn)健性。本文對BRCB 和BNCCB 算法進行了理論分析及計算機仿真。仿真結果表明，在陣列失配誤差情況下，BRCB和BNCCB 較BMVDR 有更好的信號分辨力，且運算量相較于未經(jīng)波束域處理前有所減小。最后利用仿真實驗具體分析了三種算法在不同誤差情況下的穩(wěn)健性能。