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    枝晶生長的傅里葉譜相場模擬

    2021-04-19 08:36:48陳慧琴楊斌鑫
    太原科技大學學報 2021年2期
    關鍵詞:相場枝晶傅里葉

    陳慧琴,楊斌鑫

    (太原科技大學應用科學學院,太原030024)

    幾個世紀以來,液相凝固過程中復雜微觀結(jié)構的形成,如雪花的形成和金屬鑄態(tài)微觀結(jié)構,一直以來都是科學家們所關注的。尤其枝晶在凝固過程中的微觀結(jié)構尺度的演化決定了金屬的許多物理力學性質(zhì)[1],是金屬實際加工中具有精確尺寸和優(yōu)良性能的重要依據(jù)和基礎科學問題,因為幾乎所有的金屬體系都起源于液態(tài)。作為一種免于追蹤固-液界面,準確模擬液相凝固過程中枝晶界面形態(tài)的重要工具,相場方法(PF)深受國內(nèi)外廣大學者的追捧和廣泛使用。相場法是以Ginzburg-Landau理論為物理基礎,由van der Waals[2]所提出的擴散界面模型擴展而來,主要優(yōu)點在于,相場方法的運用使得計算枝晶生長過程中免于追蹤復雜的固-液兩相界面,通過使用實值0和1,分別代表液相和固相,用0~1之間表示固液界面,簡化了運算過程。Wheeler等人建立了合金的第一個相場模型[3-4],稱為WBM模型。Kim等人[5-6]介紹了另一種模型,采用了薄界面極限,被稱為KKS模型。

    在求解相場方程數(shù)值解的過程中,有限差分法是使用最為普遍的求解離散方法。然而,有限差分法的使用會離散出計算極為復雜的九點差分格式,增加了計算運行的時間。傅里葉譜方法作為一種求解偏微分方程的數(shù)值計算方法,將偏微分方程的解近似地展開成光滑函數(shù)的有限級數(shù)展開式,再由所此有限級數(shù)展開式與偏微分方程,求解得到有限級數(shù)展開式的系數(shù)方程組。使用傅里葉譜方法求解相場方程,不需要繼續(xù)計算復雜的九點差分格式的算子,并且對于與周期性邊界條件,傅里葉級數(shù)的計算更為便捷,譜方法的精度更為準確,相比有限差分方法,傅里葉譜方法的使用大大加快了求解相場方程的運算速度,提高了數(shù)值計算與數(shù)值模擬的效率。

    1 相場方程的建立

    1.1 相場控制方程

    下面給出的模型基于Kobayashi[7]最著名的工作,其作為樹枝狀凝固的最早相位場模型之一。該模型包括兩個變量:一個是非守恒相場參數(shù)φ(r,t),它在固體中取值1,在液體中取值0.另一個是溫度場T(r,t),也隨著凝固的進展而進化。其中,r是空間位置,t是時間。

    在相場方程演化過程中,假設了與時間有關的Ginzburg-Landau或Allen-Cahn方程:

    (1)

    其中τ是松弛時間,Χ(φ,m)是系統(tǒng)自由能函數(shù)。

    之后,考慮Ginzburg-Landau型自由能[8]:

    (2)

    上述積分項中的fgrad(φ)是梯度能量,flocal(φ,m)是局部自由能。

    其中局部自由能的表達式為:

    flocal(φ,m)=

    (3)

    flocal(φ,m)對φ的一階導數(shù)為:

    (4)

    梯度能量的表達式為:

    (5)

    其中ε是各向異性梯度能量系數(shù),它決定界面層厚度。為了引入界面各向異性,假定在界面處ε依賴于外法向量的方向[9]。

    而ε的值可通過以下表達式計算:

    (6)

    σ(θ)=1+δcos(j(θ-θ0))

    (7)

    上式中δ是各向異性強度;j是各向異性模數(shù);θ0是初始偏移角,取作常數(shù)。這里角度θ被定義為:

    (8)

    (4)式中的m,假定它取決于過冷度和溫度[7],它的表達式為:

    (9)

    其中α是一個正常數(shù),Teq是平衡溫度。

    將(2),(3),(4),(5)代入到(1)中,整理可得:

    (10)

    1.2 溫度場控制方程

    由焓守恒定律導出的溫度場T(r,t)的演化方程:

    (11)

    上式中T無量綱化的溫度,所以特征冷卻溫度是零,平衡溫度是1[10].κ是一種無量綱潛熱,它與潛熱成正比,與冷卻強度成反比。為了簡單起見,無論在固相中還是液相中都將擴散常數(shù)設置為相同的。

    2 用傅里葉譜方法演化相場模型

    2.1 傅里葉譜方法

    傅里葉空間中空間導數(shù)的一般關系如下[11]:

    其中{·}k是括號內(nèi)量的傅里葉變換,k是k個傅立葉模式的系數(shù)。

    特別的,當n=1時且在二維空間中有[12]:

    其中F(A)=fft(A),F(xiàn)-1(A)=ifft(A),fft傅里葉正變換,ifft是傅里葉逆變換。

    根據(jù)上述表達,相場模型中的空間一階偏導、時間一階偏導、拉普拉斯算子的傅里葉變換如下:

    空間一階偏導:

    時間一階偏導:

    對于時間的偏導數(shù)采用向前差分。

    拉普拉斯算子:

    F(2φ)=-k2{φ}k,F(xiàn)(2T)=-k2{T}k

    若使用有限差分九點格式離散拉普拉斯算子則有:

    ?2ψ(i,j,n)=ψxx(i,j,n)+ψyy(i,j,n)=

    很直觀的就可以觀察到,傅里葉譜方法在運算上比有限差分簡單的多。

    2.2 相場模型的離散

    用傅里葉譜方法變換方程(10)兩邊[13]:

    (12)

    (12)的半隱式形式是:

    (13)

    Δt是時間步長n+1和n之間的時間增量[14],通過重新排列(13),得:

    (14)

    對溫度場方程(11)進行傅里葉譜變換:

    (15)

    (15)的半隱式形式是:

    (16)

    Δt是時間步長n+1和n之間的時間增量,通過重新排列(16),得:

    (17)

    3 結(jié)果與討論

    為了證明傅里葉譜方法可用于求解此類方程,對求解結(jié)果進行了數(shù)值模擬。

    下面給出處理后方程所需要的相場模型參數(shù)的取值:

    這些模擬是針對一個方形模擬單元進行的,該模擬單元Nx=Ny=300,網(wǎng)格步長為dx=dy=0.03,時間步長為Δt=0.000 1,時間迭代步數(shù)為4 000.

    初始結(jié)晶核的大小是x2+y2<10.0,如圖1所示。

    圖1 初始晶核

    實驗所需的其他無量綱化參數(shù)在表1中已給出,利用Matlab進行編程,并用Paraview可視化得到下列圖像(如圖2所示),分別是在時間迭代步數(shù)為400、1 400、2 400、3 400時的圖像,其中圖2第一行是枝晶凝固的時間演變,圖2第二行是溫度場的時間演變。在無噪聲的情況下,采用粗糙網(wǎng)格進行數(shù)值模擬,得到了定性的結(jié)果,與楊斌鑫等人的結(jié)果非常一致。

    表1 模擬所需的無量綱化參數(shù)

    張晨輝提到隨各向異性強度δ增加,枝晶尖端不再分叉,且在主枝上出現(xiàn)了側(cè)枝,主枝變細,優(yōu)先生長;而平衡溫度Teq增大,枝晶側(cè)枝的生長速度變快,側(cè)枝的尖端半徑在減小。通過改變模擬時的各向異性強度、平衡溫度等參數(shù),得到了如圖3、圖4所示的實驗結(jié)果,其中a1-a3(時間迭代步數(shù)分別為900、1 900、2 900)以及b1-b3(時間迭代步數(shù)分別為600、1 600、2 600)是數(shù)值結(jié)果,而a4和b4是實驗結(jié)果,與實驗結(jié)果對比,可以看到數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果非常一致。

    圖2 各向異性模數(shù)j=6,各向異性強度ε=0.02時,枝晶凝固的時間演變和溫度場的演變

    圖3 各向異性模數(shù)j=6,各向異性強度ε=0.06時,所獲得的片晶形態(tài)

    圖4 平衡溫度Teq=0.9時枝晶凝固的時間演變和實驗結(jié)果

    在圖5中(分別是在時間迭代步數(shù)為400、1 400、2 400、3 400時的圖像),在界面上加了小噪聲,這樣更接近現(xiàn)實。采用了隨機數(shù)字序列arφ(1-φ)表示噪聲,其中a為噪聲幅值,此處取a=1,x均勻分布在[-0.5,0.5]這個區(qū)間上。對比圖2第一行發(fā)現(xiàn),加了噪聲后的圖像主枝稍微粗壯了些,側(cè)枝數(shù)量減少,枝晶生長速度減緩。

    圖5 加噪聲后枝晶凝固的時間演變

    4 總結(jié)

    通過建立傅里葉譜方法計算一般相場方程的演化求解步驟,使用傅里葉譜方法求解模擬枝晶生長的相場模型,簡化了方程中拉普拉斯算子的演化,提高了整體運算速度與實驗模擬效率,通過改變模擬參數(shù),定性研究了晶體生長形態(tài)的變化,證明了使用傅里葉譜方法求解枝晶生長的相場法的有效性,是一種更為便捷的計算方法。

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