折線拱結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定分析

許 能

（湖南澧水流域水利水電開發(fā)有限責(zé)任公司，湖南長沙 410000）

1 概述設(shè)計折線拱結(jié)構(gòu)

通常都把上部結(jié)構(gòu)的承力點布置在折線拱的兩個結(jié)點上，故折線拱具有如下受力特點：

（1）上部結(jié)構(gòu)由一跨増為三跨，跨度相應(yīng)減少為原來的1/3。由于上部結(jié)構(gòu)的跨度減少，改善了受力條件，使結(jié)構(gòu)簡化，節(jié)省了工程造價。

（2）除自身的重量以外，折線拱僅承受結(jié)點荷載的作用[2]。如忽略結(jié)構(gòu)的自重和材料彈性壓縮的影響，折線拱各桿件均處于壓縮狀態(tài)，即使將前述因素考慮在內(nèi)，引起的彎曲應(yīng)力仍然較小。使設(shè)計者有條件將結(jié)構(gòu)做得較為輕巧，以獲得良好的技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)。

綜上所述，在折線拱的設(shè)計中僅考慮強度和橫向穩(wěn)定性而不計算縱向穩(wěn)定性，會導(dǎo)致建筑物在竣工后因事先未評價，存在潛在的工程隱患。文章對此課題進(jìn)行了探討，采用壓桿非線性大位移的理論，推導(dǎo)出折線拱結(jié)構(gòu)縱向整體穩(wěn)定分析的仿歐拉公式，并附必要的圖表，供設(shè)計參考。

2 折線拱結(jié)構(gòu)的臨界荷載計算公式

折線拱結(jié)構(gòu)由三根桿件按π形連接構(gòu)成，故稱為π形框架或八字撐架結(jié)構(gòu)，其中兩側(cè)的斜桿常稱為支腿。當(dāng)支腿與基礎(chǔ)固結(jié)時，為無鉸折線拱；當(dāng)支腿與基礎(chǔ)鉸接時，為雙鉸折線拱，均為超靜定結(jié)構(gòu)，工程上多采用前者。

折線拱的中段（水平桿）通常為等截面桿，支腿一般采用等截面桿。本文只考察對稱等截面折線拱結(jié)構(gòu)，其成果可近似用于對稱變截面折線拱結(jié)構(gòu)。推導(dǎo)公式時，忽略桿件自重的影響。

2.1 無鉸折線拱結(jié)構(gòu)

無鉸折線拱結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 無鉸折線拱結(jié)構(gòu)

當(dāng)結(jié)點荷載P達(dá)到最小臨界荷載Pk時，折線拱產(chǎn)生反對稱形態(tài)的瞬間大位移，使結(jié)構(gòu)遭受整體破壞。現(xiàn)按位移法求解Pk，首先在結(jié)點1、2施加一反對稱的轉(zhuǎn)角Φ1和Φ2，支座0、3產(chǎn)生相應(yīng)的反對稱剪應(yīng)力Q01與Q32，且Q01=Q32，在轉(zhuǎn)角Φ1的作用下，桿單元01及12在結(jié)點1產(chǎn)生抗力矩M10和M12。

對于一根桿，當(dāng)桿單元AB兩端固結(jié)，且桿端A、B分別作用轉(zhuǎn)角ΦA(chǔ)和ΦB，桿端B相對于桿端A的線位移為δ時，桿端力計算如下：

式中：i——相對剛度；P——桿端軸向力。

四個函數(shù)分別為：

將上述桿單元的公式引用到折線拱中，得：

左支座的剪力：

在M01的表達(dá)式中，Φ0=0，故右端缺第二項；在M12的表達(dá)式中，Φ2=Φ1，故第二項Φ2使用Φ1代替。此外，由幾何關(guān)系得知：

轉(zhuǎn)角β01和β02的關(guān)系圖如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)角β01和β02的關(guān)系圖

3點為折線拱的右支座，其垂直位移為0，即：

將其代入，可得：

結(jié)點1的平衡條件為：ΣM=M10+M12=0。

將式（3）、式（8）兩式代入上述平衡方程，即得Φ1和β01的第一個表達(dá)式：

代入數(shù)據(jù)，式（9）結(jié)果為0。由折線拱在x方向的靜力平衡條件知Q01=0，代入（4）式，得：

代入數(shù)據(jù)，式（10）結(jié)果為0。在非0解的必要充分條件是系數(shù)矩陣的主行列式DetA為0，展開該行列式，即得無鉸折線拱的穩(wěn)定特征表達(dá)式：

代入數(shù)據(jù)，式（11）結(jié)果為0，是求解無鉸折線拱臨界荷載的通用公式：

式中：n——支腿與水平桿剛度之比。

注意，式（1）與式（13）中i、u的書寫形式雖然相同，但代表的物理意義完全不同，前者是指整個折線拱結(jié)構(gòu)，后者指特定的一根桿件[3]。由此可得：

式中：N01、N12——荷載P引起的桿件軸向力。

按幾何關(guān)系：

將上式代入特征式（11）并稍加整理：

根據(jù)式（16）可知，式（18）僅含n、、α和u四項，其中u為僅有的未知數(shù)。

按迭代法求解u的最小正數(shù)解umin，并代入（13）的第二式即得臨界荷載Pk的計算公式：

式中：ψ0——臨界荷載常數(shù)，下標(biāo)“0”表示無鉸折線拱結(jié)構(gòu)。ψ0僅與矢跨比、剛度比n、水平桿長度與跨度比α三者有關(guān)，與折線拱的具體尺寸無關(guān)，反映了折線拱的體型特征。

式（19）與歐拉公式的形式完全相同，可用于計算無鉸折線拱結(jié)構(gòu)縱向失穩(wěn)時的臨界荷載。為便于使用，根據(jù)電算的成果編制了ψ0的查算附表，使用時可直接查取ψ0值，或用二元線性內(nèi)插法計算ψ0值。

2.2 雙鉸折線拱結(jié)構(gòu)

雙鉸折線拱結(jié)構(gòu)臨界荷載計算公式的推導(dǎo)過程與無鉸折線拱相同，僅須將支腿換成一端固結(jié)、一端鉸接的桿單元。其穩(wěn)定特征方程為：

代入數(shù)據(jù)，式（20）結(jié)果為0。

將式（16）、式（17）代入（20）得：

按迭代法求解超越方程的最小正數(shù)解umin，得雙鉸折線拱結(jié)構(gòu)臨界荷載Pk的計算公式：

式中：ψ2——臨界荷載常數(shù)，下標(biāo)“2”表示雙鉸折線拱結(jié)構(gòu)。ψ2僅與矢跨比、剛度比n、水平桿長度與跨度比α三者有關(guān)，與折線拱的具體尺寸無關(guān)，使用時可二元內(nèi)插求得ψ2。

3 結(jié)語

（1）在相同的幾何參數(shù)下，ψ2的取值僅為ψ0的1/3左右，無鉸折線拱的整體穩(wěn)定性要高于雙鉸折線拱，故工程上應(yīng)優(yōu)先選用前者。

（2）當(dāng)折線拱承受的結(jié)點荷載小于或等于臨界荷載時，結(jié)構(gòu)是滿足縱向整體穩(wěn)定要求的。由于施工質(zhì)量的不可預(yù)見性、材料的不均勻性、其他的不確定因素，結(jié)構(gòu)需要有一定的穩(wěn)定安全儲備。

結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)的情況下，整個體系將發(fā)生大位移并導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不可逆轉(zhuǎn)的脆性破壞，問題較為嚴(yán)重，因此，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全儲備不宜過低。在目前無規(guī)范資料引用的前提下，考慮上述情況，建議整體安全系數(shù)k取4.5～5.0，按P≤Pk/k驗算折線拱結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。本文推薦的計算方法與公式適用于折線拱的縱向穩(wěn)定分析，即受力平面或稱結(jié)構(gòu)彎曲平面的穩(wěn)定計算，對折線拱橫向平面的穩(wěn)定性，仍須按帶綴板的壓桿歐拉公式進(jìn)行驗算，不可省略。

折線拱的組成桿件均為壓桿，桿件自身的穩(wěn)定已在強度設(shè)計時予以折減，因此，在整體穩(wěn)定計算中不另行考慮。

折線拱是超靜定結(jié)構(gòu)，且跨度一般較大，因此，桿件的彈性壓縮、混凝土的徐變與干縮對內(nèi)力的影響較大，在強度設(shè)計時須考慮上述問題[3]。

計算折線拱實際承受的結(jié)點荷載時，可將桿件自重及聯(lián)系梁等次要部件的重量按靜力等效的原則納入其中。