含有恒功率負(fù)荷的直流微網(wǎng)魯棒非脆弱模糊控制

張虹，袁琳，李博文，李偉東

（1. 現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(東北電力大學(xué))，吉林省 吉林市 132012；2. 國(guó)網(wǎng)平頂山供電公司，河南省 平頂山市 467000）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)中可再生能源滲透率不斷升高，為提高其消納能力，實(shí)現(xiàn)分布式電源和多元負(fù)荷的集中管理，直流微網(wǎng)近年來(lái)得到了廣泛的關(guān)注與研究[1]。與交流微網(wǎng)相比，直流微網(wǎng)不存在頻率穩(wěn)定、無(wú)功功率問(wèn)題，而且能夠省去大量交直流換流環(huán)節(jié)，從而提高效率、減少成本[2]。直流微網(wǎng)中的負(fù)荷都通過(guò)換流器與直流母線相連，當(dāng)負(fù)荷點(diǎn)換流器工作于恒壓模式且控制性能良好時(shí)，負(fù)荷點(diǎn)換流器及其負(fù)荷相對(duì)于直流微網(wǎng)可以看作是恒功率負(fù)荷(constant power load，CPL)[3]。在含船舶供電[4]、電動(dòng)汽車、航天器[5]和感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的場(chǎng)景中，對(duì)含恒功率負(fù)荷直流微網(wǎng)的控制與穩(wěn)定性研究是必不可少的[6]。

CPL 的負(fù)阻抗特性是直流微網(wǎng)不穩(wěn)定的主要來(lái)源之一。含CPL 的直流微網(wǎng)具有非線性特性，因此一般采用非線性控制方法來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性并降低CPL 的不良影響。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)反饋控制器來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)所獲得的控制規(guī)則來(lái)生成注入功率的參考值。文獻(xiàn)[8]提出一種基于前饋補(bǔ)償和反步設(shè)計(jì)算法相結(jié)合的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器，但是當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)干擾時(shí)，該方法不能完全消除恒功率負(fù)荷的非線性項(xiàng)。文獻(xiàn)[9]提出用有源阻尼來(lái)穩(wěn)定帶恒功率負(fù)荷的DC/DC變換器，并將補(bǔ)償變換器反饋的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)傳統(tǒng)的問(wèn)題，可以有效抑制恒功率負(fù)荷引起的不穩(wěn)定，但只研究了單源單負(fù)荷的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)。近年來(lái)，線性矩陣不等式(linear matrix inequalities，LMI)技術(shù)的簡(jiǎn)單性和有效性被逐漸挖掘出來(lái)，因此許多類型的研究利用該技術(shù)對(duì)含CPLs 的直流微網(wǎng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10]簡(jiǎn)單地建立TS(Takagi-Sugeno)模糊模型來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。而在文獻(xiàn)[11]中，對(duì)TS 模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)被局限在魯棒線性控制器上，使其在非線性直流微網(wǎng)中的適用性和性能降低，CPLs 的影響仍需減輕?，F(xiàn)有關(guān)于含CPLs 的直流微網(wǎng)的文獻(xiàn)中，通常假設(shè)控制器在投入系統(tǒng)時(shí)無(wú)誤差，且系統(tǒng)參數(shù)保持不變。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，含多CPL直流微網(wǎng)的參數(shù)不確定性、儲(chǔ)能系統(tǒng)模型(energy storage system，ESS)的不準(zhǔn)確、以及由于計(jì)算延遲、量化效應(yīng)和計(jì)算近似等原因都能引起控制器產(chǎn)生誤差，影響控制效果的精確穩(wěn)定。因此，所設(shè)計(jì)的控制器必須對(duì)系統(tǒng)和控制器自身的不確定性都具有魯棒性。

本文首先對(duì)含恒功率負(fù)荷的直流微網(wǎng)非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模，然后基于TS 模糊模型，采用扇區(qū)非線性方法將模型中的非線性項(xiàng)近似成以隸屬度函數(shù)為基礎(chǔ)的多個(gè)線性項(xiàng)之和。針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)確定及不確定兩種情景，推導(dǎo)參數(shù)不確定矩陣，分別形成了以LMI 表示的Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件，并以此設(shè)計(jì)魯棒非脆弱控制器。最后搭建仿真模型驗(yàn)證該控制器對(duì)于含CPL 直流微網(wǎng)的控制性能。

1 含CPL 的直流微網(wǎng)系統(tǒng)模型

1.1 CPL 對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

典型的直流微網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示，包含大量的換流裝置，這些電力電子器件在工作狀態(tài)時(shí)，可以忽略許多負(fù)荷功率輸出中的瞬態(tài)特性，因此可以建模為CPLs。

典型的直流微網(wǎng)中阻性負(fù)荷通常占比約為20%～25%，CPL 占比大約為75%～80%，當(dāng)負(fù)荷側(cè)換流器與負(fù)荷共同工作于恒功率狀態(tài)時(shí)，與源測(cè)換流器級(jí)聯(lián)就會(huì)引起不穩(wěn)定問(wèn)題。同時(shí)，相對(duì)于阻性負(fù)荷，CPL 是非線性的，呈現(xiàn)負(fù)阻抗特性，也會(huì)導(dǎo)致直流微網(wǎng)不穩(wěn)定[12]。

圖1 典型的直流微網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig. 1 Topological structure of typical DC microgrid

1.2 非線性直流微網(wǎng)系統(tǒng)建模

如圖1 所示的典型直流微網(wǎng)系統(tǒng)中包含一個(gè)直流源、一個(gè)儲(chǔ)能系統(tǒng)以及多個(gè)恒功率負(fù)荷，其中通過(guò)嚴(yán)格調(diào)節(jié)直流或交流負(fù)荷實(shí)現(xiàn)換流器輸入端功率為恒定值，并假設(shè)直流源電壓恒定且不可控?；谶B接到直流源的單個(gè)CPL 和儲(chǔ)能系統(tǒng)，可以得到含有多個(gè)CPL，一個(gè)ESS 和一個(gè)通過(guò)RLC 濾波器連接的直流電源的整個(gè)直流微網(wǎng)簡(jiǎn)化模型，如圖2 所示。從圖2 中可以明顯看出，可以將整體的直流微網(wǎng)解耦為Q+1 個(gè)子系統(tǒng)（即Q個(gè)CPL 子系統(tǒng)和一個(gè)直流電源子系統(tǒng)），且CPL子系統(tǒng)中等效電流源呈現(xiàn)非線性特性。

圖2 帶有Q 個(gè)CPLs 的直流微網(wǎng)簡(jiǎn)化模型Fig. 2 Simplified model of DC microgrid with Q CPLs

根據(jù)基爾霍夫定律，得到直流微網(wǎng)的微分方程如式(1)所示：

式 中：rj、Lj、Cj、rs、Ls、Cs分 別 表 示 第j個(gè)CPL 子系統(tǒng)及直流電源子系統(tǒng)中的電阻、電感和電容；iL j、uC j表示第j個(gè)CPL 子系統(tǒng)的電感電流和電容電壓；iLs、uCs分別表示直流電源子系統(tǒng)的電感電流和電容電壓；Udc表示直流電源的電壓；ies表 示控制器注入系統(tǒng)的電流；Pj表示第j個(gè)CPL 子系統(tǒng)的功率。

為了便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析，使用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變化如下：

式中：iL0j，uC0j，iL0s和uC0s表示該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)；其中由于直流電源恒定不變，坐標(biāo)變換后的值為零。

因此式(1)可以改寫成：

將第j個(gè)CPL 子系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成：

式 中：j={1,2,···,Q}；和分別是直流電源和CPL 子系統(tǒng)的狀態(tài)向量；非線性項(xiàng)；系數(shù)矩陣分別為：

將直流電源子系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成：

則直流微網(wǎng)系統(tǒng)整體動(dòng)態(tài)模型可以寫為

系數(shù)矩陣分別為：

2 基于TS 模糊模型的魯棒非脆弱模糊控制器設(shè)計(jì)

2.1 TS 模糊建模

TS 模糊建模將原非線性系統(tǒng)分解為有限個(gè)的局部線性系統(tǒng)，通過(guò)各個(gè)局部線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程表征整個(gè)非線性系統(tǒng)。由圖2 可知，含多個(gè)CPL 的直流微網(wǎng)系統(tǒng)可以等效成單個(gè)CPL 系統(tǒng)進(jìn)行研究[13]。因此對(duì)其進(jìn)行TS 模糊建模，只需考慮非線性項(xiàng)

本文采用扇區(qū)非線性方法[14]，在定義的狀態(tài)變量局部區(qū)間內(nèi)建立隸屬度函數(shù)、系數(shù)矩陣，進(jìn)而生成IF THEN 規(guī)則以形成TS 模糊模型。對(duì)于單個(gè)CPL 子系統(tǒng)，定義局部區(qū)間為其中為正標(biāo)量，確保在區(qū)間內(nèi)CPL 功率達(dá)到最大值仍能維持局部穩(wěn)定。

對(duì)于給定的區(qū)間，定義非線性項(xiàng)h1的扇區(qū)上下限為和， 即可得：

基于扇區(qū)非線性方法，非線性項(xiàng)h1可分解為

式中：M1、M2為隸屬度函數(shù)，且滿足：

求解式(8)、式(9)可得：

因此，含單個(gè)CPL 的直流微網(wǎng)模糊IF-THEN規(guī)則如下文所述。

因此得到等價(jià)TS 模糊模型為

式中：

從式(12)中可以看出，TS 模糊模型包括非線性隸屬函數(shù)Mi和 線性狀態(tài)空間表達(dá)式其中i=1, 2。因此，通過(guò)TS 模糊模型可以設(shè)計(jì)多個(gè)線性控制器共同維持非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。在接下來(lái)的小節(jié)中針對(duì)直流微網(wǎng)系統(tǒng)參數(shù)確定和不確定2 種情況，通過(guò)LMI 計(jì)算增益來(lái)設(shè)計(jì)模糊控制器。

2.2 參數(shù)確定系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

在這種情況下，假設(shè)直流微網(wǎng)的參數(shù)完全已知且系統(tǒng)中不包含不確定因素，針對(duì)式(12)設(shè)計(jì)模糊控制率為

式中：Ki表示從屬于Mi的線性控制器增益矩陣，保證直流微網(wǎng)的狀態(tài)變量部分收斂到額定值。

定義：如果Lyapunov 函數(shù)V滿足如下不等式：

則Lyapunov 函數(shù)指數(shù)收斂到零，系統(tǒng)呈指數(shù)穩(wěn)定。式中σ為衰減速率。

將式(12)、式(13)代入式(15)得到：

由于Mi≥0，若滿足不等式(14)，則：

對(duì)不等式(17)分別左乘右乘矩陣X=P-1，令Ni=KiP-1，則可以得到如下以LMI 表示的系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件，定義為定理1。

定理1：若TS 模糊系統(tǒng)(式(12))在控制器(式(13))作用下指數(shù)穩(wěn)定，給定衰減率 σ ＞0，則存在正定矩陣X和矩陣N1和N2，使下列以LMI表示的Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定條件成立，且增益矩陣Ki=NiX-1：

2.3 參數(shù)不確定直流微網(wǎng)系統(tǒng)的魯棒非脆弱模糊控制器設(shè)計(jì)

在含有恒功率負(fù)荷的實(shí)際直流微網(wǎng)中，系統(tǒng)的參數(shù)是隨時(shí)間變化的，即包含不確定因素。本文針對(duì)各子系統(tǒng)濾波電路參數(shù)、儲(chǔ)能控制系統(tǒng)參數(shù)2 種不確定性進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

描述具有不確定性項(xiàng)的系統(tǒng)的一種方法是考慮添加有界項(xiàng)到TS 模糊系統(tǒng)中[15]，對(duì)于所考慮的直流微網(wǎng)有：

式中 ΔAi， ΔBes表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定矩陣。

Δr1、 Δrs、 ΔL1、 ΔLs、 ΔC1、 ΔCs分別為各參數(shù)的變化量；參數(shù)不確定矩陣 ΔA1為為變化后參數(shù)；矩陣 ΔA2中除了元素Umin變?yōu)閁max， 其他均與 ΔA1相同。

另一個(gè)問(wèn)題是要考慮控制器的不確定性，如儲(chǔ)能單元的電壓變化、控制參數(shù)的誤差以及控制器數(shù)字實(shí)現(xiàn)的誤差等。因此可以將參數(shù)不確定矩陣 ΔBes看作為控制信號(hào)內(nèi)部的不確定，即設(shè)計(jì)一種魯棒非脆弱控制器，能夠抵抗系統(tǒng)參數(shù)變化和儲(chǔ)能單元的影響。則魯棒非脆弱控制器輸出信號(hào)為

式中 ΔKi,nfr為控制器增益不確定矩陣。

將式(20)代入式(19)，得到不確定閉環(huán)系統(tǒng)模糊模型：

同樣通過(guò)LMI 推導(dǎo)Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件，得到參數(shù)不確定系統(tǒng)魯棒非脆弱控制器增益Ki,nfr。

同理將式(21)代入式(15)，若滿足不等式(14)，則：

假設(shè)不確定矩陣是有界的，即

式中 δa、 δk為給定的正標(biāo)量。

對(duì)于任意矩陣A、B以及正定矩陣Q，有下列關(guān)系成立[16]：

通過(guò)式(23)、式(24)，可以得到：

對(duì)不等式(式(25))分別左乘右乘矩陣X=P-1，令Ni,nfr=Ki,nfrP-1，則可以得到如下以LMI 表示的不確定系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件，定義為定理2。

定理2：若不確定TS 模糊系統(tǒng)(式(19))在非脆弱控制器(式(20))作用下指數(shù)穩(wěn)定且具有魯棒性，給定的衰減率 σ ＞0，不確定上限指數(shù) δa≥0，δk≥0，則存在正定矩陣X、Q1、Q2和 矩陣N1,nfr、N2,nfr使下列以LMI 表示的Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件成立：

本文所提方法系統(tǒng)地設(shè)計(jì)了含CPLs 的直流微網(wǎng)的魯棒非脆弱模糊控制器，無(wú)論是系統(tǒng)參數(shù)確定的場(chǎng)景，還是參數(shù)發(fā)生變化的場(chǎng)景，都能夠維持系統(tǒng)的魯棒性和指數(shù)穩(wěn)定，總體設(shè)計(jì)過(guò)程如圖3 所示。

3 系統(tǒng)仿真分析

圖3 控制器設(shè)計(jì)流程圖Fig. 3 Overall flowchart of controller design

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的含恒功率負(fù)荷直流微網(wǎng)中魯棒非脆弱模糊控制器的可行性和有效性，在Matlab/Simulink 平臺(tái)搭建圖2 所示直流微電網(wǎng)的仿真模型。仿真參數(shù)：直流電源200 V，直流電源子系統(tǒng)濾波參數(shù)rs、Ls、Cs分別為1.1 Ω、39.5 mH、500 μF，CPL 子 系 統(tǒng) 濾 波 參 數(shù)r1、L1、C1分 別為1.1 Ω、39.5 mH、500 μF，設(shè)定局部區(qū)間=130.4、衰 減 率 σ=50 、上 限 值 δa=1， δk=0.1。應(yīng) 用LMI工具箱求解線性矩陣不等式。

首先分析恒功率負(fù)荷對(duì)直流微網(wǎng)的影響，含直流母線電壓控制單元的系統(tǒng)分別帶相同功率Pload=1.5 kW 的電阻性負(fù)荷和恒功率負(fù)荷，t=0.5 s時(shí)刻突增負(fù)荷功率至2.5 kW，得到直流母線電壓瞬時(shí)值波形如圖4 所示。

圖4 帶不同負(fù)荷系統(tǒng)直流母線電壓波形Fig. 4 Voltage waveform of DC bus connected with different loads

由圖4 可得，對(duì)于相同的負(fù)荷功率變化，當(dāng)系統(tǒng)中帶電阻性負(fù)荷時(shí)，直流微電網(wǎng)仍能保持穩(wěn)定運(yùn)行；而當(dāng)系統(tǒng)中帶恒功率負(fù)荷時(shí)，直流微電網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)生振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象，母線電壓上會(huì)疊加一個(gè)高頻的振蕩分量。

然后分別針對(duì)系統(tǒng)中各元件參數(shù)不變和發(fā)生變化2 種情形，對(duì)設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱模糊控制器的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證。

算例1：假設(shè)直流微網(wǎng)中各元件參數(shù)恒定不變，應(yīng)用定理1 生成控制器增益，并將控制效果分別與開環(huán)系統(tǒng)和傳統(tǒng)魯棒線性控制[17]進(jìn)行比較。

采用本文所提出的基于定理1 的魯棒非脆弱模糊控制器，不同隸屬度函數(shù)對(duì)應(yīng)的增益分別為：

圖5 為CPL 子系統(tǒng)和直流電源子系統(tǒng)濾波電路的電感電流和電容電壓波形以及控制信號(hào)的電流波形。仿真結(jié)果表明，所提控制器能夠快速有效地將變量控制在穩(wěn)定值，提高了直流微網(wǎng)的瞬態(tài)性能。與開環(huán)系統(tǒng)相比，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間縮短了20 倍以上，與傳統(tǒng)魯棒線性控制方法相比，時(shí)間縮短近2 倍。

算例2：假設(shè)系統(tǒng)中子系統(tǒng)濾波電路參數(shù)發(fā)生變化，分別驗(yàn)證應(yīng)用定理1 和2 的控制器在參數(shù)不確定系統(tǒng)中的魯棒性，并與傳統(tǒng)魯棒線性控制進(jìn)行比較。各參數(shù)數(shù)值變化百分比見表1。

參數(shù)不確定系統(tǒng)濾波電路的電感電流和電容電壓波形，以及控制信號(hào)電流波形如圖6 所示。

圖6 中控制1、控制2 分別對(duì)應(yīng)基于定理1和定理2 設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱模糊控制器。參數(shù)發(fā)生變化后，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明，基于定理2 設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱模糊控制器使得系統(tǒng)更加快速平滑地趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文以含恒功率負(fù)荷的直流微網(wǎng)為研究對(duì)象，建立非線性系統(tǒng)的TS 模糊模型，設(shè)計(jì)了一種魯棒非脆弱模糊控制器，并通過(guò)不同場(chǎng)景下與傳統(tǒng)線性控制器仿真對(duì)比，得出以下結(jié)論：

圖5 算例1 中直流微網(wǎng)狀態(tài)及控制輸入波形Fig. 5 Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 1

表1 參數(shù)變化百分比Table 1 Percentage of parameter changes

1）TS 模糊模型在表征含恒功率負(fù)荷直流微網(wǎng)系統(tǒng)的非線性時(shí)使用的模糊規(guī)則少，簡(jiǎn)單清晰，綜合考慮參數(shù)確定及不確定場(chǎng)景，適用性好；

2）通過(guò)以LMI 表示的系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)穩(wěn)定條件確定控制器的增益，使所設(shè)計(jì)控制器呈現(xiàn)魯棒非脆弱性，能夠有效地對(duì)抗系統(tǒng)參數(shù)及控制器內(nèi)部參數(shù)變化，系統(tǒng)能夠快速指數(shù)收斂；

圖6 算例2 中直流微網(wǎng)狀態(tài)及控制輸入波形Fig. 6 Status of DC microgrid and the input waveform of the controller in example 2

3）相較于傳統(tǒng)線性控制，本文所設(shè)計(jì)的魯棒非脆弱模糊控制器提高了非線性系統(tǒng)的收斂速度，波動(dòng)幅度小，穩(wěn)定性好，增強(qiáng)了應(yīng)對(duì)各類因素導(dǎo)致系統(tǒng)及控制器參數(shù)不確定的自適應(yīng)性。