重力插值重構(gòu)前沿與進(jìn)展

王 彤

（中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094）

0 引言

潛艇在水下執(zhí)行情報(bào)搜集、軍事打擊以及潛伏等任務(wù)時(shí)，必須要保證它的隱蔽性和導(dǎo)航定位的準(zhǔn)確性，這樣才能滿足潛艇對(duì)水下安全航行及精確打擊的需求。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)具有自主、高精度、高隱蔽性以及不易受到外界信息干擾等優(yōu)點(diǎn)，因此潛艇主要依靠慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在水下航行。但是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)存在系統(tǒng)誤差，并且該誤差隨時(shí)間的累積而增大，這就會(huì)降低潛艇在水下運(yùn)行時(shí)的精度。針對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)存在的不足之處，許多學(xué)者提出潛艇在水下航行時(shí)，需要修正潛艇慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的累積誤差；將重力信息與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)聯(lián)合起來(lái)的無(wú)源輔助導(dǎo)航系統(tǒng)可以對(duì)慣性導(dǎo)航的累積誤差進(jìn)行校正，它是目前國(guó)際研究的熱點(diǎn)。重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)不需要水下潛器浮出或接近水面，測(cè)量時(shí)也不會(huì)向外輻射能量，因此有望實(shí)現(xiàn)水下潛器連續(xù)長(zhǎng)航時(shí)精確、自主定位。

1 重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)原理

重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)指的是潛艇通過(guò)自身搭載的重力儀來(lái)獲得潛艇目前位置重力場(chǎng)的特征信息，將獲得的實(shí)測(cè)重力值與海洋重力基準(zhǔn)圖進(jìn)行匹配，按照合適的匹配算法最終確定潛艇所在的位置。海洋重力基準(zhǔn)圖是重力匹配導(dǎo)航的重要組成部分，因此，構(gòu)建全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準(zhǔn)圖是非常必要的。船載重力測(cè)量、航空重力測(cè)量以及衛(wèi)星重力/測(cè)高反演是獲取全球海洋重力場(chǎng)的主要技術(shù)途徑，全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準(zhǔn)圖能有效提高水下重力匹配導(dǎo)航的精度；然而目前全球海洋重力基準(zhǔn)圖的質(zhì)量較低（精度為3 mGal～8 mGal，空間分辨率為1′×1′），因此需要對(duì)其進(jìn)行一定程度的插值加密，將其重構(gòu)為高精度和高空間分辨率的海洋重力基準(zhǔn)圖。

2 海洋重力異常圖插值方法

目前常見(jiàn)的重力場(chǎng)插值方法有距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法以及改進(jìn)的Shepard插值法。

2.1 距離加權(quán)反比插值法

距離加權(quán)反比插值法是最簡(jiǎn)單的插值方法，該方法根據(jù)未知點(diǎn)到已知點(diǎn)距離的加權(quán)平均值來(lái)計(jì)算未知點(diǎn)的值。距離加權(quán)反比插值法的具體計(jì)算如公式（1）所示[1]。

式中：G0為預(yù)測(cè)點(diǎn)的重力值；Gi為第i個(gè)已知點(diǎn)的重力值；hi為第i個(gè)已知點(diǎn)到預(yù)測(cè)點(diǎn)的距離；μ為指數(shù)參數(shù)。

2.2 徑向基函數(shù)插值法

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function， RBF）插值法能夠應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，例如全球地形、水文、地球物理科學(xué)和圖像重建，其原理是將已知點(diǎn)作為位置中心，求解得出插值函數(shù)的系數(shù)，從而獲得預(yù)測(cè)點(diǎn)的值，徑向基函數(shù)插值法的插值函數(shù)的表達(dá)式如公式（2）所示[2]。

2.3 樣條函數(shù)插值法

樣條函數(shù)插值法是由工程制圖中的樣條繪圖工具發(fā)展而來(lái)的，一般指的是三次樣條函數(shù)插值法（Cubic spline function interpolation）。三次樣條函數(shù)插值法是由幾段三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線，如公式（3）所示[3]。

式中：Si（x）為三次樣條函數(shù)；ai、bi、ci和di為待求系數(shù)。

2.4 克里金插值法

克里金插值法（Kriging）主要采用地質(zhì)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)理論和插值方法，以變異函數(shù)為插值基礎(chǔ)和基本工具，選擇合適的變異函數(shù)，從而對(duì)空間結(jié)構(gòu)和參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)?？死锝鸩逯捣ǚ譃橐韵?步：1） 重力場(chǎng)數(shù)據(jù)的預(yù)處理。2）x和y2個(gè)方向的實(shí)驗(yàn)方差圖。3） 擬合最優(yōu)變異函數(shù)計(jì)算變異函數(shù)（半方差函數(shù)）的系數(shù)。4） 克里金交叉驗(yàn)證。5） 未知點(diǎn)的克里金估計(jì)值。變異函數(shù)描述了各個(gè)點(diǎn)的空間關(guān)系，其表達(dá)式如公式（4）所示[4]。

式中：h為點(diǎn)xi到點(diǎn)xi+h之間的距離；n為已知點(diǎn)的總數(shù)；G（xi）為點(diǎn)xi的重力值；γ（h）為變異函數(shù)。

2.5 改進(jìn)的二次曲面Shepard插值法

改進(jìn)的二次曲面Shepard（Modified Quadratic Shepard， MQS）插值法可用于對(duì)大規(guī)模散亂數(shù)據(jù)的插值擬合，與距離加權(quán)反比插值法相似。改進(jìn)的二次曲面插值法對(duì)領(lǐng)域內(nèi)外進(jìn)行主要區(qū)分，對(duì)進(jìn)入領(lǐng)域的點(diǎn)進(jìn)行二次曲面加權(quán)運(yùn)算，領(lǐng)域外的權(quán)系數(shù)為0，不進(jìn)行運(yùn)算。二次曲面函數(shù)如公式（5）所示[5]。式中：xi、yi為第i個(gè)點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)；ai1、ai2、ai3、ai4和ai5為二次曲面函數(shù)的待求系數(shù)；Gi為第i個(gè)點(diǎn)的重力值；Qi（x）為二次曲面函數(shù)。

可以通過(guò)最小二乘逼近法對(duì)已知點(diǎn)的重力值進(jìn)行擬合求出。

該文對(duì)上述5種方法進(jìn)行深入分析，根據(jù)插值、精度計(jì)算復(fù)雜度、計(jì)算時(shí)間以及適用范圍等評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)常見(jiàn)的插值方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，各個(gè)方法的優(yōu)缺點(diǎn)見(jiàn)表1。

表1 插值法的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比分析

除了上述5種插值方法，目前很多學(xué)者將其他領(lǐng)域的插值方法也應(yīng)用到重力場(chǎng)插值的過(guò)程中，提出了一些改進(jìn)的插值方法，例如廣義抽樣擴(kuò)展插值法、雙三次孔斯曲面插值法、不等權(quán)最小二乘預(yù)測(cè)插值和窗口移除恢復(fù)技術(shù)—克里金插值法等，這些方法的插值精度較高，能有效提高重力場(chǎng)的空間分辨率。

3 團(tuán)隊(duì)研究進(jìn)展

研究團(tuán)隊(duì)從事航天、導(dǎo)航、測(cè)繪以及海洋等交叉學(xué)科的前沿探索與軍事應(yīng)用，對(duì)衛(wèi)星重力學(xué)、衛(wèi)星測(cè)高學(xué)以及水下導(dǎo)航學(xué)開(kāi)展研究，構(gòu)建了全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準(zhǔn)圖，進(jìn)而為實(shí)現(xiàn)自主、隱蔽和高精度的全球水下導(dǎo)航提供了理論和方法支持。該文將上述5種傳統(tǒng)插值法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和對(duì)比分析，選取我國(guó)南海區(qū)域（東經(jīng)115°E～116°E、北緯20°N～21°N）的格網(wǎng)化海洋重力異常數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（空間分辨率為1′×1′），如圖1所示。

圖1（a）和圖1（b）分別表示研究區(qū)域空間分辨率為1′×1′的二維和三維海洋重力異常圖。該區(qū)域內(nèi)海洋異常變化范圍較大，因此不同插值方法的誤差變化也較大。首先，將空間分辨率為1′×1′的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)稀疏為4′×4′；其次，分別用距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法和改進(jìn)的Shepard插值法將空間分辨率為4′×4′的海洋重力異常插值為空間分辨率為1′×1′的海洋重力異常；最后，求得與原始1′×1′的海洋重力異常的誤差，如圖2所示。圖2為用這5種方法對(duì)我國(guó)南海區(qū)域插值后的誤差散點(diǎn)圖，可以看出克里金插值法誤差分布較為集中，誤差最小。插值重構(gòu)時(shí)，為了與原始圖片對(duì)比，分析插值后海洋重力異常誤差的大小，在判斷插值方法精度時(shí)，一般選用平均誤差（Mean error， ME）和均方根誤差（Root mean square error， RMSE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算公式如公式（6）所示[6]。

圖1 分辨率為1′×1′的海洋重力異常圖

圖2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。根據(jù)表2可知，與其他4種插值方法相比，距離加權(quán)反比插值法的誤差較大，其平均誤差為1.07×10-1mGal，均方根誤差為2.96 mGal，對(duì)應(yīng)圖2（a）誤差的變化范圍較大，誤差點(diǎn)分布離散。因此，距離加權(quán)反比插值法的插值精度較低，插值效果不好。克里金插值法精度最高，平均誤差為3.16×10-2mGal，均方根誤差為1.113 mGal，其誤差較小，插值效果較佳，適用于對(duì)海洋重力場(chǎng)的插值重構(gòu)。

表2 5種插值方法對(duì)我國(guó)南海區(qū)域插值誤差統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)語(yǔ)

重力匹配導(dǎo)航是1種自主無(wú)源的導(dǎo)航方式，對(duì)潛艇的水下航行具有極其重要的意義。海洋重力基準(zhǔn)圖對(duì)重力匹配導(dǎo)航精度具有一定的影響。該文對(duì)目前常見(jiàn)的重力場(chǎng)插值方法的擬合過(guò)程進(jìn)行研究，通過(guò)分析對(duì)現(xiàn)有的距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法和改進(jìn)的Shepard插值法進(jìn)行對(duì)比，體現(xiàn)出克里金插值法和樣條函數(shù)數(shù)插值法對(duì)海洋重力異常插值重構(gòu)的可行性，也為未來(lái)構(gòu)建全球海洋重力場(chǎng)基準(zhǔn)圖提供了可行性建議。

圖2 不同方法插值后誤差散點(diǎn)圖