單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)的建模與仿真

謝芳芳，楊 鑒

（1.湖南工業(yè)職業(yè)技術學院電氣工程學院，湖南 長沙，410208；2.岳陽市污水處理監(jiān)督中心，湖南 岳陽，410000）

1 引言

機器人的模型和控制都是以單關節(jié)機器人為基礎的，這是因為機器人的所有運動都可以通過各關節(jié)的旋轉來配合實現[1]。單關節(jié)機器人的典型結構是一個電機帶動一個細長剛體，工業(yè)機械手模型就是以兩個單關節(jié)機器人模型連接起來組成的[2]。機器人控制系統(tǒng)的設計與調試都離不開仿真，建模與仿真是連在一起的，在系統(tǒng)的建模和仿真中，單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)的建模與仿真是必不可少的關鍵[3]。

用于機器人系統(tǒng)仿真的軟件有很多，其中MATLAB 軟件是目前應用最廣泛的系統(tǒng)建模和仿真的開發(fā)平臺[4]。該軟件所包含的Simulink 工具包不但能仿真機器人的機械、電氣系統(tǒng)，而且可以方便地進行控制系統(tǒng)的建模與仿真[5]。

本文對單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)的建模與仿真做了深入研究。首先對單關節(jié)機器人的規(guī)劃軌跡、機械結構、電氣結構和控制器分別建立數學模型；然后根據數學模型在MATLAB/Simulink 平臺上搭建伺服系統(tǒng)的仿真模型；最后對仿真模型進行實際仿真，并對仿真結果做了分析。

2 伺服系統(tǒng)的數學模型

單關節(jié)機器人的典型結構如圖1 所示。圖中單桿是一個橫截面為矩形的細長剛體，單桿的一端是軸心端，另一端是自由端。軸心端安裝有電機和減速器，起到一個關節(jié)的作用；自由端則起到手爪的作用[6]。單關節(jié)機器人的運動就是單桿以軸心端為圓心做旋轉運動，運動過程中單桿的角速度期望值、角加速度期望值由生產工藝的需要給出。

圖1 單關節(jié)機器人的結構示意圖

2.1 規(guī)劃軌跡的數學模型

為了便于建模，規(guī)定單桿的運動過程是：單桿在初始位置從靜止狀態(tài)開始逆時針旋轉，途中經歷加速、勻速和減速的過程，旋轉一周重新回到初始位置時正好又處于靜止狀態(tài)。因此，設旋轉一周的時間為tc，加速階段、減速階段的時間均為2δ，則運動過程可分為三個階段：加速階段（0≤t≤2δ），勻速階段（2δ≤t≤tc－2δ），減速階段（tc－2δ≤t≤tc）。單桿的期望轉角η（t）變化曲線如圖2 所示。

圖2 單關節(jié)機器人的期望轉角η（t）變化曲線

為了精確地描述運動軌跡，采用五次多項式來模擬圖2 的曲線，即

為了保證機器人的運動在加速度上的要求，軌跡函數的約束條件有6 個，即

在運動的三個階段，約束條件取值不一樣。加速階段的約束條件取值為

減速階段的約束條件取值為

分別將式（5）、（6）代入式（1）～（3），可解得未知系數an，進而得到三個階段的軌跡函數θ加速（t）、減速階段的軌跡函數θ減速（t）為

由式（7）、（8），可得勻速階段的軌跡函數η勻速（t）為

式（7）～（9）就是單關節(jié)機器人規(guī)劃軌跡的數學模型。

2.2 機械結構的數學模型

利用拉格朗日方程建立單桿運動的數學模型[7]。設n 維力學空間中Q 點的坐標為（q1，q2，…，qn），且qj（j=1，2，…，n，下同）所受合力為fj。定義拉格朗日函數L= T- U，這里T 是動能，U 是勢能，則拉格朗日方程的一般形式為

式中，D 是能量損失?？紤]到黏性摩擦，能量損失為

式中，cj是黏性摩擦系數。

單桿的坐標系如圖3 所示[8]。為了簡化運算，忽略電機和齒輪的質量以及慣性的影響。以單桿的軸心端為原點，存在兩個坐標系。其中，固定坐標系（0）的坐標軸為（0x，0y，0z），它是世界坐標系（X，Y，Z）在XY 平面上的一個平移。固定于單桿的坐標系（1）的坐標軸為（1x，1y，1z），其中1z 軸與0z 軸重合。單桿坐標系（1）隨著單桿的轉動而相對于固定坐標系（0）繞0z 軸旋轉。

圖3 單桿的坐標系統(tǒng)

由圖3 可計算出固定坐標系（0）中單桿重心的移動速度向量Vg1、單桿旋轉的角速度向量1ω，分別為

式中，r1是單桿重心到原點的距離，θ1是單桿的轉角。

單桿的動能T 是單桿運動時的速度與角速度的能量之和：

式中，m1是單桿的質量，Izzg1是單桿重心在z軸方向的轉動慣量。

將式（12）、（13）代入式（14），得

考慮到單桿是在XY 平面上轉動，重力和勢能可忽略不計，因此有

式中，τ1是作用在單桿上的轉矩。

將式（15）、（16）代入式（10）、（11），整理得

式（17）就是單關節(jié)機器人機械結構的數學模型。

2.3 電氣結構的數學模型

電氣結構包括電機、減速器和角度傳感器。電機可以采用直流電機、交流電機，交流電機的動態(tài)數學模型較復雜，這里為了便于建模，采用直流電機，如圖4 所示。

直流電機產生的電磁轉矩Te與電樞電流ia成正比，其比例常數KT 稱為轉矩系數，即：

直流電機產生的反電動勢e 與電樞轉速ωa成正比，其比例常數Ke稱為反電動勢系數，即：

式中θa是電樞轉角是電樞轉速。

在電機內電刷壓降忽略不計的情況下，由基爾霍夫電壓定律可得電樞電壓方程

式中，u 是電樞電壓，Ra是電樞電阻，La是電樞電感。

直流電機產生的電磁轉矩Te與將要傳遞給負載方的轉矩τa的平衡關系為

式（18）～（21）構成直流電機的動態(tài)數學模型。

圖4 直流電機和減速器的結構示意圖

減速器由兩個齒輪嚙合而成，與電機聯(lián)接的是小齒輪，齒數為na，與單桿聯(lián)接的是大齒輪，齒數為n1，故變速比N= n1/na。考慮到齒輪傳動會損失部分能量，引入傳動系數ξ（0≤ξ≤1）。因此減速器單桿側轉矩τ1與電機側轉矩τa之間的關系為

式（22）就是減速器的數學模型。

角度傳感器用來檢測單桿的轉角θ1，可以忽略延遲效應[9]，它與電機的電樞轉角θa之間的關系為

式（23）就是角度傳感器的數學模型。

2.4 控制器的數學模型

伺服系統(tǒng)是位置控制系統(tǒng)，被控量是單桿的實際轉角θ1（t）。規(guī)劃軌跡給出的是單桿的期望轉角η（t），實際轉角θ1（t）由角度傳感器檢測得到，θ1（t）與η（t）比較后得到偏差e（t），送入控制器?？刂破骺梢圆捎玫目刂扑惴ㄓ泻芏喾N，本文采用經典的PID 算法，即比例- 積分- 微分算法[10]：

式中，u（t）為PID 控制器的輸出，e（t）為PID控制器的輸入，KP為比例項系數，KI為積分項系數，KD為微分項系數。

式（24）是模擬PID 算法表達式，為了便于計算機運算，需要將式（24）變換成數字PID 算法，以一系列的采樣時刻點k 代替連續(xù)時間t，以求面積的方式近似代替積分，用差分代替微分?；镜臄底諴ID 算法有位置式、增量式兩種，前者在求解積分項時要用到過去偏差的累加值，容易產生較大的累計誤差，而后者不需要累加，同時大大減小計算量，通常采用增量式PID 算法，表達式為

單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)的結構如圖5 所示。

圖5 單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)結構圖

3 伺服系統(tǒng)的仿真模型

根據上述數學模型在MATLAB/Simulink 平臺上搭建伺服系統(tǒng)的仿真模型，如圖6 所示，圖中Trajectory 模塊是規(guī)劃軌跡，Mechanic 模塊是機械結構，Motor 模塊是直流電機，Gain 和Gain1 模塊是減速器，Gain2 和Gain3 模塊是角度傳感器，PID模塊和Saturation 模塊是控制器。

圖6 單關節(jié)機器人伺服系統(tǒng)仿真模型

3.1 規(guī)劃軌跡的仿真模型

規(guī)劃軌跡的仿真模型即圖6 中的Trajectory模塊，輸入是時間t，輸出是單桿的期望轉角η（t）。打開Trajectory 模塊，如圖7 所示，它根據式（7）～（9）搭建而成，這里運動周期tc 取值2.5。圖7 中Enabled Subsystem、Enabled Subsystem1 和Enabled Subsystem2 模塊分別是加速階段、勻速階段和減速階段的軌跡函數，如圖8 所示。

圖7 規(guī)劃軌跡的仿真模型

圖8 三個階段軌跡函數的仿真模型

3.2 機械結構的仿真模型

機械結構的仿真模型即圖6 中的Mechanic 模塊，輸入是作用在單桿上的轉矩τ1，輸出是單桿的實際轉角θ1。打開Mechanic 模塊，如圖9 所示，它根據式（17）搭建而成。

式（17）是一個二階微分方程，在搭建仿真模型時，應盡量避免采用Derivative（微分）模塊，因為該模塊將非連續(xù)信號引入到所建模型中，若非連續(xù)信號過大，則會導致求解錯誤。因此圖10 所示的仿真模型應避免采用，它含有微分模塊。

3.3 電氣結構的仿真模型

電氣結構中直流電機的仿真模型即圖6 中的Motor 模塊，輸入是電樞電壓u、電樞轉角θa，輸出是將要傳遞給負載方的轉矩τa。打開Motor 模塊，如圖11 所示，它根據式（18）～（21）搭建而成。

圖11 直流電機的仿真模型

式（19）（20）的實現采用傳遞函數。將式（19）代入式（20）得

對上式實施拉普拉斯變換，整理后得到

式（21）的實現采用近似微分。這是因為一般情況下單純的微分環(huán)節(jié)很容易受到高頻噪聲的干擾，為了防止這種現象的發(fā)生，常采用近似微分代替單純微分。近似微分是給單純微分s 串聯(lián)一個影響較小的低通濾波器形式，這里a = 0.01。

3.4 控制器的仿真模型

控制器的仿真模型即圖6 中的PID 模塊和Saturation 模塊。打開PID 模塊，如圖12 所示，它根據式（24）搭建而成。

圖12 控制器的仿真模型

式（24）的實現采用傳遞函數。對式（24）實施拉普拉斯變換，整理后得到

式中，TI= KP/KI為積分時間常數，TD= KD/KP為微分時間常數。

在上式中，用近似微分代替微分：

式（29）的仿真模型即為圖12。

PID 模塊的輸出也就是直流電機模塊的輸入。由于直流電機的輸入電壓是有上下限的，若超限則可能損壞電機，因此在PID 模塊與直流電機模塊之間插入一個飽和模塊。

4 仿真結果分析

運行仿真模型前，將模型中的參數賦初值。規(guī)劃軌跡中δ= 0.25；機械結構中r1= 0.1m，m1=0.02152kg，Izzg1=2.08×10-7kg·m2，c1=0.001N·s/rad；電氣結構中Ra= 10Ω，La= 0.0044H，KT= 0. 05N·m/A，Ke= 0.05V·s/rad，J = 10-5kg·m2，Bm= 10-6N·s/rad，N=1000，ξ=0.7；控制器中KP=100，TI=0.1，TD=3，a=0.1，上下限設定為+24 和-24。相關仿真結果如圖13 所示。

圖13 有三條曲線，從上到下分別為：規(guī)劃軌跡η（t）和單桿實際轉角θ1（t），PID 控制器限幅后的輸出曲線，作用在單桿上的轉矩τ1（t）。由圖可知，單桿實際轉角曲線與規(guī)劃軌跡曲線吻合良好，說明伺服系統(tǒng)的位置跟蹤精度高，整個運動周期能夠根據規(guī)劃的軌跡進行運動。

單桿在旋轉一周的過程中角度的變化情況，如圖14 所示。從圖中可以看出，單關節(jié)機器人的運動分為三個過程，從起始位置開始，按照逆時針的運動方向，分別經歷加速區(qū)間、勻速區(qū)間、減速區(qū)間，最后回到初始位置，也就是單關節(jié)機器人按照規(guī)劃好的軌跡運行一周的過程，說明伺服系統(tǒng)能夠很好地控制運動過程。

圖13 仿真結果

圖14 單桿自由端的實際運動軌跡

5 結語

本文以單關節(jié)機器人為對象，針對伺服系統(tǒng)的建模與仿真問題做了深入研究。設定單關節(jié)機器人繞固定軸轉動，經過加速、勻速、減速后回到初始位置的運動過程，建立了其按照規(guī)定軌跡運動的機械結構、電氣結構和控制器的數學模型，以及對應的MATLAB/Simulink 仿真模型。仿真結果表明，伺服系統(tǒng)的位置跟蹤精度高，整個運動過程能夠根據規(guī)劃的軌跡進行運動，并且能夠很好地控制其運動過程。本文的工作為機器人系統(tǒng)的優(yōu)化設計與調試提供了有效模型和依據。