函數(shù)等高線的妙用

江西省吉安市白鷺洲中學(xué) (343000) 尹丙武

我們知道，地理中“等高線”指地形圖上高程相等的相鄰各點所連成的閉合曲線.借助于這一名詞,數(shù)學(xué)中對于函數(shù)y=f(x),若存在互不相等的實數(shù)a,b,c,使f(a)=f(b)=f(c)=t,則y=t稱作函數(shù)y=f(x)的等高線.利用函數(shù)的等高線求解與交點橫坐標有關(guān)式子的取值范圍問題綜合性較強,難度也較大,一般作為客觀題壓軸題出現(xiàn).本文就此類問題的破解方法予以總結(jié).

1.利用對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標之和

x3+x4的取值范圍是( ).

A.(2，5] B.(-∞，0]∪[5,+∞)

C.[5,+∞) D.(2,+∞)

圖1

評注：本題關(guān)鍵用兩次對稱性，由性質(zhì)“若A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線x=a對稱，則x1+x2=2a”得出其中兩個交點橫坐標之和為常數(shù)x1+x2=1，另兩交點橫坐標之和x3+x4=2m.再結(jié)合圖像確定m≥2，由此以m為主元，求出m的取值范圍.

2.利用對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標之積

A.(18,28) B.(18,25) C.(20,25) D.(21,24)

解析：不妨設(shè)a

圖2

評注：本題關(guān)鍵用兩次對稱性，由性質(zhì)“若直線y=m與函數(shù)y=|logax|(a>0且a≠1)有兩個不同交點A(x1,y1),B(x2,y2),則|logax1|=|logax2|，所以-logax1=logax2，x1x2=1.”得出其中兩個交點橫坐標之積為常數(shù)，即ab=1；另兩交點橫坐標之和為常數(shù)，即c+d=10.再結(jié)合圖像確定3

3.求等高線對應(yīng)的交點橫坐標函數(shù)的取值范圍

圖3

評注：本題關(guān)鍵是以m為主元，把所求式子中的變量a，b，c均用m表示，由此將所求的多元代數(shù)式轉(zhuǎn)化成一元，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解.