多角度探討一道東南奧數(shù)問(wèn)題

山東省菏澤第一中學(xué) (274000) 劉會(huì)豐

第十四屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的高二年級(jí)的第三題是浙江大學(xué)李勝宏教授命制的一道精彩問(wèn)題.試題如下:

現(xiàn)從幾個(gè)不同的角度給出該問(wèn)題的證明.

當(dāng)n=1,2時(shí),易證不等式成立.

綜上,不等式對(duì)于任意正整數(shù)成立.

注：解法四來(lái)自本文作者的學(xué)生周天(2017年CMO金牌并入選國(guó)家集訓(xùn)隊(duì))

在證明n元不等式中,有些不等式形式較為復(fù)雜,數(shù)學(xué)歸納法、運(yùn)用著名不等式、構(gòu)造局部不等式等都是常用的重要方法,關(guān)鍵是將待證的復(fù)雜式子如何巧妙變形,使得問(wèn)題的結(jié)構(gòu)清晰起來(lái),轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題,便于證明.