一道數(shù)學競賽試題的解法探究與背景溯源

甘肅省蘭州市第七十一中學 (730000) 尚世亮 龐耀輝

一、真題再現(xiàn)

本題考查了雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關系以及定點、定直線問題，意在考查學生的數(shù)學運算能力與轉化、化歸問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算.試題解法多樣，內(nèi)涵豐富，精彩紛呈，是一道具有研究性學習價值的好題.

二、解法探究

圖1

下面的解法同解法1.

點評：方法1和方法2雖然在運算上有些繁，但在思維與化簡能力上的要求并不高.究其原因，是因為直線AD(或直線BE)與雙曲線的兩個交點，都有一個點A(或B)的坐標是已知的，如果需要求另一個交點D(或E)的坐標，即轉化為解方程問題.接下來，解題線索會很快理清，只需尋找k1和k2的關系(C、D、E三點共線)，然后將其代入點P的坐標，問題迎刃而解.

當直線DE的斜率為0時，不合題意.

點評：方法3是將直線DE的位置特殊化(比如垂直于x軸)，猜出結論，再進行證明.

三、試題推廣

通過不同角度、不同層次的探索、聯(lián)想、類比發(fā)現(xiàn)新問題，充分挖掘解析幾何試題，才能揭示數(shù)學本質(zhì)，進一步培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)，提升解析幾何的魅力.

結論1,2證明可仿照該題的證法證明，結論4的證明可仿照結論3的證法證明，此處不贅述.

四、背景溯源

1.鏈接高考

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)證明：直線CD過定點.

圖2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設橢圓C的左右頂點分別為A、B，點M是橢圓C上異于點A、B的任意點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線x=4于點Q，求證：A,N,Q三點共線.

數(shù)學競賽題、高考真題、高考模擬題是復習備考的重要素材，每年的高考試題都能看到以往高考題、競賽題的背影.因此，在高三的復習教學中，要充分挖掘真題的價值.

2.背景鏈接