盤活三角知識(shí) 傳播數(shù)學(xué)文化

湖北省襄陽市第一中學(xué) (441000) 王 勇 吳玉紅

數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中，以數(shù)學(xué)文化為命題背景的試題立意深遠(yuǎn)、構(gòu)思精巧、內(nèi)涵豐富，既能考查數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、思想和方法，又能加深對(duì)中外數(shù)學(xué)文明的了解，增強(qiáng)愛國主義情懷，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，豐厚數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn).融入對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查已成為新一輪高考命題改革的一個(gè)顯著特征.下面精選以三角知識(shí)為依托的數(shù)學(xué)文化題六例并分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、三角變換 精彩紛呈

圖1

分析：求解本題的關(guān)鍵是弄清所求角與36°角，72°角及144°角之間的關(guān)系，再利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式即可順利求解.

圖2

A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④

二、定理公式 運(yùn)用自如

圖3

分析：利用數(shù)學(xué)文化“折扇”為背景命制的與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，把雅致秀氣的折扇與扇形的面積相交匯，體現(xiàn)了美育的素養(yǎng)導(dǎo)向.求解的突破口是熟記扇形的面積公式，把半徑相同的兩扇形的面積比轉(zhuǎn)化為兩扇形的圓心角的比，再利用它們的圓心角的和為2π，即可得小扇形的圓心角的弧度數(shù).

例4 (2020·江西省十校聯(lián)考題)阿波羅尼奧斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的比值為定值λ(λ>0,且λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且sinA=2sinB，acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為( ).

分析：根據(jù)正弦定理得a=2b，及余弦定理得c=2，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，借助阿波羅尼斯圓可得邊AB上的高的最大值，進(jìn)而求出△ABC面積的最大值.

圖4

三、三斜求積 璀璨明珠

B.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,C,B成等差數(shù)列

四、實(shí)際應(yīng)用 三角發(fā)威

例6(2020·福建省質(zhì)檢題)上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖5①)，充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖5②為骨笛測(cè)量“春(秋)分” “夏(冬)至”的示意圖.圖5③是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì))，夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.

圖5

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表：

根據(jù)以上信息，通過計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是( ).

A.公元前2000年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年

D.早于公元前6000年

分析：讀懂題意畫出示意圖，通過解直角三角形和兩角差的正切公式，計(jì)算出黃赤交角的正切值，對(duì)照題中的表格而得解.

圖6

解析：由題意可畫出示意圖，如圖6，其中AO⊥BO(BO代表骨笛)，AO=10.00，BC=9.40，BO=16.00，故OC=6.60.設(shè)黃赤交角為θ，由題意得

縱觀以上各例，我們發(fā)現(xiàn)，此類數(shù)學(xué)文化題一般是從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中挖掘素材，將數(shù)學(xué)文化與三角知識(shí)有機(jī)結(jié)合，要求考生對(duì)試題所提供的數(shù)學(xué)文化信息材料進(jìn)行整理和分析，在試題營造的數(shù)學(xué)文化氛圍中，感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神.