淺談模型化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘 要】數(shù)學(xué)模型是指能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)特征的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在高三立體幾何復(fù)習(xí)中，運(yùn)用長方體、轉(zhuǎn)化與化歸、“三段論”、空間坐標(biāo)系與向量等模型可以有效解決學(xué)生長期存在的“老大難”問題，提升學(xué)生解決問題的能力和素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】模型化思想;高中數(shù)學(xué);立體幾何

立體幾何問題是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，承載著對直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)的考查。實(shí)際上，大部分學(xué)生解決立體幾何問題時都會遇到或多或少的障礙。在高三復(fù)習(xí)中，如何科學(xué)而高效地解決學(xué)生長期存在的“老大難”問題，是數(shù)學(xué)教師在課堂上必須面對的教學(xué)“重點(diǎn)”與“難點(diǎn)”。

1? ?數(shù)學(xué)模型

隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，數(shù)學(xué)模型對學(xué)生思維和能力的要求越來越高。高中數(shù)學(xué)出現(xiàn)了“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”“立體幾何”“圓錐曲線”“統(tǒng)計(jì)和概率”等數(shù)學(xué)模型?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》認(rèn)為“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”，并將“數(shù)學(xué)建?！弊鳛楦咧袛?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分[1]。

2? ?立體幾何中的數(shù)學(xué)模型

立體幾何主要解決空間內(nèi)的兩大類問題，一類是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系問題，一類是距離和角的計(jì)算問題。不少學(xué)生對有關(guān)概念、公理、定理等基礎(chǔ)知識理解不到位，有時候甚至分不清已知條件與結(jié)論、判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別。

2.1? 運(yùn)用長方體模型，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力

平行與垂直關(guān)系是立體幾何中非常重要的位置關(guān)系，同時也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。以垂直關(guān)系為例，可以設(shè)置如下問題。

問題1：已知正方體A'B'C'D'-ABCD（見圖1），①與AB垂直的直線有哪些？②與AB垂直的平面有哪些？③與平面ABCD垂直的平面有哪些？④你能找到與AC垂直的平面嗎？⑤與AC垂直的直線有幾條？⑥你能找到幾個平面與平面BDD'B'垂直？⑦能否在圖中找到一條直線使它與平面ACD'垂直？

將本題作為復(fù)習(xí)題引入，從線線垂直關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、邏輯推理的方法，運(yùn)用正方體的定義探究棱、面對角線、體對角線與底面（側(cè)面）、對角面（截面）之間存在的垂直關(guān)系。這樣不但復(fù)習(xí)了空間內(nèi)線線垂直、線面垂直、面面垂直等位置關(guān)系的定義、判定定理與性質(zhì)定理，而且為進(jìn)一步探究立體幾何綜合問題打下了一定的基礎(chǔ)。

2.2? 運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸模型，證明平行與垂直關(guān)系

轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法。一個新問題往往可以通過化繁為簡、化難為易等途徑得到解決。對于立體幾何圖形，平面幾何的結(jié)論不一定成立。如果能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，解決問題的難度就會下降。

問題2：如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2AB=2BC。

①若E為PD的中點(diǎn)，求證CE∥平面PAB;②求證平面PAD⊥平面ABCD。

分析：對于①問，根據(jù)線面平行的判定定理，要證CE∥平面PAB，只需證CE與平面PAB內(nèi)的一條直線平行，從而將空間內(nèi)的線面平行問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的線線平行問題。取AP中點(diǎn)F，則EF∥AD，BC∥AD，EF∥BC，可得CE∥BF，問題得證。

對于②問，根據(jù)面面垂直的判定定理，要證平面PAD⊥平面ABCD，只需證平面PAD（或平面ABCD）經(jīng)過平面ABCD（或平面PAD）的一條垂線，從而將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題。根據(jù)線面垂直的判定定理，只需在平面PAD內(nèi)找到兩條直線與AB垂直，從而將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的線線垂直問題。由∠BAD=90°，AB⊥PA，可得AB⊥平面PAD，問題得證。

無論是證明平行問題還是證明垂直問題，往往需要在空間內(nèi)進(jìn)行線線、線面、面面之間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的路徑主要有兩種：一是線線平行、線面平行、面面平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化;二是線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。簡單問題轉(zhuǎn)化一次即可，復(fù)雜問題則需要多次轉(zhuǎn)化。

2.3? 運(yùn)用演繹推理中的“三段論”模型，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，得出的結(jié)論都要經(jīng)過嚴(yán)格的證明。正是這種嚴(yán)謹(jǐn)性，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理技能、提高思維能力的有效途徑[2]。本質(zhì)上，證明就是運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韺?shù)學(xué)問題的思維探究過程進(jìn)行表達(dá)與交流。

“三段論”是演繹推理的一般模型，包括“大前提”“小前提”和“結(jié)論”。在證明的過程中，先要注意選取合適的定理、公理等“大前提”作為推理依據(jù)，然后從已知條件中尋找“大前提”成立所要求的全部條件，最后得到推理結(jié)論。

問題3：如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面 ABCD ，E為 AP 中點(diǎn)，PC=PD。求證BC⊥平面PCD。

有的學(xué)生根據(jù)“平面PCD⊥平面ABCD”就推出“BC⊥PC”。這里的錯誤在于：推理過程缺乏必要的邏輯依據(jù)，對面面垂直的性質(zhì)定理的前提條件、適用范圍不明確。

方法一：利用面面垂直的性質(zhì)定理，找與兩個面的交線垂直的直線?！叭握摗彼季S過程見圖4。

方法二：利用線面垂直的判定定理，找兩個線線垂直關(guān)系。取CD中點(diǎn)O，由平面PCD⊥平面ABCD，易證PO⊥平面ABCD，得BC⊥PO，又BC⊥CD，問題得證。

2.4? 運(yùn)用空間坐標(biāo)系與向量模型，靈活解決立體幾何問題

綜合法與向量法是解決立體幾何問題的有效手段。綜合法以公理、定理等結(jié)論為依據(jù)，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉_(dá)到定性證明和定量計(jì)算的目標(biāo)。向量法以具體的數(shù)值運(yùn)算為手段，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題。二者并沒有嚴(yán)格的邊界，可根據(jù)需要選擇不同的方法。

問題4：如圖5，在棱長為2的正方體A'B'C'D'-ABCD中，E、F、G分別是棱AB、BC、CC'的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，若直線D'P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，則ΔPBB'面積的最小值為________。

分析：直線D'P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，即D'P∥平面EFG。

由于BB'⊥BP，要求ΔPBB'面積的最小值，只需求BP的最小值。

方法一（綜合法）：連接AD'、CD'、AC，易證AC∥EF，F(xiàn)G∥AD'，得ACD'∥平面EFG。因D'P∥平面EFG，則點(diǎn)P在直線AC上。點(diǎn)B到AC距離最小值為BD長度的一半，故ΔPBB'面積的最小值為。

方法二（向量法）：以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD'所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知平面EFG的法向量為，故m=1時，BP有最小值，求得ΔPBB'面積的最小值為。

在高三復(fù)習(xí)中，合理利用數(shù)學(xué)模型不僅能使學(xué)習(xí)效果事半功倍，而且能提升學(xué)生解決問題的能力和綜合素養(yǎng)。事實(shí)上，不僅是立體幾何問題，其他數(shù)學(xué)問題也存在模型化的方法：發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題。較復(fù)雜的問題可以被分解成較易解決的小問題，小問題的解決有助于最終解決較復(fù)雜的問題。在特定的問題情境中，從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題到解決問題也就是一個相對完整的問題解決過程。在一定的條件下，還會發(fā)現(xiàn)新的問題或設(shè)置新的問題情境，從而進(jìn)入下一個問題的解決過程，這樣學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的思考會不斷深入、對數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識會不斷升華。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]人民教育出版社.數(shù)學(xué)選修（A版）4-1：幾何證明選講[M].北京：人民教育出版社，2007.

【作者簡介】

韓藝通（1973～），男，北京市大成學(xué)校教師，研究生，一級教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)。