基于泰勒級數(shù)展開及其應(yīng)用探討

王從徐

（滁州城市職業(yè)學(xué)院教育系 安徽滁州 239000）

泰勒級數(shù)是復(fù)變函數(shù)的重要知識點(diǎn)，常出現(xiàn)在諸如求解算符、微分方程初值、數(shù)值法、概率、近似值等實(shí)際問題中的應(yīng)用。[1]如臧景才等[2]提出基于DV-Hop測距修正的泰勒級數(shù)擴(kuò)展的定位算法，通過估值運(yùn)算大大降低誤差。隨著復(fù)變函數(shù)廣泛應(yīng)用起來，在我國許多高校老師都在研究泰勒級數(shù)的應(yīng)用，同時也是成為了非常重要的數(shù)學(xué)工具，許多實(shí)際問題的解決依賴于對泰勒級數(shù)的使用。[3]張威等[4]利用衛(wèi)星間干擾信號，提出一種基于泰勒級數(shù)展開的干擾源定位算法并建立FDOA模型。謝冬冬等[5]在非解析復(fù)變系統(tǒng)中通過泰勒展開式提出一種快速求取系統(tǒng)的極限功率和臨界電壓的方法。本文通過收集資料和在許多數(shù)學(xué)研究工作者的重要成果基礎(chǔ)上，綜述解析函數(shù)展成泰勒級數(shù)的幾種方法和應(yīng)用，并提出對于這幾種方法的理解，同時推導(dǎo)出一種新的解析函數(shù)展成泰勒級數(shù)方法與應(yīng)用，為泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)函數(shù)研究中提供可值得參考價值的見解與研究成果。

1 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法

1.1 直接求泰勒系數(shù)法

1.2 代換法

1.3 冪級數(shù)的除法和乘法

冪級數(shù)的除法一般用于分式中，分式中分子和分母的式子都可以展開成冪級數(shù)。解題步驟是：先把分子和分母的式子單獨(dú)展開成冪級數(shù)，然后再相除。而冪級數(shù)的乘法一般用于兩數(shù)相乘中，在函數(shù)中兩個數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)。解題步驟是：先把兩個數(shù)各自展開成泰勒級數(shù)，最后再把兩個數(shù)相乘。

1.4 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一類可以根據(jù)多項(xiàng)式待定系數(shù)求解未知數(shù)的方法。首先需要把原等式轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)的新型等式，然后在原來等式的基礎(chǔ)上構(gòu)建包含待定系數(shù)的方程組，再對方程組進(jìn)行求解，過程中需要轉(zhuǎn)變方程式的結(jié)構(gòu)，或代入或合并，將待定系數(shù)消除最終得到未知數(shù)的解。

1.5 部分分式法

有理數(shù)式是指兩個多項(xiàng)式的商所示的函數(shù)，其一般形式為：時，根據(jù)同冪項(xiàng)系數(shù)相等的原理，可以求出一組包含待定系數(shù)的線性方程，所求出的方程組的解即是所要求的系數(shù)。完成部分分式分解后，把函數(shù)展成泰勒級數(shù)。

2 泰勒級數(shù)展開在函數(shù)中的應(yīng)用

2.1 泰勒級數(shù)在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

2.2 泰勒級數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

2.3 泰勒級數(shù)在求積分值中的應(yīng)用

從上述可以看出利用泰勒級數(shù)可以精確地計(jì)算出反常積分的值，但它僅適用于平常熟悉幾個式子泰勒級數(shù)時，就可以考慮要泰勒級數(shù)。

2.4 泰勒級數(shù)在求極限中應(yīng)用

解：由泰勒展示得：

3 結(jié)論

綜上所述，通過總結(jié)解析函數(shù)展成泰勒級數(shù)的5種方法和泰勒級數(shù)的4種應(yīng)用舉例充分說明在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中對于泰勒級數(shù)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用是非常重要的。但并不是說只要學(xué)會一種泰勒級數(shù)展開的方法就能夠解決任何一道題，而是需要根據(jù)不同的數(shù)學(xué)函數(shù)構(gòu)成與展開方式運(yùn)用不同的級數(shù)展開方法，因此需要深入地學(xué)習(xí)泰勒級數(shù)的原理、定理，視情況不同運(yùn)用不同的級數(shù)展開求解。本文通過運(yùn)用實(shí)例，一方面體現(xiàn)了泰勒級數(shù)的展開在計(jì)算中應(yīng)用的簡明性、直觀性，另一方面也體現(xiàn)復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析之間深刻聯(lián)系?？傊?，泰勒級數(shù)展開在數(shù)學(xué)教學(xué)以及各個領(lǐng)域的應(yīng)用中都是十分重要的數(shù)學(xué)武器，在面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)分析中起到至關(guān)重要的作用。