三角代數(shù)上Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射

費(fèi)秀海， 戴 磊， 張海芳*

(1.滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 云南 臨滄 677099； 2.渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 渭南 714099)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是交換幺環(huán)R上的一個(gè)代數(shù)，Z(A)表示A的中心，δ:A→A是A上的一個(gè)可加映射，Ω={x∈A:x2=0}.若對任意的x，y∈A，有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y)，則稱δ是一個(gè)導(dǎo)子.若存在a∈A，使得對任意的x∈A， 有δ(x)=[a，x] ，則稱δ是一個(gè)內(nèi)導(dǎo)子.設(shè)φ:A×A→A是A上的一個(gè)雙可加映射且φ在每一個(gè)變量上都是導(dǎo)子，則稱φ是一個(gè)雙導(dǎo)子.進(jìn)一步，若φ沒有雙可加假設(shè)且對任意的x，y，z∈A，當(dāng)[x，y]，[y，z]∈Ω時(shí)φ分別滿足:

φ(xy，z)=φ(x，z)y+xφ(y，z)

(1)

和

φ(x，yz)=φ(x，y)z+yφ(x，z)，

(2)

則稱φ是一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射.設(shè)λ∈Z(A)，若對任意的x，y∈A，有φ(x，y)=λ[x，y]，則稱φ是一個(gè)內(nèi)雙導(dǎo)子.設(shè)a∈A，使得對任意的x，y∈A，有[a，[x，y]]=0，則稱φ(x，y)=[x，[a，y]]是一個(gè)超雙導(dǎo)子.顯然，內(nèi)雙導(dǎo)子和超雙導(dǎo)子都是雙導(dǎo)子.

設(shè)A和B是含有單位元的交換環(huán)R上的代數(shù)，M是含有單位元的忠實(shí)(A，B)-雙邊模，即M既是忠實(shí)左A模又是忠實(shí)右B模，則稱R-代數(shù)

U=Tri(A，M，B)=

在矩陣通常的加法與乘法運(yùn)算下是一個(gè)三角代數(shù).

用Z(U)表示U的中心，由文獻(xiàn)[1]有

在U上定義兩個(gè)自然投影πA:U→A和πB:U→B如下:

則πA(Z(U))?Z(A)和πB(Z(U))?Z(B)，且存在唯一的代數(shù)同構(gòu)σ:πA(Z(U))→πB(Z(U))使得對任意的m∈M，有am=mσ(a).

設(shè)1A和1B分別是代數(shù)A和B中的單位元，1是三角代數(shù)U中的單位元.用e1和e2分別表示：

則由于e1Ue1，e1Ue2和e2Ue2是U的子代數(shù)且分別同構(gòu)于A，M和B，從而三角代數(shù)U在同構(gòu)意義下可以被分解成:

U=e1Ue1+e1Ue2+e2Ue2=A+M+B，

進(jìn)而對任意的x∈U，可以將x分解成x=a+m+b(其中a∈A，m∈M和b∈B).

近年來，關(guān)于三角代數(shù)上各種映射的研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注.如:三角代數(shù)上的交換映射[1-3]，三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子和導(dǎo)子[4-7]，三角代數(shù)上的Lie導(dǎo)子[8-13].特別地，在雙可加或雙線性假設(shè)下，文獻(xiàn)[14]刻畫了套代數(shù)上的廣義雙導(dǎo)子，文獻(xiàn)[15]刻畫了上三角矩陣代數(shù)上的雙導(dǎo)子，文獻(xiàn)[16]在一定條件限制下對三角代數(shù)上的雙導(dǎo)子進(jìn)行了刻畫.本文主要考慮了三角代數(shù)上Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射的雙可加性，證明了三角代數(shù)上Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射就是雙導(dǎo)子，進(jìn)而由文獻(xiàn) [16] 得到在一定條件限制下三角代數(shù)上Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射都是內(nèi)雙導(dǎo)子.

2 結(jié)果與證明

定理1設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射，則φ是U上的一個(gè)雙導(dǎo)子.

為證定理 1，需要以下幾個(gè)引理，在證明過程中，總假設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)， Ω={u∈U:u2=0}，φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射.

引理1若φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射，則

i) 對任意的u∈U，有φ(u，0)=φ(0，u)=0;

ii)φ(e1，e1)=-φ(e1，e2)=-φ(e2，e1)=φ(e2，e2)∈M.

證明i)對任意的u∈U， 由于[u，0]=0∈Ω，從而可在(2)式中令y=z=0，故可得φ(u，0)=φ(u，0)0+0φ(u，0)=0，所以φ(u，0)=0.類似地，可證明φ(0，u)=0.

ii)由于[e1，e1]=[e2，e2]=0∈Ω，從而一方面，在(1)式中分別令x=y=z=e1和x=y=z=e2，得

φ(e1，e1)=φ(e1e1，e1)=φ(e1，e1)e1+e1φ(e1，e1)

和

φ(e2，e2)=φ(e2e2，e2)=φ(e2，e2)e2+e2φ(e2，e2)，

從而有

φ(e1，e1)=e1φ(e1，e1)e2

和

φ(e2，e2)=e1φ(e2，e2)e2.

(3)

另一方面，在(1)式中分別令x=y=e1，z=e2和x=y=e2，z=e1，可得

φ(e1，e2)=φ(e1，e2)e1+e1φ(e1，e2)

和

φ(e2，e1)=φ(e2，e1)e2+e2φ(e2，e1)，

從而有

φ(e1，e2)=e1φ(e1，e2)e2

和

φ(e2，e1)=e1φ(e2，e1)e2.

(4)

從而由引理1 i)，(3)式和(4)式，可得

0=φ(e1，0)=φ(e1，e1e2)=

φ(e1，e1)e2+e1φ(e1，e2)=

φ(e1，e1)+φ(e1，e2)

(5)

和

0=φ(0，e1)=φ(e1e2，e1)=

φ(e1，e1)e2+e1φ(e2，e1)=

φ(e1，e1)+φ(e2，e1)，

(6)

及

0=φ(0，e2)=φ(e1e2，e2)=

φ(e1，e2)e2+e1φ(e2，e2)=

φ(e1，e2)+φ(e2，e2).

(7)

從而由式(5) ～(7)，有

φ(e1，e1)=-φ(e1，e2)=

-φ(e2，e1)=φ(e2，e2)∈M.

引理2若φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射，則

i) 對任意的u∈U，φ(e1，u)=-φ(e2，u)∈M和φ(u，e1)=-φ(u，e2)∈M;

ii)φ(A，U)，φ(U，A)?A+M;

iii)φ(U，B)，φ(B，U)?M+B;

iv)φ(U，A+M)，φ(A+M，U)?A+M;

v)φ(U，M+B)，φ(M+B，U)?M+B;

vi)φ(U，M)?M，φ(M，U)?M.

證明i)對任意的u∈U，由于[e1，e1]=[e2，e2]=0∈Ω，從而可在(1)式中分別令x=y=e1，z=u和x=y=e2，z=u，可得

φ(e1，u)=φ(e1，u)e1+e1φ(e1，u)

和

φ(e2，u)=φ(e2，u)e2+e2φ(e2，u)，

從而有

e1φ(e1，u)e1=e2φ(e1，u)e2=0

和

e1φ(e2，u)e1=e2φ(e2，u)e2=0，

所以有

φ(e1，u)=e1φ(e1，u)e2

和

φ(e2，u)=e1φ(e2，u)e2.

(8)

下證φ(e1，u)=-φ(e2，u).事實(shí)上，由于[e1，e2]=0∈Ω，從而可在(1)式中令x=e1，y=e2，z=u，從而有0=φ(0，u)=φ(e1e2，u)=φ(e1，u)e2+e1φ(e2，u)，進(jìn)而由(8)式得φ(e1，u)=-φ(e2，u).類似地，可證明φ(u，e1)=-φ(u，e2)∈M.

ii)對任意的a∈A和u∈U，由于[a，e1]∈Ω，從而可在 (1) 式中令x=a，y=e1，z=u，從而有

φ(a，u)=φ(ae1，u)=φ(a，u)e1+aφ(e1，u).

(9)

從而e2φ(a，u)e2=0，可得φ(A，U)?A+M.同理可證φ(U，A)?A+M.

iii)類似ii)，可證明 iii).

iv)對任意的u∈U，a∈A和m∈M，由于[e1，a+m]=m∈Ω，從而可在(2)式中令x=u，y=e1，z=a+m，從而由引理2 i)有

φ(u，a+m)=φ(u，e1(a+m))=

e1φ(u，a+m)，

從而e2φ(u，a+m)e2=0，故可得φ(U，A+M)?A+M，同理可得φ(A+M，U)?A+M.

v)類似iv)，可證明v)成立.

vi)對任意的u∈U和m∈M，由于[e1，m]=[m，e2]=m∈Ω， 從而可在(1)式中分別令x=u，y=e1，z=m和x=u，y=m，z=e2，進(jìn)而由引理2 i)有φ(u，m)=φ(u，e1m)=e1φ(u，m)和φ(u，m)=φ(u，me2)=φ(u，m)e2.由此可得e1φ(u，m)e1=e2φ(u，m)e2=0，所以φ(U，M)?M.類似地，可證明φ(M，U)?M.

引理 3若φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射，則

i)對任意的a∈A，m∈M和u∈U，有

φ(a+m，u)=φ(a，u)+φ(m，u)

和

φ(u，a+m)=φ(u，a)+φ(u，m);

ii)對任意的m∈M，b∈B和u∈U，有

φ(m+b，u)=φ(m，u)+φ(b，u)

和

φ(u，m+b)=φ(u，m)+φ(u，b);

iii)對任意的m1，m2∈M和u∈U，有

φ(m1+m2，u)=φ(m1，u)+φ(m2，u)

和

φ(u，m1+m2)=φ(u，m1)+φ(u，m2);

iv)對任意的a1，a2∈A和u∈U，有

φ(a1+a2，u)=φ(a1，u)+φ(a2，u)

和

φ(u，a1+a2)=φ(u，a1)+φ(u，a2);

v)對任意的b1，b2∈B和u∈U，有

φ(b1+b2，u)=φ(b1，u)+φ(b2，u)

和

φ(u，b1+b2)=φ(u，b1)+φ(u，b2);

vi)對任意的a∈A，m∈M，b∈B和u∈U，有

φ(a+m+b，u)=φ(a，u)+φ(m，u)+φ(b，u)

和

φ(u，a+m+b)=φ(u，a)+φ(u，m)+φ(u，b).

證明i)對任意的a∈A，m∈M和u∈U，由于[a+m，e1]=[a+m，e2]=m∈Ω，從而可在 (1) 式中分別令x=a+m，y=e1，z=u和x=a+m，y=e2，z=u，從而由引理2 i)分別可得

φ(a，u)=φ(a+m，u)e1+aφ(e1，u)

和

φ(m，u)=φ(a+m，u)e2-aφ(e1，u).

把上述兩式相加，可得φ(a+m，u)=φ(a，u)+φ(m，u).

ii)類似地，可證明φ(u，a+m)=φ(u，a)+φ(u，m)和ii)成立.

iii)對任意的m1，m2∈M和u∈U，由于[e1+m1，m2+e2]=m1+m2∈Ω，從而在(1)式中令x=e1+m1，y=m2+e2，z=u，故由引理2和引理3 的i)、ii)，有

φ(m1+m2，u)=φ((e1+m1)(m2+e2)，u)=
φ(e1+m1，u)(m2+e2)+(e1+m1)φ(m2+e2，u)=
(φ(e1，u)+φ(m1，u))(m2+e2)+
(e1+m1)(φ(m2，u)+φ(e2，u))=
φ(e1，u)+φ(m1，u)+φ(m2，u)+φ(e2，u)=
φ(e1，u)+φ(e2，u)+φ(m1，u)+φ(m2，u)=
φ(m1，u)+φ(m2，u).

類似地，可證明

φ(u，m1+m2)=φ(u，m1)+φ(u，m2).

iv)對任意的a1，a2∈A和u∈U，由引理2 i)、ii)和(9)式，可得e1φ(a1，u)e2=a1φ(e1，u)和e1φ(a2，u)e2=a2φ(e1，u) ， 從而

φ(a1+a2，u)=φ((a1+a2)e1，u)=

φ(a1+a2，u)e1+(a1+a2)φ(e1，u)=

e1φ(a1+a2，u)e1+a1φ(e1，u)+

a2φ(e1，u)=e1φ(a1+a2，u)e1+

e1φ(a1，u)e2+e1φ(a2，u)e2.

(10)

下證

e1φ(a1+a2，u)e1=e1φ(a1，u)e1+e1φ(a2，u)e1.

對任意的m∈M，由[a1+a2，m]=a1m+a2m∈Ω，從而可在(1)式中令x=a1+a2，y=m，z=u，一方面，由引理2 vi)，有

φ(a1m+a2m，u)=φ(a1+a2，u)m+

(a1+a2)φ(m，u).

(11)

另一方面，由引理2 iii)有

φ(a1m+a2m，u)=φ(a1m，u)+φ(a2m，u)，

又因?yàn)閇a1，m]，[a2，m]∈Ω，從而由(1)式得

φ(a1m+a2m，u)=φ(a1，u)m+a1φ(m，u)+

φ(a2，u)m+a2φ(m，u).

(12)

比較(11)式和(12)式得

(φ(a1+a2，u)-φ(a1，u)-φ(a2，u))m=0，

進(jìn)而由M的忠實(shí)性，有

e1φ(a1+a2，u)e1=

e1φ(a1，u)e1+e1φ(a2，u)e1.

(13)

因此，由(10)式和(13)式及引理2 ii)，得φ(a1+a2，u)=φ(a1，u)+φ(a2，u).

v)類似地，可證明φ(u，a1+a2)=φ(u，a1)+φ(u，a2)和v)成立.

vi)對任意的a∈A，m∈M，b∈B和u∈U，由于[a+m+b，e1]=m∈Ω和[a+m+b，e2]=m∈Ω，從而在(1)式中分別令x=a+m+b，y=e1，z=u和x=a+m+b，y=e2，z=u，則由引理2 i)、ii)和(9)式，有

φ(a，u)=φ((a+m+b)e1，u)=
φ(a+m+b，u)e1+aφ(e1，u)=
φ(a+m+b，u)e1+e1φ(a，u)e2

和

φ(m+b，u)=φ((a+m+b)e2，u)=
φ(a+m+b，u)e2+aφ(e2，u)=
φ(a+m+b，u)e2-e1φ(a，u)e2.

把上述兩式相加，并由引理3 ii)，有

φ(a+m+b，u)=φ(a，u)+φ(m，u)+φ(b，u).

類似地，可以證明

φ(u，a+m+b)=φ(u，a)+φ(u，m)+φ(u，b).

定理1的證明對任意的x，y，z∈U，設(shè)

x=a1+m1+b1，y=a2+m2+b2，

由引理3有

φ(x+y，z)=
φ((a1+m1+b1)+(a2+m2+b2)，z)=
φ((a1+a2)+(m1+m2)+(b1+b2)，z)=
φ(a1+a2，z)+φ(m1+m2，z)+φ(b1+b2，z)=
φ(a1，z)+φ(a2，z)+φ(m1，z)+
φ(m2，z)+φ(b1，z)+φ(b2，z)=
φ(a1+m1+b1，z)+φ(a2+m2+b2，z)=
φ(x，z)+φ(y，z).

類似地，可以證明φ(x，y+z)=φ(x，y)+φ(x，z)，從而φ是U上的一個(gè)雙可加映射，所以φ是三角代數(shù)U上的一個(gè)雙導(dǎo)子.

由定理1及文獻(xiàn) [16] 中定理 4.11，可以得到以下結(jié)論.

定理2設(shè)U是一個(gè)三角代數(shù)，φ:U×U→U是U上的一個(gè)Lie積為平方零元的非線性雙可導(dǎo)映射.若滿足:

i)πA(Z(U))=Z(A)和πB(Z(U))=Z(B);

ii) 代數(shù)A和B至少有一個(gè)非交換;

iii) 設(shè)a≠0∈A和b∈Z(A)，若ba=0，則b=0;

iv) 代數(shù)A上的導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子;

v)φ(e1，e1)=0.

則存在λ∈Z(U)， 使得任意的x，y∈U，有

φ(x，y)=λ[x，y].

由于上三角分塊矩陣代數(shù)和套代數(shù)是兩類特殊的三角代數(shù)，因此定理1和定理2的結(jié)論在這兩類代數(shù)上仍然成立.