平面上兩個(gè)數(shù)字集生成的一類Moran測(cè)度的譜性

李海雄， 吳新林*， 丁道新

(1.湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 武漢 430205； 2. 湖北第二師范學(xué)院大數(shù)據(jù)建模與智能計(jì)算研究所， 武漢 430205)

設(shè)μ是n上具有緊支撐的Borel概率測(cè)度，稱μ為譜測(cè)度，如果存在n的離散子集Λ使得

E(Λ)∶={e-2πi〈λ，x〉:λ∈Λ}

成為L2(μ)上的規(guī)范正交基.集合Λ稱為測(cè)度μ的譜. 也稱(μ，Λ)為譜對(duì).

研究一個(gè)具有緊支撐的Borel概率測(cè)度是否為譜測(cè)度是調(diào)和分析的一個(gè)基本問題，大量的研究譜測(cè)度的工作始于1974年Fuglede[1]提出的著名的譜集猜想.關(guān)于奇異測(cè)度的譜分析，最早是Jorgensen和Pedersen在文[2]中提出，他們指出四分Cantor測(cè)度是譜測(cè)度，而經(jīng)典三分Cantor測(cè)度不能成為譜測(cè)度.眾所周知，Moran測(cè)度是分形幾何中一類典型奇異概率測(cè)度[3-4]，關(guān)于其譜性研究也一直是眾多學(xué)者研究的興趣之一. Strichartz[5]利用compatible tower，研究了一類Moran測(cè)度為譜測(cè)度的充分性. 最近安麗想和何興綱[6]系統(tǒng)研究了一維情形下一類Moran測(cè)度為譜測(cè)度的特征刻畫. 而關(guān)于一般Moran測(cè)度的譜性還可以參見文獻(xiàn)[7-11].受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文主要考慮二維空間中，兩個(gè)數(shù)字集所生成的Moran測(cè)度為譜測(cè)度的條件刻畫.

設(shè)D為n中任意有限集，記這里#D表示集合D所含元素的個(gè)數(shù)，δd為點(diǎn)d處的Dirac測(cè)度.對(duì)于任意正整數(shù)n，設(shè)()為整擴(kuò)張矩陣(即是矩陣Mn的所有特征值的模嚴(yán)格大于1)，Dn?2為數(shù)字集. 如果

則存在唯一具有緊支撐的Borel概率測(cè)度μ{Mn}，{Dn}，其定義如下：

μ{Mn}，{Dn}=

(1)

這里符號(hào)*表示兩個(gè)測(cè)度的卷積且在弱收斂意義下定義其收斂性. 通常來說測(cè)度μ{Mn}，{Dn}稱之為Moran測(cè)度[2-3]，且其支撐在Moran集T({Mn}，{Dn})上，其中T({Mn}，{Dn})定義如下：

T({Mn}，{Dn})=

(2)

本文總假設(shè)

這里對(duì)于任意n≥1有an，bn>1. 此時(shí)Moran測(cè)度μ{Mn}，{D}簡記為μMn，D.如果所有擴(kuò)張矩陣都相同，此時(shí)的Moran測(cè)度μMn，D稱為自仿測(cè)度，記為μM，D[2-3]. 目前關(guān)于平面上2個(gè)數(shù)字集所生成的奇異測(cè)度的譜分析主要集中在自仿測(cè)度上，如李建林和文志英[12-13]系統(tǒng)刻畫了擴(kuò)張矩陣為整矩陣且數(shù)字集所含元素個(gè)數(shù)為2時(shí)，自仿測(cè)度μM，D為譜測(cè)度的刻畫；隨后戴欣榮等[14]、鄧啟榮等[15-16]將此結(jié)果推廣到一般擴(kuò)張矩陣且數(shù)字集含三個(gè)元素，也得到了自仿測(cè)度μM，D為譜測(cè)度的條件刻畫. 以上結(jié)果表明，關(guān)于平面上自仿測(cè)度為譜測(cè)度的分析取得了很好的結(jié)果，但是對(duì)于一般Moran測(cè)度的譜性分析目前的研究還不多. 本文將主要研究一般Moran測(cè)度μMn，D的譜分析，通過構(gòu)造一維2個(gè)數(shù)字集生成的Moran測(cè)度的譜，刻畫μMn，D的譜性并給出其一組譜.

1 預(yù)備知識(shí)及引理

設(shè)μ是n上具有緊支撐的Borel概率測(cè)度，其Fourier變換定義為：

(3)

當(dāng)Λ滿足上式時(shí)，說Λ為測(cè)度μ的雙零集. 因?yàn)殡p零集都具有平移不變性，所以本文總是假設(shè)0∈Λ，此時(shí)有Λ?Λ-Λ.

一般來說，當(dāng)研究分形測(cè)度，特別是Moran測(cè)度的譜性時(shí)，都從下面的函數(shù)出發(fā). 設(shè)ξ∈n，記

(4)

引理1[2]設(shè)μ是n上具有緊支撐的Borel概率測(cè)度，又設(shè)Λ?n為可數(shù)集，則

i) Λ為測(cè)度μ雙零集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意ξ∈n，有QΛ(ξ)≤1；

ii) Λ為測(cè)度μ的譜當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意ξ∈n，有QΛ(ξ)≡1.

特別地，如果Λ為測(cè)度μ雙零集，則QΛ(z)為復(fù)平面上的整函數(shù).

作為引理1的一個(gè)重要應(yīng)用，可以得到下面關(guān)于非譜測(cè)度的一個(gè)條件刻畫.

引理2[17]設(shè)μ=μ0*μ1是由n上兩個(gè)概率測(cè)度形成的卷積測(cè)度，其中μ0，μ1均不為Dirac測(cè)度. 如果Λ?n為測(cè)度μ0的雙零集，則Λ必為測(cè)度μ的雙零集，但不能成為μ的譜.

2 主要結(jié)果及證明

對(duì)于任意n≥1，總假設(shè)an，bn>1，并且記

基于上面記號(hào)，得到下面關(guān)于Moran測(cè)度μMn，D為譜測(cè)度的充要條件.

定理1Moran測(cè)度μMn，D當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意n≥2，an為偶數(shù).

證明對(duì)于任意的k，m∈0，如果k

(5)

為了證明本文定理，先證明充分性，即當(dāng)n≥2，an為偶數(shù)時(shí)，Moran測(cè)度μ為譜測(cè)度.對(duì)于任意的m≥1，注意到Moran測(cè)度μ可以寫成μ=μm*μ>m，這里

更進(jìn)一步，還可以得到

ξ∈.

(6)

所以Moran測(cè)度μ的Fourier變換的零點(diǎn)集合為

記

接下來將證明Λ′為Moran測(cè)度μ的譜. 為此首先證明Λ′為Moran測(cè)度μ的雙零集.對(duì)于任意λ1≠λ2∈Λ′，一定存在m1，m2∈0使得下式成立，

ck，ck′∈{0，(-1)k}.

設(shè)s≥1為滿足cs≠cs′的最小指數(shù)，從而存在整數(shù)N滿足

(7)

注意到cs-cs′不能被2整除且as+1為偶數(shù)，從而有

下面來證明E(Λ′)的完備性. 對(duì)于任意m∈0，記

類似于Λ′的正交性，容易得到Λ′m為測(cè)度μm的雙零集. 注意到Λ′m恰好含有2m個(gè)元素，而Hilbert空間L2(μm)的維數(shù)恰好為2m，所以Λ′m為測(cè)度μm的譜. 特別地，根據(jù)引理1，有下面等式成立，

(8)

因?yàn)棣錇镸oran測(cè)度μ的雙零集，由引理1知，對(duì)于任意ξ∈,

注意到Λ′m單調(diào)遞增收斂到Λ′且μm弱收斂到μ，從而可以通過Lebesgue控制收斂定理來證明QΛ′(ξ)≡1.為此，對(duì)于任意給定的ξ∈，記

fm(λ)=|^μm(ξ+λ)|2,λ∈Λ'm;0,λ∈Λ'm,

f(λ)=|^μ(ξ+λ)|2,λ∈Λ';0,λ∈Λ'.

下面通過f(λ)來構(gòu)造控制函數(shù)，對(duì)于任意λ∈Λ′m，首先有

(9)

對(duì)于任意給定的m∈0，如果λ∈Λ′m，則

如果m為奇數(shù)，類似可得

以及

這樣就得到

所以有

(10)

因此，

(11)

這樣上面的斷言(8)式得證. 所以對(duì)于任意m∈0和λ∈Λ′m，進(jìn)一步有

因?yàn)镼Λ′(ξ)為整函數(shù)，所以對(duì)于任意ξ∈，有QΛ′(ξ)≡1. 從而根據(jù)引理1知，Λ′即為μ的譜集.

接下來將通過Λ′來構(gòu)造Moran測(cè)度μMn，D的譜. 定義

這里ι:Λ′→是任意實(shí)值函數(shù). 可說Λ為測(cè)度μMn，D的譜. 這是因?yàn)?/p>

(12)

所以就證明了定理的充分性.

關(guān)于必要性，將采用反證法來證明. 為此設(shè)存在n0≥2使得an0不為偶數(shù).記M1，n=M1M2…Mn，又記Mn，1=MnMn-1…M1. 特別地,M1，1=M1.通過計(jì)算Mask函數(shù)MD的零點(diǎn)，有

所以,

注意到n0≥2，所以

M1，n0Z(MD)?M1，n0-1Z(MD).

記

類似的，對(duì)于任意n≥1，仍假設(shè)an，bn>1，記

則還可以得到下面定理.

定理2Moran測(cè)度μMn，D′當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意n≥2，bn為偶數(shù).

證明根據(jù)定理1的證明，知當(dāng)bn(n≥2)為偶數(shù)時(shí)，

為Moran測(cè)度

這里ι:Λ′→是任意實(shí)值函數(shù). 類似于定義1的證明，可以得到Λ為測(cè)度μMn，D′的譜.反之亦類似，證畢.