固體物理教學(xué)的若干思考Ⅱ：磁學(xué)前沿案例

袁 喆

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

固體物理是物理學(xué)高等教育中極為重要的一門專業(yè)課程.它既包含了晶格振動(dòng)、能帶理論等基礎(chǔ)知識(shí)，也緊密結(jié)合凝聚態(tài)物理中的半導(dǎo)體物理、超導(dǎo)電性、磁學(xué)、表面與低維物理等分支學(xué)科的研究前沿，可以作為高年級(jí)本科生了解科研動(dòng)態(tài)的一個(gè)重要的途徑[1,2].教學(xué)中引入科學(xué)研究的前沿進(jìn)展可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并鍛煉學(xué)生運(yùn)用課程前半部分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)去解決實(shí)際科學(xué)問(wèn)題的能力，從課程教學(xué)自身角度來(lái)說(shuō)就已是非常必要.

教育部高等教育司在《2019年教育部高等教育司工作要點(diǎn)》中提出實(shí)施一流課程的“雙萬(wàn)計(jì)劃”，統(tǒng)籌規(guī)劃國(guó)家級(jí)和省級(jí)一流課程的培育與建設(shè)，打造具有高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度的“金課”[3,4].對(duì)于固體物理來(lái)說(shuō)，高階性是天然存在的，固體物理課程涉及的知識(shí)面較廣，涵蓋了四大力學(xué)，而它主要是應(yīng)用量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理等課程的知識(shí)解決晶體物理性質(zhì)等實(shí)際問(wèn)題，是促進(jìn)物理專業(yè)學(xué)生知識(shí)、能力、素質(zhì)有機(jī)融合的理想平臺(tái)，也可以充分培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合能力和高級(jí)思維.凝聚態(tài)物理學(xué)的多個(gè)分支學(xué)科，例如超導(dǎo)、磁學(xué)、表面與低維物理等仍然處于高速發(fā)展的過(guò)程中，因此課程內(nèi)容的創(chuàng)新性要充分反映科學(xué)前沿成果和發(fā)展方向，同時(shí)也自然地保證了學(xué)習(xí)內(nèi)容的探究性和教學(xué)形式的互動(dòng)性.教學(xué)中引入科學(xué)發(fā)展的前沿，對(duì)教師備課和學(xué)生課內(nèi)外的學(xué)習(xí)提出了更高的要求，在很大程度上提高了課程的挑戰(zhàn)度.

總的來(lái)說(shuō)，固體物理課程與金課的“兩性一度”的要求高度契合，落實(shí)的關(guān)鍵在于是否能夠找到合適的前沿課題作為切入點(diǎn)：太過(guò)深入或者需要較多知識(shí)準(zhǔn)備的學(xué)術(shù)問(wèn)題并不適合面向本科生的教學(xué)，而發(fā)展得足夠成熟到能夠?qū)懭虢炭茣?shū)的內(nèi)容也往往不再是前沿研究?jī)?nèi)容，也是不合適的.找到合適的前沿研究案例融入固體物理教學(xué)，要求授課教師必須深刻理解科研動(dòng)態(tài)，并有能力將其轉(zhuǎn)化為本科階段能夠掌握的形式展示給學(xué)生.

本文聚焦于固體物理的磁性章節(jié)，從近年來(lái)自旋電子學(xué)領(lǐng)域研究的磁疇壁賽道存儲(chǔ)器入手，通過(guò)探討磁疇和磁疇壁的產(chǎn)生原因引入鐵磁材料中相互作用的物理機(jī)制和特點(diǎn).再以磁疇壁電阻為例，討論自旋相關(guān)輸運(yùn)的問(wèn)題，特別是和固體物理前面幾章學(xué)習(xí)的布洛赫電子態(tài)、輸運(yùn)過(guò)程等內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，達(dá)到融會(huì)貫通的效果.希望這個(gè)典型案例能夠?yàn)閺氖鹿腆w物理教學(xué)的教師們提供借鑒與參考.

1 從磁疇壁賽道存儲(chǔ)器引出磁性材料中的相互作用

磁疇壁賽道存儲(chǔ)器基于自旋轉(zhuǎn)移力矩[5,6]的概念和電流驅(qū)動(dòng)磁疇壁運(yùn)動(dòng)[7]的物理過(guò)程，由Stuart Parkin在2008年提出[8].它的載體是一條條鐵磁金屬納米線，其中包含了一系列具有相反方向磁矩的磁疇單元，用來(lái)編碼0和1.施加電流可以推動(dòng)這些磁疇單元在納米線中整體平移，任意一個(gè)單元都可以移動(dòng)到固定的讀寫(xiě)頭附近，進(jìn)行讀寫(xiě)操作.與傳統(tǒng)的磁性硬盤(pán)相比，磁疇壁賽道存儲(chǔ)器的運(yùn)行僅改變磁矩方向，不存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因此在運(yùn)行速度和能耗方面具有更優(yōu)的潛力，且可能實(shí)現(xiàn)三維高存儲(chǔ)密度集成，是近年來(lái)自旋電子學(xué)領(lǐng)域的重點(diǎn)研究方向之一.

通過(guò)對(duì)磁疇壁賽道存儲(chǔ)器的介紹，可以看出磁性材料由于具有南北極的磁矩取向，是數(shù)字存儲(chǔ)的天然媒介.因此自然地會(huì)想到如下幾個(gè)問(wèn)題：1) 磁有序的物理起源是什么？2) 磁存儲(chǔ)器中數(shù)據(jù)單元是否穩(wěn)定？3) 使用什么材料能夠提高數(shù)據(jù)存儲(chǔ)密度？這幾個(gè)問(wèn)題的答案就包含在磁性材料的基本相互作用中.

在教學(xué)中，可以利用對(duì)磁疇壁賽道存儲(chǔ)器的介紹和上述問(wèn)題，切入鐵磁性的基本內(nèi)容.通常從海特勒-倫敦理論出發(fā)，推導(dǎo)出交換相互作用和海森堡模型[9].鐵磁交換相互作用讓磁矩趨向于一致排列，此時(shí)在晶體外部會(huì)產(chǎn)生較高的靜磁能.這種較強(qiáng)的短程交換相互作用與較弱的長(zhǎng)程靜磁(磁偶極)相互作用的競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致了磁體通常分割成許多微米尺度的磁疇.在磁疇的內(nèi)部，磁化強(qiáng)度取向一致，朝向能量最低的易磁化軸方向.而易磁化軸的方向取決于各向異性能，包括源于自旋軌道耦合相互作用的磁晶各向異性能和源于靜磁相互作用的形狀各向異性能.各向異性能的存在使磁化強(qiáng)度從一個(gè)能量最低的方向翻轉(zhuǎn)到另一個(gè)能量極小方向時(shí)必須跨過(guò)能量勢(shì)壘，當(dāng)這個(gè)勢(shì)壘的高度遠(yuǎn)大于室溫(kBT≈26 meV)就保證了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.為了實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的高密度存儲(chǔ)，需要降低磁疇和磁疇壁的尺寸.磁疇壁是不同磁疇之間的過(guò)渡區(qū)域，其中磁化強(qiáng)度方向逐漸從一個(gè)磁疇的方向轉(zhuǎn)到另一個(gè)方向[10].磁疇壁的尺寸由交換能和各向異性能競(jìng)爭(zhēng)所決定，交換能占優(yōu)勢(shì)的材料中，磁化強(qiáng)度的梯度較小，導(dǎo)致較寬的磁疇壁.而各向異性能較強(qiáng)的材料中磁化強(qiáng)度盡可能沿著易軸方向，因此較大的各向異性能會(huì)顯著降低磁疇壁的寬度.

綜上所述，通過(guò)磁疇和磁疇壁的物理機(jī)制，完整地展示出鐵磁材料中的三種最為重要的相互作用：交換能、靜磁能、各向異性能，以及它們之間的相互競(jìng)爭(zhēng)與妥協(xié)的效果.這些基本知識(shí)內(nèi)容，大部分教科書(shū)上都有涉及[9-12]，在此不贅述.

2 磁疇壁中的自旋相關(guān)輸運(yùn)

固體的磁性一般作為一個(gè)專題章節(jié)，放置于晶體的布洛赫電子論、輸運(yùn)現(xiàn)象和晶格振動(dòng)等基礎(chǔ)知識(shí)之后.上一節(jié)僅把研究前沿作為切入鐵磁性教學(xué)內(nèi)容的引子，本節(jié)的內(nèi)容則利用電子論和輸運(yùn)過(guò)程等固體物理的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)處理一個(gè)具體的自旋相關(guān)輸運(yùn)問(wèn)題，即磁疇壁的存在對(duì)鐵磁金屬電阻的影響.

自基泰爾于上世紀(jì)40年代建立磁疇理論起，磁疇壁對(duì)鐵磁金屬電阻或電阻率的貢獻(xiàn)就一直為研究人員所關(guān)注.在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，受實(shí)驗(yàn)條件的限制，磁疇壁電阻僅局限于理論研究[13].直到上世紀(jì)90年代才實(shí)現(xiàn)了第一次定量的測(cè)量.Gregg等人制備了具有條紋磁疇的鈷薄膜，易軸垂直于薄膜平面，施加垂直薄膜方向的外磁場(chǎng)會(huì)消除部分磁疇，即減少磁疇壁個(gè)數(shù)，此時(shí)測(cè)得薄膜的電阻率變小，說(shuō)明磁疇壁存在會(huì)增加電阻率[14].但隨后也有其它實(shí)驗(yàn)得出相反的結(jié)論[15]，引發(fā)了磁學(xué)領(lǐng)域熱烈的討論.

圖1 上圖：布洛赫型磁疇壁示意.下圖：磁疇壁中局域磁化強(qiáng)度轉(zhuǎn)角定義，電子波函數(shù)混合了向上和向下自旋分量.

2.1 磁疇壁中的電子態(tài)

磁疇壁最主要的特征是非共線的磁化強(qiáng)度.在共線磁性材料中，如果自旋軌道耦合較弱，可以近似認(rèn)為自旋角動(dòng)量守恒，不同自旋的電子態(tài)彼此獨(dú)立.磁疇壁的非共線磁化自然地混合自旋向上和向下電子態(tài)，使自旋不再是一個(gè)好量子數(shù).不失一般性，考慮一個(gè)布洛赫型磁疇壁，其構(gòu)型如圖1所示.局域磁化強(qiáng)度方向可以寫(xiě)作m(r)=[0,sinθ(x),cosθ(x)]，用一個(gè)幺正矩陣：

(1)

可以把定義在笛卡爾坐標(biāo)系的自旋分量σ·m(r)變換到局域量子化軸下定義的σz，即U-1σ·mU=σz.由于磁疇壁中局域量子化軸的方向隨位置x變化，每一處的電子態(tài)受周圍與其非共線磁化方向上電子態(tài)的影響，會(huì)產(chǎn)生自旋的混合.這是因?yàn)殓壅儞QU與哈密頓量中的動(dòng)能項(xiàng)不對(duì)易[16]，

(2)

對(duì)于非常寬的磁疇壁，?θ/?x很小，式(2)中的后兩項(xiàng)可以看做微擾，保留頭階項(xiàng)，得到微擾強(qiáng)度正比于磁化強(qiáng)度的梯度，即正比于磁疇壁寬度λ的倒數(shù).此時(shí)哈密頓量的本征態(tài)不是局域量子化軸下的純自旋態(tài)，而可以寫(xiě)作：

|Ψ+〉=a|↑〉+b|↓〉

(3)

|Ψ-〉=-b*|↑〉+a*|↓〉

(4)

其中b是正比于1/λ的小量，|b|<<|a|.注意到上述微擾圖像的結(jié)論是普適的，與具體的θ(x)函數(shù)形式無(wú)關(guān).考慮一種被稱為自旋螺旋(spin spiral)的特殊結(jié)構(gòu)，即?θ/?x是常數(shù)，其電子本征態(tài)可以嚴(yán)格求解，電子態(tài)的總自旋相對(duì)局域量子化軸總是存在一個(gè)常數(shù)偏角[17].

2.2 布洛赫型磁疇壁對(duì)傳導(dǎo)電子的散射

固體材料中總是存在各種無(wú)序，例如雜質(zhì)原子、晶格缺陷、原子振動(dòng)和磁矩漲落等.后兩者甚至在極低溫下依然由于零點(diǎn)振動(dòng)和量子漲落而無(wú)法完全消除.晶格中的布洛赫電子態(tài)被這些無(wú)序散射導(dǎo)致有限的電阻率.結(jié)合輸運(yùn)理論，可以寫(xiě)出磁疇壁中布洛赫電子態(tài)的散射幾率，假定散射勢(shì)的形式為

(5)

式(3)和式(4)中布洛赫電子的弛豫時(shí)間可以通過(guò)量子力學(xué)含時(shí)微擾論中費(fèi)米黃金定則來(lái)計(jì)算.如果只考慮彈性散射，即散射前后傳導(dǎo)電子能量不變，均保持在費(fèi)米能量上，則弛豫時(shí)間的具體形式可以寫(xiě)作

(6)

由于磁化梯度的影響反映在參數(shù)b中，通過(guò)考察b的冪次項(xiàng)來(lái)討論磁疇壁對(duì)弛豫時(shí)間的影響.式(6)中所有弛豫時(shí)間倒數(shù)中，頭階展開(kāi)項(xiàng)都是b的線性項(xiàng)，次階為b的平方項(xiàng).考慮到b與疇壁寬度λ成反比，磁疇壁的電阻率可以表示為

(7)

其中ρ0是共線磁化材料(即無(wú)磁疇壁時(shí))的電阻率，C1和C2是材料相關(guān)的系數(shù)，與磁化梯度或疇壁寬度無(wú)關(guān).

2.3 與磁疇壁寬度無(wú)關(guān)的常數(shù)電阻

由于磁疇壁電阻R(λ)∝λρ(λ)，結(jié)合式(7)可知，對(duì)于一塊具體的磁性金屬材料，磁疇壁的存在會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與疇壁寬度無(wú)關(guān)的電阻項(xiàng)和另一個(gè)與疇壁寬度成反比的項(xiàng)，即

(8)

在疇壁非常寬的極限下，最后一項(xiàng)可以忽略，只剩下一個(gè)常數(shù)項(xiàng)R1.這個(gè)結(jié)論與我們的直覺(jué)不大一致，通常認(rèn)為當(dāng)磁化梯度變得無(wú)限小，則電子輸運(yùn)性質(zhì)會(huì)等同于共線磁化的情況.而式(6)給出的結(jié)論是：無(wú)論一個(gè)磁疇壁有多寬，總會(huì)多出一個(gè)常數(shù)電阻，并且這個(gè)常數(shù)電阻與磁化梯度的具體形式θ(x)無(wú)關(guān).

接下來(lái)討論這個(gè)常數(shù)電阻的物理來(lái)源.注意到式(6)中b的線性項(xiàng)中均包含因子v↑↓，即散射勢(shì)式(1)中的非對(duì)角矩陣元，因此b的線性項(xiàng)都來(lái)源于局域量子化軸下自旋翻轉(zhuǎn)的散射，而這需要自旋軌道耦合來(lái)提供改變傳導(dǎo)電子自旋的角動(dòng)量.最終可以得出結(jié)論，自旋軌道耦合導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)的散射，從而使磁疇壁貢獻(xiàn)一個(gè)與寬度無(wú)關(guān)的常數(shù)電阻R1，可以稱之為絕熱磁疇壁電阻.在自旋軌道耦合可以忽略的情況下，磁疇壁導(dǎo)致的電阻與疇壁寬度成反比，此時(shí)非常寬的磁疇壁可以近似等價(jià)于共線磁化的金屬.上述結(jié)論與第一性原理輸運(yùn)計(jì)算得到的坡莫合金(Ni80Fe20)磁疇壁電阻完全一致[18]，其中絕熱磁疇壁電阻R1的數(shù)值約為0.1×10-15Ωm2.

2.4 窄磁疇壁電阻的來(lái)源

在較窄的磁疇壁中，可以得到隨磁疇壁寬度減小而急劇增大的電阻R2/λ.這部分電阻來(lái)源于式(6)中b的二次項(xiàng)，僅與散射勢(shì)的對(duì)角元有關(guān)，因此是自旋角動(dòng)量守恒的散射過(guò)程所貢獻(xiàn).過(guò)渡金屬和合金中的電子自旋擴(kuò)散長(zhǎng)度一般為幾納米到幾十納米的尺度[19]，在這個(gè)長(zhǎng)度范圍內(nèi)傳導(dǎo)電子保持自旋方向不變，因此當(dāng)磁疇壁寬度小于或接近自旋擴(kuò)散長(zhǎng)度時(shí)，大多數(shù)電子在通過(guò)磁疇壁前后保持自旋守恒，如圖2所示.由于疇壁兩側(cè)磁疇方向相反，入射電子透過(guò)磁疇壁后，多數(shù)自旋載流子變成了少數(shù)自旋載流子，因此費(fèi)米面上的態(tài)密度減少了，從而引起部分電子被反射，增大了電阻.這一過(guò)程和磁性隧道結(jié)中的隧穿磁電阻效應(yīng)[11]非常類似，即反平行構(gòu)型下的隧穿電阻總是要大于平行構(gòu)型下的電阻，且兩者的比例通常取決于鐵磁材料費(fèi)米面電子的極化(兩種自旋的比例).

圖2 電子通過(guò)窄磁疇壁前后自旋守恒散射過(guò)程.入射的多數(shù)自旋載流子在通過(guò)疇壁后成為少數(shù)自旋載流子，該過(guò)程類似磁性隧道結(jié)中的自旋相關(guān)隧穿效應(yīng)，隧道結(jié)兩側(cè)磁化強(qiáng)度的反平行排列導(dǎo)致更多入射電子被反射，電阻增大.

在窄磁疇壁中由于較大磁化梯度產(chǎn)生的電阻隨疇壁寬度的增加而逐步減少.這是因?yàn)楫?dāng)疇壁寬度逐漸增大，有更多的電子跟隨局域磁化的方向逐步改變自旋方向，即入射時(shí)為多數(shù)自旋載流子，透射后仍然是多數(shù)自旋載流子.當(dāng)磁疇壁寬度遠(yuǎn)大于自旋擴(kuò)散長(zhǎng)度時(shí)(λ→∞)，幾乎所有電子都可以完全跟隨局域磁化方向，則由窄疇壁的自旋守恒透射產(chǎn)生的這部分電阻就消失了.

3 奈爾型磁疇壁中各向異性磁電阻的貢獻(xiàn)

當(dāng)電流穿越布洛赫型磁疇壁時(shí)，電流方向與局域磁化的方向始終是垂直的.對(duì)于奈爾型磁疇壁，這個(gè)關(guān)系就不再成立了，如圖3所示，若電流流過(guò)一個(gè)尾對(duì)尾奈爾型磁疇壁：

(9)

電流與局域磁化的方向在左右兩端是平行(反平行)關(guān)系，而在疇壁中間是相互垂直的.旋轉(zhuǎn)奈爾型磁疇壁：

(10)

也存在磁化強(qiáng)度與電流相互平行和相互垂直的區(qū)域.此時(shí)必須考慮到磁性材料中的各向異性磁電阻效應(yīng)(Anisotropic magnetoresistance，簡(jiǎn)稱AMR)[20].該效應(yīng)也是自旋軌道耦合的結(jié)果，在大部分鐵磁金屬與合金中，當(dāng)磁化強(qiáng)度與電流方向平行(反平行)時(shí)，電阻率ρ‖會(huì)比兩者相互垂直時(shí)的電阻率ρ⊥大一些.對(duì)于坡莫合金，兩者的差別在低溫下大約能達(dá)到20%，室溫下約4%左右.

圖3 奈爾型磁疇壁(上圖)和旋轉(zhuǎn)奈爾型磁疇壁(下圖)示意.電流始終沿磁疇壁方向.

各向異性磁電阻的存在使奈爾型磁疇壁區(qū)域電阻率更低，因此磁疇壁的存在會(huì)降低鐵磁金屬的總電阻，且奈爾型疇壁越寬，電阻降低越多.旋轉(zhuǎn)奈爾型磁疇壁中間的電阻率更大，因此該類型疇壁越寬，電阻越大.下面定量計(jì)算各向異性磁電阻貢獻(xiàn)的磁疇壁電阻，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于多晶或各項(xiàng)同性鐵磁金屬，局域電阻率可以寫(xiě)成

ρ(x)=ρ⊥+(ρ‖-ρ⊥)cos2φ(x)

(11)

(12)

AMR在奈爾型磁疇壁中產(chǎn)生的電阻可以解析計(jì)算(假設(shè)體系長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于磁疇壁寬度，L>>λ)：

(13)

使用同樣的方法，可以計(jì)算出旋轉(zhuǎn)奈爾型磁疇壁中的AMR會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)正的電阻為

(14)

4 小結(jié)

固體物理的教學(xué)有必要融入最新研究成果，使課程內(nèi)容反映前沿性和時(shí)代性，以達(dá)到培養(yǎng)物理專業(yè)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合能力.同時(shí)對(duì)于前沿案例的選擇必須充分考慮學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生有勇氣去探究前沿科學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)未知領(lǐng)域的創(chuàng)新能力.這也正體現(xiàn)了打造金課的“高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度”這一要求.

作為一個(gè)典型案例，本文介紹了如何通過(guò)磁疇壁賽道存儲(chǔ)器引入鐵磁性材料中的基本相互作用等教學(xué)內(nèi)容，并進(jìn)一步選擇了磁疇壁電阻這一自旋電子學(xué)領(lǐng)域的研究前沿，讓本科生在學(xué)習(xí)固體的磁性章節(jié)時(shí)，能夠結(jié)合已掌握的電子能帶論、輸運(yùn)現(xiàn)象和量子力學(xué)微擾論等內(nèi)容，自主地探討磁性金屬材料中自旋相關(guān)輸運(yùn)現(xiàn)象.通過(guò)對(duì)電子自旋態(tài)和無(wú)序散射導(dǎo)致的弛豫時(shí)間的分析，發(fā)現(xiàn)磁疇壁貢獻(xiàn)的電阻與疇壁寬度的關(guān)系.在討論過(guò)程中，主要基于物理圖像做定性分析，避免冗長(zhǎng)的嚴(yán)格計(jì)算，把數(shù)學(xué)表達(dá)式中隱含的物理過(guò)程揭示出來(lái)，例如散射勢(shì)中的非對(duì)角元對(duì)應(yīng)自旋翻轉(zhuǎn)散射，自旋翻轉(zhuǎn)散射和自旋守恒散射分別會(huì)導(dǎo)致一個(gè)與磁疇壁寬度無(wú)關(guān)的常數(shù)電阻和一個(gè)與磁疇壁寬度成反比的電阻.后一過(guò)程與磁性隧道結(jié)中的隧穿磁電阻效應(yīng)的物理圖像是一致的.各向異性磁電阻效應(yīng)對(duì)于非布洛赫型磁疇壁會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)與疇壁寬度成正比的電阻，可以是正值或負(fù)值.

致謝：本文的寫(xiě)作得到了北京師范大學(xué)物理學(xué)系馬嘯云和高著同學(xué)的大力幫助.