賦值法處理抽象函數(shù)問題

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

解答抽象函數(shù)題目的基礎是熟悉函數(shù)的基本知識.抽象函數(shù)無具體表達式，要通過我們所學的一般初等函數(shù)的性質來解決比較困難(小題可借用一些類似函數(shù)解決)，但抽象函數(shù)問題的解決本質上是將抽象問題具體化，所以解決抽象函數(shù)問題可以將函數(shù)中變量具體賦值，即解決抽象函數(shù)有一個萬能的方法——賦值法.下面我們分類例析用賦值法解決抽象函數(shù)問題.

一、賦值法處理抽象函數(shù)的函數(shù)值

抽象函數(shù)求值問題是要解決具體函數(shù)值問題，因此抽象函數(shù)求值問題的關鍵在于賦值，即賦要求解自變量，代入求出相應函數(shù)值即可.

例1已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(0)=____.

分析本題函數(shù)沒有具體表達式，即抽象函數(shù)求值問題，要求解f(0)的值，即在f(x+y)=f(x)+f(y)這一式子中要出現(xiàn)f(0)，所以我們令x=y=0，即出現(xiàn)f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0.

例2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(3)=____，f(-3)=____.

分析根據(jù)題意，已知f(1)=2且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，要求解f(3),f(-3)的值，即要利用賦值法構造出自變量為3，-3.

因為f(1)=2,令x=y=1，所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=2+2+2=6.

又令x=2,y=1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=6+2+4=12.

現(xiàn)已求出f(3)=12，要求f(-3).注意3與-3互為相反數(shù)，所以如果令x=3,y=-3,即有f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)，因此我們還應先求出f(0).于是再令x=y=0，則有f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0，所以f(0)=0.

因此0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=12+f(-3)-18.

所以f(-3)=6.

二、賦值法處理抽象函數(shù)解析式

抽象函數(shù)求解析式是要求出f(x)，因此我們要采用賦值法得到f(x)，并利用賦值法將對應法則f作用的其余形式消去即可.

①

②

例4已知f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8，求f(x)．

分析條件中給出有關對應法則f作用于x和2-x，要求出f(x)，就要想辦法消去f(2-x)，所以利用賦值法，我們只需要將上式中所有x換為2-x，即f(2-x)+2f(x)=3(2-x)2-8(2-x)+8，然后與f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8聯(lián)立求解出f(x)=x2.

三、賦值法處理抽象函數(shù)奇偶性

奇偶性是考查f(x)和f(-x)之間的關系，所以抽象函數(shù)奇偶性問題關鍵在于采用賦值法讓題目出現(xiàn)f(x)和f(-x)，并根據(jù)表達式探究f(x)和f(-x)兩者的關系.

例5設函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，則f(x)是____(指明函數(shù)的奇偶性).

分析令x1=x,x2=-x，則出現(xiàn)f(x-x)=f(x)+f(-x)，所以f(x)+f(-x)=f(0)，所以我們還要先求出f(0)的值.于是我們又令x1=x2=0，所以f(0)+f(0)=f(0)，于是f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0，即f(x)為奇函數(shù).

例6設函數(shù)y=f(x)(x∈R且x≠0)對任意非零實數(shù)x1，x2滿足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，則函數(shù)y=f(x)是____(指明函數(shù)的奇偶性).

分析本題要出現(xiàn)f(x)和f(-x)，我們只需令x1=x,x2=-1，則出現(xiàn)f(-x)=f(x)+f(-1)，所以我們要先求出f(-1)的值，于是我們將所求f(-x)=f(x)+f(-1)中x的值賦為1，所以就有f(-1)=f(1)+f(-1)，因此我們還得求出f(1)的值.我們再在題設中令x1=x2=1，所以f(1)=f(1)+f(1)，求解出f(1)=0，再依次代入可得f(-1)=0，進而f(-x)=f(x)，即f(x)為偶函數(shù).

四、賦值法處理抽象函數(shù)單調性

函數(shù)單調性研究自變量大小與相應函數(shù)值大小的關系，即在一個單調區(qū)間內x1f(x2)，所以解決抽象函數(shù)單調性的關鍵在于通過賦值找出相應的不等關系.

例8已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，求證:f(x)為(-，+)上的減函數(shù).

分析由例5已經知道f(x)為奇函數(shù)，任取x1，x2∈R,且x1>x2，則x1-x2>0.

所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

因為當x>0時，f(x)<0，

所以由x1-x2>0,可知f(x1-x2)<0.

所以當x1>x2時，有f(x1)

分析由例7已經求出f(x)為奇函數(shù).

由x1-x2<0，且-1

又1-x1·x2>0，且1-x2>0，x1+1>0，

因為當0

所以當-10．

所以當-10.

所以f(x)在(-1，1)上為單調減函數(shù)．

五、賦值法處理抽象函數(shù)最值

抽象函數(shù)求最值問題可類比求值問題，但經常會綜合考查抽象函數(shù)的單調性、奇偶性等問題，以及化歸與轉化、類比等數(shù)學思想方法.

例10已知f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，若f(1)=-2，求f(x)在[-2，4]上的最大值和最小值．

分析由例5已經知道f(x)為奇函數(shù)，由例8得出f(x)為(-，+)上的減函數(shù).

因此f(x)在[-2，4]上最大值應該為f(-2)，最小值應該為f(4)，下面用賦值法分別求出f(-2)，f(4).

因為f(1)=-2,

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-4.

所以f(-2)=-f(2)=4.

所以f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-8.

即f(x)在[-2，4]上最大值應該為4，最小值為-8.

六、賦值法處理抽象函數(shù)不等式

抽象函數(shù)不等式問題需借助抽象函數(shù)的單調性、奇偶性、定義域等來綜合求解，利用賦值法將看似無關聯(lián)的不等式轉化為常規(guī)不等式問題求解.

分析由例7已經知道f(x)為奇函數(shù)，由例9得出f(x)為(-1,1)上的減函數(shù).

由以上例析我們可以發(fā)現(xiàn)，解決抽象函數(shù)問題的本質是將抽象問題具體化，而通過賦值法幾乎可以解決抽象問題的所有題型，因此賦值法不失為處理抽象函數(shù)問題的一個最常用方法.