聚焦高考題、研究題、命新題
——以分段函數(shù)微專題為例

黃愛芹

(江蘇省姜堰中學(xué) 225500)

高考幾乎每年都會出現(xiàn)分段函數(shù)的問題，尤其是含參數(shù)分段函數(shù)和含絕對值函數(shù)，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)定義、性質(zhì)等多角度探討，交叉知識點(diǎn)較多，命題形式多樣，備受命題者青睞.本節(jié)課是高三一輪復(fù)習(xí)完初等函數(shù)的專題課，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過追本溯源和命制題目，讓學(xué)生也來研究高考，對接高考，形成解決分段函數(shù)的一般性策略，在解題過程中總結(jié)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，提高解決問題的能力.

一、課前預(yù)習(xí)

例3 (2019年泰州一調(diào)第11題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=f(x)，當(dāng)0

解析因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),

所以f(-1)=-f(1).

因?yàn)閒(-1)=f(-1+2)=f(1)，

所以f(1)=0,即1-a+1=0,解得a=2.

我們可以看出題目分布在9-11題，題目均給出在某一段上的具體函數(shù)，這些函數(shù)涉及絕對值函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、三次函數(shù)等，綜合性較強(qiáng)，命題靈活，結(jié)合給出函數(shù)的周期性或奇偶性等性質(zhì)，通過分段處理求值，確定參數(shù)的值，從而達(dá)到解決問題的目的.

二、追本溯源

例4 (蘇教版必修1第44頁10題)已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，且x>0時f(x)=1，試求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式.

回顧課本上的這道課后習(xí)題，解題方法有圖象法和代數(shù)法，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合在分段函數(shù)題型中的應(yīng)用，以形思數(shù)，以數(shù)想形.

三、命制新題

1.更換條件

題1若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+1,且當(dāng)x∈[-2,0)時，f(x)=log2(-x+3),則f(2019)=____.

解析因?yàn)閒(2019)=f(2017+2)=f(2017)+1=f(2015)+1+1=…=f(-1)+1010，

又因?yàn)閒(-1)=log2(1+3)=log24=2，

所以f(2019)=1012.

此題很容易聯(lián)想到等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)，類比等差數(shù)列的奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)成等差，不斷遞推，一直遞推到題目給出的區(qū)間，特意將函數(shù)改成對數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生繼續(xù)體會分段函數(shù)的綜合性.除了這樣更改條件，還可以怎么改？自然而然引出類似于等比數(shù)列結(jié)構(gòu)的函數(shù)遞推關(guān)系，不妨把函數(shù)再更改為二次函數(shù)，問題也作改動，變成求不等式的解集.

除了求值和解不等式之外，分段函數(shù)還經(jīng)?？疾榱泓c(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)問題是新課標(biāo)教材新增內(nèi)容之一，也是高考的重要考點(diǎn).現(xiàn)以上述分段函數(shù)變題為例談?wù)労瘮?shù)零點(diǎn)的處理策略.

2.更換問題

題3已知f(x)是R最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為____.

解析當(dāng)0≤x<2時,由f(x)=x3-x=0，解得x=0或x=1或x=-1.因?yàn)楹瘮?shù)的周期是2，所以函數(shù)的零點(diǎn)依次為2，3，4，5，6.則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7個.

此題為2011年全國卷的一道選擇題，屬于簡單題，直接求解出函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)周期性求解其他零點(diǎn)，注意區(qū)間右端點(diǎn)6也是一個零點(diǎn).正確求解一個周期內(nèi)根的個數(shù)和理解周期性是這類題的關(guān)鍵，也可以通過畫圖找出根的個數(shù).如果此題改為“與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和”也是可以的，啟發(fā)學(xué)生自我命題，舉一反三，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.

題4 已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]時，f(x)=x2,g(x)=log5|x|,則方程f(x)-g(x)=0的實(shí)根個數(shù)為____.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=f(x-1)，

所以?x∈R,有f(x+2)=f(x)，則f(x)周期為2.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)是偶函數(shù)，所以只需求出y軸右側(cè)的交點(diǎn)個數(shù)如圖2.

故方程f(x)-g(x)=0的實(shí)根個數(shù)為8個.

此題主要是引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)思考：周期函數(shù)的表述形式有幾種；分段函數(shù)可以嵌入哪些函數(shù)；涉及幾類問題；分段函數(shù)常用處理方法；蘊(yùn)含哪些思想方法.在這樣的教學(xué)過程中，讓學(xué)生形成解決分段函數(shù)這類問題的策略.

3.更換函數(shù)

4.深度探究

如圖3所示，實(shí)根的個數(shù)為4.

方法2由|f(x)+g(x)|=1，得f(x)=±1-g(x).

分別作出f(x)與-1-g(x)圖象和f(x)與1-g(x)圖象如圖4、圖5所示.

方法3|f(x)+g(x)|=1,即g(x)=±1-f(x).

分別作出g(x)與-1-f(x)圖象和g(x)與1-f(x)圖象，如圖6所示.

方法2和3利用數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)問題，對填空題而言是首選，構(gòu)造了兩種不同的函數(shù)模型，在實(shí)際解題中可選取自己擅長或熟悉的函數(shù)模型，變形作圖.另外，上述這些方法中都應(yīng)注意x>1這一段是否有交點(diǎn)，而且圖象的精確度需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與最值，需要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣.

四、鞏固練習(xí)

由此不難看出，處理分段函數(shù)零點(diǎn)的基本原則：

1.分段函數(shù)，分段處理;

2.分段函數(shù)，畫圖處理;

3.分段函數(shù)，注意端點(diǎn).

運(yùn)用分類討論、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方法，關(guān)注:

1.求值類型，由里而外;

2.遞推函數(shù)，關(guān)系先行;

3.零點(diǎn)問題，借形探路;

4.數(shù)形結(jié)合，分類討論.

特別是具有多個分支的分段函數(shù)，應(yīng)充分考慮各個分支內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù).

作為教師我們需要吃透考點(diǎn)，研究高考考題的來源，了解知識的生長點(diǎn)，學(xué)會自主命題，多角度思考，靈活處理.相信只有與高考對接，方能贏在高考！