聯(lián)系“倍”的經(jīng)驗(yàn) 理解分?jǐn)?shù)意義

李凱

分?jǐn)?shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要地位，對學(xué)生而言，認(rèn)識分?jǐn)?shù)是對數(shù)概念的一次擴(kuò)展。由于分?jǐn)?shù)的意義較為抽象且內(nèi)涵十分豐富，所以，課程標(biāo)準(zhǔn)將分?jǐn)?shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排到兩個學(xué)段中，第一學(xué)段主要是通過操作初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，第二學(xué)段需要結(jié)合具體情境理解分?jǐn)?shù)的意義。第二學(xué)段中，學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解逐步從生活過渡到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，理解起來更為抽象。具體來說，就是需要從運(yùn)算和倍比關(guān)系的角度理解分?jǐn)?shù)的意義。

在學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”后，教師一般會安排“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。這既是對“分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系”的運(yùn)用，也是在引導(dǎo)學(xué)生從兩個量之間倍比關(guān)系的角度理解分?jǐn)?shù)的意義。因此，這個內(nèi)容既是解決問題的教學(xué)，也是對分?jǐn)?shù)意義的深化，教師要抓住關(guān)鍵，突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生更加深入地理解分?jǐn)?shù)的意義。

一、巧搭梯子，激活對“倍”的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)建立了“倍”的概念，在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的時候還接觸到了小數(shù)形式的倍數(shù)。為了讓學(xué)生更容易理解用分?jǐn)?shù)表示兩個量之間的倍比關(guān)系，教師通過數(shù)據(jù)的變化，巧搭梯子，讓學(xué)生感受到描述兩個量之間的倍比關(guān)系并不局限于倍數(shù)大于1的情況。

新課學(xué)習(xí)之前，教師先以復(fù)習(xí)的方式呈現(xiàn)一組求倍數(shù)關(guān)系的問題，激活學(xué)生對倍的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（見下表）。第（1）題是基本的倍數(shù)關(guān)系，第（2）題算得的結(jié)果是小數(shù)，第（3）題是1倍。接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“倍”的概念：表示與標(biāo)準(zhǔn)量相同的部分就是1倍。

[（1）????? 養(yǎng)鵝30只?????? 養(yǎng)鴨10只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的3倍????? 30÷10=3????????? （2）?????? 養(yǎng)鵝26只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的2.6倍??? 26÷10=2.6 （3）?????? 養(yǎng)鵝10只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的1倍???? 10÷10=1?? （4）?????? 養(yǎng)鵝7只????????? 鵝的只數(shù)是鴨的？???????? ]

這時候，教師呈現(xiàn)第（4）題：鵝的只數(shù)是7只，鴨的只數(shù)是10只，把鴨的只數(shù)看成標(biāo)準(zhǔn)量，還能用以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)描述鵝的只數(shù)與鴨的只數(shù)之間“倍”的關(guān)系嗎？有的學(xué)生認(rèn)為現(xiàn)在鵝的只數(shù)比1倍量小，因此不能用“倍”來表示;有的學(xué)生認(rèn)為可以用小數(shù)來表示，是0.7倍，因?yàn)?.6倍就是小數(shù)形式的倍數(shù);還有的學(xué)生搖擺不定，認(rèn)為雙方都有一些道理。學(xué)生順著教師提供的“梯子”進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)與原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了沖突，這就是學(xué)生學(xué)習(xí)的“生長點(diǎn)”。

二、觀察對比，溝通“倍”與分率的內(nèi)在聯(lián)系

既然用“倍”來表示鵝的只數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)量之間的關(guān)系與生活常識不一致，那么教師可以轉(zhuǎn)換一下思路，引導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)來表示。如下圖，教師通過出示四幅點(diǎn)子圖的方式，用黃色代表鵝的只數(shù)，紅色代表鴨的只數(shù)，讓學(xué)生嘗試用分?jǐn)?shù)分別來表示它們之間的倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生解決這個問題的策略有兩個：一是通過畫圖，從具體操作的角度把鴨的只數(shù)看成1倍量（單位“1”），把單位“1”平均分成10份，鵝的只數(shù)相當(dāng)于這樣的7份，因此用分?jǐn)?shù)同樣可以表示比較量與1倍量之間的關(guān)系。二是根據(jù)以往求倍數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，用同一個數(shù)學(xué)模型代入到現(xiàn)在的數(shù)據(jù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系得到分?jǐn)?shù)的結(jié)果，體會用分?jǐn)?shù)表示兩個量之間的倍比關(guān)系。

兩種解決問題的策略指向了同一個結(jié)論，因此，需要引導(dǎo)學(xué)生對比觀察上面四組示意圖、算式和結(jié)論，找到其中的共同點(diǎn)。有的學(xué)生說：“都是用鵝的只數(shù)除以鴨的只數(shù)?！庇械膶W(xué)生說：“都是把鴨的只數(shù)當(dāng)成1倍量。”還有的學(xué)生說：“得數(shù)比1大的時候都加了‘倍字?！狈?jǐn)?shù)的意義也可以表示出比較量與標(biāo)準(zhǔn)量之間的關(guān)系，借用求倍數(shù)的數(shù)學(xué)模型和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，在計(jì)算比較量與標(biāo)準(zhǔn)量之間關(guān)系的時候可以用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。只不過當(dāng)比較量大于標(biāo)準(zhǔn)量的時候，人們習(xí)慣于用“倍”來描述，如果比較量小于標(biāo)準(zhǔn)量則習(xí)慣用“分?jǐn)?shù)”來描述。由此可見，倍與分率在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是共通的，這樣分?jǐn)?shù)的意義從生活現(xiàn)實(shí)（對一個量的操作）擴(kuò)展到了數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（兩個量之間的倍比關(guān)系）。

三、類比遷移，由離散量模型到連續(xù)量模型

根據(jù)例題中的數(shù)據(jù)，學(xué)生還可以提出“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（幾倍）”的問題并解決。通過這樣的練習(xí)，學(xué)生能夠借助離散量模型鞏固已學(xué)知識。教學(xué)中還可以引入連續(xù)量模型幫助學(xué)生從不同角度加深對分?jǐn)?shù)意義的理解。

如上圖，求藍(lán)色紙條的長度是紅色紙條的幾分之幾？學(xué)生動手比一比、試一試。用藍(lán)色紙條去量紅色紙條，正好量了4次，說明藍(lán)色紙條的長度是紅色紙條的[14]。接下來，繼續(xù)思考黃色紙條的長是紅色紙條的幾分之幾。如下圖把紅色紙條按長度平均分成4份，每一份都是它的[14]，有這樣的3份就是它的[34]。

給出長度數(shù)據(jù)后，可以用除法計(jì)算“1÷4、3÷4”，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系也可以得到相同的結(jié)論，學(xué)生通過兩種不同的數(shù)據(jù)模型再次體會到分?jǐn)?shù)的意義不僅能表示一個量的幾分之幾，還可以表示兩個量之間的倍比關(guān)系。

四、適當(dāng)拓展，深化對分?jǐn)?shù)意義的理解

此時，學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解雖然已經(jīng)拓展到兩個量之間的倍比關(guān)系，但是還局限于真分?jǐn)?shù)。在學(xué)生掌握情況良好的前提下可以適當(dāng)進(jìn)行拓展練習(xí)，一方面引導(dǎo)學(xué)生突破思維定式，另一方面也為后面學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)做好鋪墊。

如上圖，這道題比較開放。第（1）問，學(xué)生既可以填[39]，又可以填[13]，只要能講出道理就行;第（2）問，根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的知識學(xué)生可能會填[93]或[31]，也有學(xué)生會根據(jù)三年級的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為這里應(yīng)該填3倍。到底該怎樣填呢？學(xué)生課后繼續(xù)思考。這也為后面學(xué)習(xí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)以及約分埋下了伏筆。

本節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)體會到可以用分?jǐn)?shù)意義表示兩個量之間的倍比關(guān)系，相比之前通過對一個量進(jìn)行平均分的“操作”所建立的分?jǐn)?shù)意義更為抽象。但學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解不能止步于此，還需要在后續(xù)的教學(xué)中用分?jǐn)?shù)意義進(jìn)一步整合“倍”的概念，并通過解決問題幫助學(xué)生形成對分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)理解。學(xué)生學(xué)習(xí)了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)以及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化以后，就可以從分?jǐn)?shù)意義的角度整合“倍”的概念，因?yàn)楸稊?shù)都可以轉(zhuǎn)化成為分?jǐn)?shù)形式，本質(zhì)上都是兩個量之間的比。學(xué)習(xí)了“比”之后，學(xué)生對此會有更直接的體會。在解決分?jǐn)?shù)乘法的有關(guān)問題時，學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系不是整數(shù)時，用分?jǐn)?shù)來表示更容易理解，因此分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)直接影響到分?jǐn)?shù)乘法及其解決問題的學(xué)習(xí)。

（作者單位：武漢小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏