高階緊致差分方法在五次非線性Schr?dinger方程中的應(yīng)用

王 普 姜珊珊 肖 聰

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

引 言

非線性Schr?dinger方程最開(kāi)始用于非均勻介質(zhì)波的研究，后廣泛用于非線性光學(xué)、等離子物理等領(lǐng)域[1-4]。對(duì)于帶五次項(xiàng)的此類(lèi)方程的顯示解以及解的性質(zhì)已有學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[5-7]?；诖?，本文考慮如下的Schr?dinger方程

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u，

(x,t)∈(a,b)×(0,1)

(1)

其初邊值為

u(x,0)=u0(x),x∈[a,b]

(2)

u(0,t)=u(1,t)=1,t∈[0,T]

(3)

式中u為未知函數(shù)，f(x,t)為給定的實(shí)函數(shù)，u0(x)為給定的復(fù)函數(shù)。容易證明此方程滿足電荷守恒，即滿足

(4)

對(duì)于此方程Zhang等[8]構(gòu)造了一個(gè)差分格式，收斂階為O(τ2+h2)，初日輝[9]將之改進(jìn)為緊致格式，收斂階為O(τ2+h4)，魏新新[10]在保持精度不變的前提下引進(jìn)分裂方法，將原方程分裂為線性子方程和非線性子方程。本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)分裂算法，使其中一個(gè)子方程有解析解，以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。

1 數(shù)值算法

1.1 符號(hào)

1.2 Strang-type分裂

使用時(shí)間分裂算法將方程(1)分為兩個(gè)子方程，使其中一個(gè)方程具有解析解，然后對(duì)另一個(gè)方程進(jìn)行差分求解，最后將兩個(gè)子方程結(jié)合進(jìn)行數(shù)值求解。

對(duì)方程(1)，將其表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中u*(x,t+τ)、u**(x,t+τ)為中間值，該分裂格式誤差為O(τ2)。

式(6)、(8)有顯式解

u(x,t)=e-i(|u(x,0)|2+|u(x,0)|4)tu(x,0)

(9)

這樣只需構(gòu)造式(7)的差分格式。Strang-type分裂方法在時(shí)間上有二階誤差，因此僅從空間方面入手，構(gòu)造空間四階格式。

1.3 空間四階格式

對(duì)式(6)應(yīng)用Crank-Nicolson格式，可以得到

(10)

(11)

將式(11)改寫(xiě)為矩陣形式有

(12)

矩陣A為

矩陣B為

將式(12)拆分組合，有

(13)

令

(14)

這樣有

Un+1=CUn

(15)

式(7)有顯式解

u(x,t)=e-i(|u(x,0)|2+|u(x,0)|4)tu(x,0)

(16)

這樣有

u(x,t+Δt)=e-i(|u(x,t)|2+|u(x,t)|4)Δtu(x,t)

(17)

綜上所述，時(shí)間分裂空間四階格式可以表示如下。

步驟1

(18)

步驟2

U**=CU*

(19)

步驟3

(20)

式(18)、(20)的Un，Un+1不再表示子方程(7)的數(shù)值解，而是原方程(1)的數(shù)值解。

1.4 格式電荷守恒

定理1格式(18)～(20)滿足電荷守恒

‖Un+1‖=‖Un‖=…=‖U0‖

(21)

由式(12)、(13)易知

‖U*‖=‖Un‖

‖Un+1‖=‖U**‖

這樣僅需證明

‖U*‖=‖U**‖

將式(13)表示為

將上式與向量U**+U*取內(nèi)積，然后取等式兩邊，有

這樣就證明了

‖Un+1‖=‖Un‖

定理1得證。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮如下算例

f(x,t)=4(x-2t)2-exp(-2(x-2t)2)-exp(-4(x-2t)2)

u0=exp(-x2+ix)

此時(shí)，方程有孤波解

u(x,t)=exp(-(x-2t)2+i(x-3t))

取Ωh×Ωτ=[-15,15]×[0,1]，τ=h2，為驗(yàn)證數(shù)值格式的收斂性，分別取h=0.5,0.25,0.125,0.062 5，則收斂階Order可以用下式求得

式中‖E(h,τ)‖∞表示t=1時(shí)，數(shù)值解在無(wú)窮范數(shù)下的誤差。

從表1和圖1可以看出格式以L∞收斂，且收斂階為O(τ2+h4)。圖2表示τ=0.25時(shí)的數(shù)值解，圖3表示τ=0.25時(shí)的精確解，容易看出兩個(gè)圖像的波形一致。圖4結(jié)果表明電荷是守恒的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)與理論相吻合。

表1 不同步長(zhǎng)的收斂階Table 1 Rates of convergence of different steps

圖1 數(shù)值格式的收斂階Fig.1 Rate of convergence of the numerical solution

圖2 時(shí)間步長(zhǎng)為0.25時(shí)的數(shù)值解Fig.2 Numerical solution of spatial step 0.25

圖3 時(shí)間步長(zhǎng)為0.25時(shí)的精確解Fig.3 Exact solution of spatial step 0.25

圖4 數(shù)值格式的電荷量隨時(shí)間變化情況Fig.4 Change in the amount of charge with time

3 結(jié)論

本文將分裂算法和緊致差分格式相結(jié)合對(duì)五次非線性Schr?dinger方程建立差分格式，格式的收斂階為O(τ2+h4)，并滿足離散的電荷守恒定律。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文理論的正確性。