發(fā)展數(shù)學(xué)思維 培養(yǎng)空間觀念

常秀萍

[摘 要]培養(yǎng)學(xué)生空間思維和空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)任務(wù)之一。以 “圓柱的表面積”教學(xué)為例，論述在數(shù)學(xué)課堂如何激活學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，強(qiáng)化學(xué)生的空間觀念。

[關(guān)鍵詞]圓柱;表面積;空間觀念

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0072-02

培養(yǎng)學(xué)生的空間思維和空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)任務(wù)之一。在教學(xué)中，教師應(yīng)合理利用各種教學(xué)手段，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，把抽象的幾何圖形與現(xiàn)實(shí)生活中的事物聯(lián)系起來(lái)，從而有效化解幾何圖像的抽象性，助力學(xué)生更快、更好地建構(gòu)空間觀念。下面以 “圓柱的表面積”教學(xué)為例，論述培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的策略。

一、把握知識(shí)聯(lián)系，激活空間觀念

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)。教師要注重把握新舊知識(shí)的聯(lián)系，在講授新知之前復(fù)習(xí)舊知，喚醒學(xué)生已有的空間觀念：一是要從學(xué)生已有的舊知中尋找切入點(diǎn)，這樣不但能溫故知新，還能激活學(xué)生已有的空間觀念;二是借助生活中的感性材料，使學(xué)生初步建立圖形表象，激活學(xué)生的空間觀念。

【教學(xué)片段1】

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了長(zhǎng)方體的表面積。請(qǐng)拿出長(zhǎng)方體學(xué)具，說(shuō)說(shuō)長(zhǎng)方體的表面積指的是什么？

生1：長(zhǎng)方體有6個(gè)面，它的表面積指的是把這6個(gè)面的面積加起來(lái)。

師：長(zhǎng)方體的6個(gè)面有什么特點(diǎn)？

生2：長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是平平的，而且都是長(zhǎng)方形。

生3：也有可能有兩個(gè)正方形。

師：拿出圓柱學(xué)具，說(shuō)說(shuō)圓柱的表面積指的是什么。

生4：圓柱的表面積指的是兩個(gè)底面的面積加上側(cè)面的面積。

師：圓柱的表面有什么特點(diǎn)？

生5：上下兩個(gè)底面都是平平的圓形，但側(cè)面不是一個(gè)平面圖形，而是一個(gè)曲面。

師：如果要制作一個(gè)圓柱形紙盒，接口處不計(jì)，至少需要多大面積的紙板呢？

生6：這就是求圓柱的表面積。

生7：它的底面是個(gè)圓形，面積很容易就能求出來(lái)，可是它的側(cè)面怎么求呢？

生8：求圓的面積時(shí)，是把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。現(xiàn)在或許也可以把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。

師：那讓我們一起來(lái)探究圓柱的表面積公式吧！

教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體表面積的相關(guān)知識(shí)，激活了學(xué)生已有的空間觀念，為進(jìn)一步探究圓柱的表面積奠定了知識(shí)基礎(chǔ);接著通過(guò)看一看、摸一摸、說(shuō)一說(shuō)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生更好地理解了圓柱的表面積的含義，初步建立起圓柱的空間表象;最后，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。在“制作圓柱”的情境中，學(xué)生利用“舊知”無(wú)法解決新的問(wèn)題，學(xué)生達(dá)到了“ 心求通而未達(dá) ，口欲言而未能”的“ 憤悱”狀態(tài) ，從而產(chǎn)生了探求新知的強(qiáng)烈欲望。

二、引導(dǎo)數(shù)學(xué)操作，發(fā)展空間觀念

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，促使學(xué)生建構(gòu)幾何概念，發(fā)展空間觀念，具體可從以下三個(gè)方面入手，一是在操作中觀察;二是在操作中思考;三是在操作中想象。

【教學(xué)片段2】

師：我們通過(guò)討論得知，圓柱的表面積等于圓柱的側(cè)面積加上底面積的2倍。

生1：圓柱的底面積很好計(jì)算，問(wèn)題是圓柱的側(cè)面是個(gè)曲面，不容易計(jì)算。

師：是不是可以嘗試把圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形呢？

生2：對(duì)，我們以前經(jīng)常用轉(zhuǎn)化的方法解決問(wèn)題。

師：請(qǐng)拿出一張長(zhǎng)方形的紙，把它卷起來(lái)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：可以卷成一個(gè)圓柱。

師：如果沿著它的側(cè)面剪開呢？

師：請(qǐng)拿出圓柱學(xué)具，以小組為單位進(jìn)行操作，看看會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)。

（學(xué)生操作，教師指導(dǎo)）

師：圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化成了什么圖形？是如何轉(zhuǎn)化的？

生4：剪開后展開，得到一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：長(zhǎng)方形與圓柱的側(cè)面有什么關(guān)系呢？

生5：它們的面積是相等的。因?yàn)橹皇切螤畎l(fā)生了變化，并沒有增大或者減小。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬就是圓柱的高。

師：那如何求出圓柱的側(cè)面積呢？

生6：圓柱的側(cè)面積=長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬=Ch=2πrh。圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2=2πrh+2πr2。（如圖1）

師：對(duì)，圓柱的側(cè)面是個(gè)曲面，我們把它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，就可以直接求出它的面積了。

生7：我們組有新的發(fā)現(xiàn)。我們不小心剪“偏”了，卻意外地發(fā)現(xiàn)，圓柱的側(cè)面變成了一個(gè)平行四邊形。（如圖2）

師：平行四邊形與圓柱的側(cè)面之間有什么關(guān)系呢？

生8：圓柱的側(cè)面積=平行四邊形面積=底×高=Ch=2πrh。圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2=2πrh+2πr2。

生9：我們剪開后得到了一個(gè)正方形（如圖3）。正方形的一條邊長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，另一條邊長(zhǎng)等于圓柱的高。因此，圓柱的側(cè)面積=正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=Ch=2πrh。圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2=2πrh+2πr2。

師：想一想，什么情況下圓柱的側(cè)面展開才是一個(gè)正方形呢？

生10：圓柱的底面周長(zhǎng)等于圓柱的高時(shí)，圓柱側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形。

師：條條大道通羅馬。無(wú)論圓柱的側(cè)面展開是長(zhǎng)方形、平行四邊形，還是正方形，都能得出圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2=2πrh+2πr2。

通過(guò)數(shù)學(xué)操作，學(xué)生逐步發(fā)展了空間觀念：一是在圖形轉(zhuǎn)化中發(fā)展空間觀念。求圓柱的表面積的關(guān)鍵點(diǎn)在于求圓柱的側(cè)面積，學(xué)生在操作中雖然將圓柱的側(cè)面分別轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形，但是殊途同歸般地得出了相同的結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生分析新圖形與原圖形之間的關(guān)系，使學(xué)生體驗(yàn)到了圖形轉(zhuǎn)化的奧妙以及“化曲為直”的魅力;二是“做”與“思”相結(jié)合。在操作的過(guò)程中，教師始終以問(wèn)題 “轉(zhuǎn)化成什么？”“如何轉(zhuǎn)化？”“新圖形與原圖形之間有什么關(guān)系？” 引領(lǐng)學(xué)生，賦予數(shù)學(xué)操作更深刻的思維意蘊(yùn)，從而在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

三、實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新，強(qiáng)化空間觀念

“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力?！卑l(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，也是學(xué)生未來(lái)發(fā)展的需求。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)質(zhì)疑、探究、操作等方式，可充分發(fā)揮想象力，創(chuàng)造性地把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，在解決問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新，強(qiáng)化空間觀念。

【教學(xué)片段3】

生1：盡管我們得出了圓柱的表面積公式，但是這樣的公式看起來(lái)并不簡(jiǎn)單，計(jì)算起來(lái)也很麻煩。

師：有更好的辦法讓計(jì)算公式變得簡(jiǎn)單嗎？

生2：可以借鑒圓形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的經(jīng)驗(yàn)，把圓柱的兩個(gè)底面也轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，合并在圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形中，從而得到一個(gè)大長(zhǎng)方形，只要求出這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積，就可以求出圓柱的表面積了。如圖4，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng)C，高就是（h+r），圓柱的表面積S=C（h+r）。

生3：把整個(gè)圓柱的表面變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)辦法真奇妙呀。

利用常規(guī)的圖形轉(zhuǎn)化得出圓柱的表面積計(jì)算公式后，不少教師就會(huì)認(rèn)為教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)完成。實(shí)際上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索，把圓的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)遷移至圓柱當(dāng)中，就會(huì)有意想不到的收獲。學(xué)生通過(guò)把圓柱的表面轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，實(shí)現(xiàn)了立體圖形與平面圖形的“無(wú)縫對(duì)接”，還進(jìn)一步強(qiáng)化了空間觀念。

培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念并非朝夕之功，而需要滴水穿石的韌勁和堅(jiān)持。在教學(xué)中，教師要深入挖掘教材資源，密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，為學(xué)生空間觀念的發(fā)展提供大量豐富感性的素材，使學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，在圖形轉(zhuǎn)化中發(fā)展空間觀念，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)思維”與“空間觀念”的“雙豐收”。

（責(zé)編 童 夏）