基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)與分析

劉思余 周學(xué)勇

摘 要：本文以初中數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念》教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中概念教學(xué)中的應(yīng)用意義。初中《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)從以下四個(gè)方面展開：教師設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)纳钋榫?，讓學(xué)生領(lǐng)悟“萬(wàn)物皆變”之道理;探究變量關(guān)系，從而引出用“解析式”法表示變量關(guān)系;設(shè)置對(duì)應(yīng)問題，再次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的“表格”“圖像”表示法;引導(dǎo)學(xué)生形成概念，自主概括歸納概念的本質(zhì)。最后，對(duì)《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行反思。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);函數(shù)的概念

一、對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理解

“概念”不能簡(jiǎn)單地從字面上理解為人們對(duì)某些事物概括或總結(jié)后的想法。在科學(xué)研究上，這種說法是不嚴(yán)謹(jǐn)。邏輯學(xué)上認(rèn)為：“概念主要是用來反映客觀對(duì)象的某些本質(zhì)屬性的一種思維形式”[1]。而“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力的集中體現(xiàn)，把握數(shù)學(xué)概念教學(xué)就是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要策略”[2]。“數(shù)學(xué)概念教學(xué)”是在教學(xué)中向?qū)W生講授數(shù)學(xué)概念的名稱、定義、屬性、本質(zhì)內(nèi)涵等相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是引領(lǐng)學(xué)生打開數(shù)學(xué)知識(shí)大門的第一步，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)、培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀品質(zhì)。

“歌德表示，不能產(chǎn)生行動(dòng)的思想是一種疾病。在教育領(lǐng)域，這樣的疾病比比皆是，知易行難。我們何曾缺少過理論和理念？缺少的是精彩的案例”[3]。因此，本文以初中《函數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理念融入概念教學(xué)中，以供一線教師借鑒和參考。

二、教學(xué)案例設(shè)計(jì)與分析——以初中《函數(shù)的概念》為例

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一。學(xué)習(xí)函數(shù)要從函數(shù)概念開始，學(xué)好函數(shù)概念是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題的前提。函數(shù)概念比較抽象，理解起來有一定的困難。如何能讓初中生熟練掌握函數(shù)概念的本質(zhì)和外延，如何在函數(shù)概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是每一位初中數(shù)學(xué)教師要思考的問題。下面以初中數(shù)學(xué)中《函數(shù)的概念》的教學(xué)為例，談一談基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)與分析。

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)生活情境、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象

生活情境：大氣溫度隨時(shí)間變化而變化;液體的沸點(diǎn)隨著大氣壓的變化而變化;行星在宇宙中的位置隨著時(shí)間的變化而變化;人類的記憶保存量隨時(shí)間變化而變化;等等。這就是所謂的“萬(wàn)物皆變”的道理。

設(shè)計(jì)意圖：為接下來給出量、變量、函數(shù)等定義的形成做好鋪墊，我們創(chuàng)設(shè)“萬(wàn)物皆變”這一生活情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的現(xiàn)象和數(shù)學(xué)中的變量有著密切的關(guān)系。

活動(dòng)二：探究變量關(guān)系、引出“關(guān)系式”法

問題1：請(qǐng)說出下列問題①—⑤中所涉及的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并說一說同一問題中的兩個(gè)變量之間是如何變化的？

①一列“復(fù)興號(hào)”在京滬高鐵上以350千米/小時(shí)的速度勻速行駛著，規(guī)定高鐵的行駛路程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí);②某市的自來水價(jià)為6元/噸。小明家1月份用水量為x噸，應(yīng)交水費(fèi)為m元;③電影《唐人街探案3》正在萬(wàn)達(dá)電影院上映，售價(jià)為35元/張，假設(shè)售出x張電影票，則票房收入為y;④把石頭投進(jìn)平靜的池塘?xí)て鹈利惖臐i漪，圓形的水波向外擴(kuò)散，這中間蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，將圓的面積設(shè)為S，半徑設(shè)為r;⑤樂樂想用32米長(zhǎng)的柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的菜園，如圖1所示，假設(shè)菜園的長(zhǎng)為x，寬為y。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過實(shí)際問題情境了解到現(xiàn)實(shí)生活中處處存在著變量，使學(xué)生準(zhǔn)確地找出實(shí)際問題中的變量。隨后，讓學(xué)生給出兩個(gè)變量之間的關(guān)系。這些教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生熟悉變量的符號(hào)表示，初步體驗(yàn)問題情境中兩個(gè)變量之間是彼此相關(guān)的特征。教師通過問題①來引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣，為學(xué)生獨(dú)自解決問題②—⑤做出示范。

問題2：在問題①中，變量s（路程）是如何隨著變量t（時(shí)間）的變化而相應(yīng)變化的？能不能用s與t的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)呢？

問題3：請(qǐng)參照問題2的解答，分析問題②—⑤中的變量分別是什么？在同一個(gè)問題中，變量之間的關(guān)系又是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題①中變量及變量間的關(guān)系的深入分析與討論，引導(dǎo)學(xué)生自主思考問題②、③、④、⑤中的變量關(guān)系。在學(xué)生自主解決問題①的基礎(chǔ)上，逐步提升學(xué)生對(duì)變量及其關(guān)系的認(rèn)知，進(jìn)而更加熟練地分析之后的問題。以上問題的討論注重培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)的運(yùn)用，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察生活、會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)生活現(xiàn)象。經(jīng)過學(xué)生對(duì)問題②、③、④、⑤的自主分析及小組討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量之間的相互關(guān)系的共同特征，得出一般情況下的變量之間的關(guān)系。

問題4：同學(xué)們，請(qǐng)問在問題①、②、③、④、⑤中，變量之間的關(guān)系具有什么樣的共同特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生知道問題①—⑤均可通過“數(shù)學(xué)關(guān)系式”來表示變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，鍛煉學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題的共同特征及準(zhǔn)確歸納的能力。使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)變量間關(guān)系的能力得到培養(yǎng)，為建立函數(shù)解析式創(chuàng)設(shè)條件。

活動(dòng)三、設(shè)置對(duì)應(yīng)問題、運(yùn)用“表格”“圖像”法

問題5：旅游業(yè)將春暖花開。預(yù)計(jì)2021年國(guó)慶期間我國(guó)的旅游人數(shù)將創(chuàng)歷史新高。下表為2021年10月1日至8日期間預(yù)計(jì)參觀故宮的旅客量情況，設(shè)日期為變量x，當(dāng)天的游客量為y，那么表中的x（日期）和y（游客量）之間有什么關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量間關(guān)系除了可以“用式子表示變量之間關(guān)系”的建立，還能借助“用表格表示變量之間關(guān)系”來表達(dá)。一旦確定其中一個(gè)變量（日期）的值時(shí)，通過查表就可以唯一確定與之對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量（游客量）的值，讓學(xué)生進(jìn)一步明晰函數(shù)的本質(zhì)特性，擺脫“用式子表示變量之間關(guān)系”這一束縛，使學(xué)生掌握函數(shù)表示的第二種表示方法——表格式。

問題6：上海市某天9時(shí)—24時(shí)的降雨量的變化情況如圖2所示，你能說出10點(diǎn)、16點(diǎn)、19點(diǎn)、23點(diǎn)的降雨量嗎？

設(shè)計(jì)意圖：構(gòu)建圖像表示變量之間的關(guān)系例子，突出函數(shù)概念的本質(zhì)。讓學(xué)生掌握確定變量之間的關(guān)系的方法除了可以“用式子表示變量之間關(guān)系”和“用表格表示變量之間關(guān)系”外，還可以用圖像來表示，使學(xué)生更加深入理解函數(shù)的概念本質(zhì)屬性。

活動(dòng)四、引導(dǎo)生成概念、概括歸納本質(zhì)

問題7：通過分析上述實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，當(dāng)其中一個(gè)變量確定時(shí)，確定另外一個(gè)變量有幾種方式？你們能歸納出什么共同特點(diǎn)嗎？

師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生分小組討論，小組歸納總結(jié)出如下結(jié)論：對(duì)于以上所有的問題情境中的變化過程，均有兩個(gè)變量，并且當(dāng)取定其中一個(gè)變量值時(shí)，都有唯一的確定值，即另一個(gè)變量和它對(duì)應(yīng)。這兩個(gè)變量間的關(guān)系可以用數(shù)學(xué)解析式法、表格法、圖像法等表示。有了上面的鋪墊之后，教師引導(dǎo)學(xué)生自己概括出函數(shù)的概念：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

三、《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)反思

由于函數(shù)的具有較強(qiáng)的抽象性，對(duì)于一些抽象能力較弱的初中生容易出現(xiàn)函數(shù)概念理解不透徹的問題。為了更好地落實(shí)核心素養(yǎng)下的函數(shù)概念的教學(xué)，對(duì)《函數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)反思如下：

（1）教師只有對(duì)概念教學(xué)充分關(guān)注，在把函數(shù)概念講清楚、講準(zhǔn)確的同時(shí)，讓學(xué)生深刻理解函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，才能從根本上提高學(xué)生分析和解決問題的能力，進(jìn)而提升思維品質(zhì)。

（2）教師在課堂教學(xué)中要加強(qiáng)引導(dǎo)，采用多元化教學(xué)方式，增強(qiáng)課堂上師生的互動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，從而讓學(xué)生更深層次地了解函數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)抽象實(shí)像的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生更快地掌握函數(shù)知識(shí)，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。

（3）初中數(shù)學(xué)是采用“變量說”得到函數(shù)的概念，相對(duì)高中數(shù)學(xué)采用“對(duì)應(yīng)說”給函數(shù)下定義來說較易理解。這為學(xué)生在高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)。圍繞培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來設(shè)計(jì)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)使教學(xué)設(shè)計(jì)始終以突出函數(shù)本質(zhì)為目標(biāo)。同時(shí)，通過函數(shù)的概念的教學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)情感、學(xué)習(xí)習(xí)慣和個(gè)人品質(zhì)的形成都有深遠(yuǎn)的影響。這些也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不可忽視的重要內(nèi)容。

（4）教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用“問題驅(qū)動(dòng)式”推動(dòng)教學(xué)進(jìn)行[4]，用銜接緊密的問題串誘導(dǎo)學(xué)生思考、推動(dòng)課堂，使學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生沖突、新知的探索欲望得到激發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生形成概念以及對(duì)概念的同化。為了符合初中生的認(rèn)知發(fā)展，在教學(xué)設(shè)計(jì)中要保證教學(xué)情境與教學(xué)內(nèi)容、各個(gè)教學(xué)內(nèi)容之間的融洽連接。這對(duì)學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的遷移起至關(guān)重要的作用。

（5）始終秉持“以學(xué)生為中心”的原則設(shè)計(jì)教學(xué)[5]。為了多角度鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流、闡明自己的觀點(diǎn)，課堂上教師要給學(xué)生留足時(shí)間去思考，積極引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問題進(jìn)行歸納與概括。同時(shí)，在教學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用小組合作、探究的學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

參考文獻(xiàn)：

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