具有Allee 效應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散模型定性分析

李海俠

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寶雞 721013)

1 引言

1931 年Allee 在研究過程中發(fā)現(xiàn)群居的生活狀態(tài)有利于種群的增長，但是密度太大又會抑制種群的生長甚至?xí)驗橘Y源爭奪而走向滅絕.對于每一個種群來說，必定存在著它獨立的最適合自身生長繁殖的最佳密度，這就是Allee 效應(yīng).已有大量的理論和實驗證明，Allee 效應(yīng)與種群的滅絕密切相關(guān)，在很大程度上能增加低密度種群的滅絕風(fēng)險，尤其對小種群、分散種群、稀有種群以及瀕臨滅絕種群的動力學(xué)行為具有非常大的影響.因此，研究具有Allee 效應(yīng)的生物模型對生物保護(hù)具有很重要的意義，近年來受到了生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家的很大關(guān)注[1-10].

本文在齊次Dirichlet 邊界條件下考慮如下具有B-D 反應(yīng)函數(shù)和Allee 效應(yīng)捕食-食餌擴(kuò)散模型

為了得到重要的結(jié)論，這節(jié)最后我們給出一些預(yù)備知識.

-Δψ+q(x)ψ =λψ, x ∈Ω, ψ =0, x ∈?Ω,

則λ1(q)連續(xù)依賴q，λ1(q)是簡單的.而且，如果q1≤q2, q1/≡q2，則λ1(q1)＜λ1(q2).為了簡單起見，定義λ1(0)為λ1，相應(yīng)于λ1的主特征函數(shù)記為ψ1.

非線性問題

眾所周知，若a ＞λ1，則(2)存在唯一正解.我們定義唯一正解為θ(a,r).特別地，記θ(a,1)為θa，則θa＜a 且θa連續(xù)依賴a.

2 正解的存在性、不存在性和唯一性

考慮單物種問題

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可得如下引理.

引理1[6]系統(tǒng)(1)的任意正解(u,v)有先驗估計

引理2[6]如果系統(tǒng)(1)有正解，則a1＞λ1, a2＞λ1.

為了計算不動點指數(shù)，引入以下記號

取q 充分大，使得q ＞max{m/k1+p1/d,a2(a1+k2)/k2}.定義算子A:E →E 為

證明 根據(jù)已知條件和定理1 可知系統(tǒng)(1)存在正解.采用反證法證明唯一性.假設(shè)系統(tǒng)(1)存在兩個不同的正解(u1,v1)和(u2,v2)，其中ui＞0, vi＞0(i = 1,2).由比較原理和引理1 可知u*≤ui≤u*, v*≤vi≤v*，這里u*, v*分別為如下問題的唯一正解

令Φ=u1-u2, Ψ=v1-v2，則

因為(u1,v1)是系統(tǒng)(1)的正解，所以根據(jù)特征值的變分原理可知

于是，公式(4)表明

同理，由(5)式有

令

最后，令

經(jīng)過計算并結(jié)合已知條件可得

故Γ ＞0.而式(6)和(7)可知Γ ≤0，矛盾.因此結(jié)論成立.

3 正解的確切重數(shù)和穩(wěn)定性

本小節(jié)應(yīng)用擾動理論和不動點指數(shù)理論討論參數(shù)c →∞時，系統(tǒng)(1)正解的確切重數(shù)和穩(wěn)定性.易看出當(dāng)c →∞時，系統(tǒng)(1)的正解有兩種類型，即如果(u,v)是系統(tǒng)(1)的任意正解，則對于充分大的c，(u,v)趨于如下問題的正解

或者(cu,v)趨于如下問題的正解

則系統(tǒng)(1)至少存在兩個正解.

如果a2＞λ1，則問題(9)等價于如下問題

對于問題(10)，用類似文獻(xiàn)[11]的證明方法有如下引理.

時，(10)的正解(若存在)唯一且非退化.

且(u,v)是(1)的正解，則：

這里w 是(10)的正解，v**為如下問題的正解

而且，若(a)情形出現(xiàn)，則正解(u,v)非退化且線性穩(wěn)定.

證明 采用反證法證明.假設(shè)存在

(i) 若ci‖ui‖∞→∞，則當(dāng)i →∞時，ui→u*.因此vi→0 或vi→v**.而a2＞λ1，所以必有vi→v**，即(ui,vi)→(u*,v**).這與假設(shè)(ui,vi)遠(yuǎn)離(u*,v**)矛盾；

(ii) 若ci‖ui‖∞一致有界，則當(dāng)i →∞時，ui→0.于是vi→v*.設(shè)ciui= wi，則wi滿足

則系統(tǒng)(1)恰好有兩個正解，一個漸近穩(wěn)定而另一個不穩(wěn)定，這里?0在引理5 中給出.

證明 根據(jù)引理7 分兩步證明.首先證明當(dāng)c 充分大時，(1)接近(u*,v**)的正解唯一且漸近穩(wěn)定.引理7 可知系統(tǒng)(1)接近(u*,v**)的任意正解非退化且漸近穩(wěn)定.故只需證明接近(u*,v**)的正解(u,v)唯一.取δ′＞δ 充分小，這里δ 在引理7 中給出.設(shè)

由此證明了系統(tǒng)(1)接近(u*,v**)的正解(u,v)唯一.

接下來證明(1)存在唯一且不穩(wěn)定的類型(b)的正解.首先證明唯一性.

其中

因為a1(μ,s)連續(xù)，所以存在σ1∈(0,σ]，使得

于是若

則對于任意μ ∈[0,σ1], a1(μ,σ) ≤a1.這樣我們得到對于任意的μ ∈[0,σ1], Υμ一致覆蓋a1-區(qū)域

則(1)恰好有唯一(b)類型的正解.

最后，我們證明(b)類型的正解不穩(wěn)定.令L1是(1)在(u,v)處帶有特征值η1和特征函數(shù)(ξ1,ζ1)的線性化算子.令L2是(12)在(cu,v)處帶有特征值η2和特征函數(shù)(ξ2,ζ2)的線性化算子.易證ξ1=ξ2, ζ1=cζ2, η1=η2.于是證明(12)于(cu,v)處的線性化算子在分歧曲線Υμ的任意點處有負(fù)的特征值γ 即可.通過文獻(xiàn)[14]可得存在ν ＞0 和C1函數(shù)

則

基于上面引理，這節(jié)最后給出c 充分大時確定(1)正解確切個數(shù)的重要結(jié)果.

則系統(tǒng)(1)恰好有兩個正解，一個漸近穩(wěn)定另一個不穩(wěn)定.其中

證明 令

引理8 可知只需證明當(dāng)a1∈E 時，(1)恰好有一個漸近穩(wěn)定的正解和另一個不穩(wěn)定的正解即可.引理7 表明如果c 充分大且

則(1)存在兩類形式的正解.采用類似引理8 的證明過程易證得，若a1∈E，則(1)存在唯一接近(u*,v**)類型(a)的漸近穩(wěn)定的正解.

接下來，證明(1)具有類型(b)的正解不穩(wěn)定.定義算子B 和B0分別如下

考慮如下特征值問題

4 討論與結(jié)論

且捕食者對食餌的處理時間c 的影響充分大時食餌和捕食者不但能夠共存，而且系統(tǒng)恰好存在兩個正解.從生物意義上來講，研究結(jié)果表明當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時系統(tǒng)出現(xiàn)了生物上所謂的多態(tài)性，而且食餌和捕食者將會以穩(wěn)定均衡的形式共存.這說明保持適合種群自身生長繁殖的最佳密度、控制種群適當(dāng)?shù)脑鲩L率以及合理地開發(fā)和利用生物資源對生物種群保護(hù)和維持生態(tài)平衡具有非常重要的意義.Allee 效應(yīng)增加了系統(tǒng)動力學(xué)行為的復(fù)雜性，本文得到的主要結(jié)論既補(bǔ)充和完善了以往相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果，又豐富了齊次Dirichlet 邊界條件下具有Allee 效應(yīng)的生物擴(kuò)散模型的研究內(nèi)容.