一種測定并置站垂線偏差的小網(wǎng)參數(shù)轉(zhuǎn)換法?

馬小輝 張志斌 孫中苗 米立功 雷 鳴 張阿麗王廣利 王 宏 谷守周0

(1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院鄭州450001)(2 西安測繪研究所西安710054)(3 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710054)(4 中國科學(xué)院上海天文臺上海200030)(5 中國科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院北京100049)(6 黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院都勻558000)(7 西安航光儀器廠西安710119)(8 中國科學(xué)院新疆天文臺烏魯木齊830011)(9 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所北京100094)(10 中國測繪科學(xué)研究院北京100039)

1 引言

垂線偏差(Deflection of the Vertical, DOV)定義為地面一點(diǎn)上的重力矢量和相應(yīng)橢球面上的法線矢量之間的夾角. DOV是連接天文、大地以及重力3大基準(zhǔn)之間的重要參數(shù), 在不同重力基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換方面也不可忽視[1]. 其具體應(yīng)用[2]包括: 天文與大地成果(坐標(biāo)、方位角)間的轉(zhuǎn)換、觀測水平角垂直角到橢球的歸算、大地網(wǎng)平差、大地水準(zhǔn)面檢核、不同高程系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換等. 更為可貴的是DOV在航天[3–5]以及地球物理研究, 包括地下物質(zhì)遷移、地震信號分析等[6–12]方面也具有重要意義. 國際天文聯(lián)合會[13]與國際大地測量協(xié)會[14]等組織均十分重視對DOV的研究.

DOV的測定方法包括傳統(tǒng)天文大地測量法、全球衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)水準(zhǔn)法、重力測量法和地球重力場模型法. 天文大地測量法觀測設(shè)備近年已由天頂筒升級為數(shù)字天頂儀[15–16], 其內(nèi)符合觀測精度～0.2′′, 軸線絕對定位精度為1′′–2′′. GNSS水準(zhǔn)法[17]在采用相對精度為厘米級的大地水準(zhǔn)面的情況下, 可獲得～0.7′′計(jì)算精度的DOV[18], 適用于面積不大且地形呈線性變化的地區(qū). 采用重力測量法[19]和地球重力場模型法[20], 例如我國2000中國重力場與似大地水準(zhǔn)面模型(CGGM2000), 確定任一點(diǎn)DOV的精度可達(dá)1.5′′.

甚長基線干涉測量(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)天線[21–22]需在建站初期開展本地測量來測定其參考點(diǎn)坐標(biāo)初值, 在測站運(yùn)行后, 會對多技術(shù)并置站(如VLBI和GNSS并置)不定期開展本地連接測量. VLBI全球觀測系統(tǒng)(VLBI Global Observing System, VGOS)對本地連接測量頻次的要求是2.5 yr一次, 以此來測定VLBI天線參考點(diǎn)與其他空間大地測量設(shè)備參考點(diǎn)之間的連接矢量, 從而對多技術(shù)地球參考架提供約束. 本地連接測量的基本流程包括: 本地控制網(wǎng)布設(shè)、與天線隨動的靶標(biāo)散點(diǎn)坐標(biāo)觀測以及站址坐標(biāo)歸心解算. 本地控制網(wǎng)一般基于GNSS技術(shù)布設(shè), 通過開展GNSS同步環(huán)觀測, 各控制基墩坐標(biāo)可以達(dá)到亞毫米的觀測精度. 為了獲得更高精度的VLBI測站參考點(diǎn)坐標(biāo), 還會在本地控制網(wǎng)上開展高精度水準(zhǔn)測量.

中國科學(xué)院新疆天文臺南山站是國際上為數(shù)不多的多技術(shù)并置站, 在維持全球測地基準(zhǔn), 特別是中亞測地基準(zhǔn)方面有著重要貢獻(xiàn). 其本地控制網(wǎng)覆蓋范圍在方圓200 m內(nèi),因此本文針對此類小范圍控制網(wǎng)(簡稱小網(wǎng)), 考慮是否可以通過假設(shè)測站DOV值在一定程度上一致, 從而可利用GNSS、本地平面及高程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)解算出VLBI測站的DOV值. 另一方面, 位于中亞的天山是目前全球最為年輕和活躍的山脈, 南山站地處天山北麓, DOV子午分量值應(yīng)要遠(yuǎn)大于一般平原地區(qū)DOV值, 這使得南山站成為檢驗(yàn)本文提出的DOV測定新方法的理想試驗(yàn)場.

本文推導(dǎo)了采用傳統(tǒng)GNSS方法測定DOV的形式誤差的評估模型, 給出了利用小網(wǎng)求取DOV的新方法, 并利用DOV實(shí)測數(shù)據(jù)評估了該方法的有效性, 就其細(xì)節(jié)展開了分析與討論.

2 原理

2.1 利用GNSS測定垂線偏差

利用GNSS測定DOV的經(jīng)典方法可參考文獻(xiàn)[23–24]. 當(dāng)任一基線兩端距離較近且DOV變化可視為線性變化時, 基線中點(diǎn)位置處的平均垂線偏差δ在基線方向上的分量為:

其中,hv和hn分別為基線兩端的正高之差和大地高之差,D為基線長度. 則有:

式中ξ和η分別為DOV的北向和東向分量,A為基線方位角. 如圖1所示,PA、PB和PC分別為3個GNSS控制點(diǎn),A1和A2分別為基線PAPB和PAPC的方位角. 當(dāng)兩條GNSS基線的位置相互靠近時, 有:

式中,δ1和δ2分別為基線中點(diǎn)位置處的平均垂線偏差值在各自基線方向上的分量. 解方程組可得:

圖1 利用GNSS測定垂線偏差Fig.1 Determining DOV using GNSS

不難看出, 上述方程成立的前提是基線兩端的DOV呈線性變化, 且兩條基線中點(diǎn)處的DOV值相同, 這決定了該方法適用于小網(wǎng).

(4)式的誤差傳遞公式推導(dǎo)過程如下, 首先求取δ的全微分形式:

右邊第3項(xiàng)為小項(xiàng), 忽略該項(xiàng)后, 可得δ的方差為:

其中x、y分別為GNSS基線的地平西東分量和南北分量, 對應(yīng)的方差分別為和

將上式兩端取對數(shù)后作全微分, 可得:

其中, ?x和?y分別是地平坐標(biāo)系中東方向和北方向上的增量. 依據(jù)誤差傳播定律, 可得方位角A的方差為:

為推得(4)式的誤差, 首先對其進(jìn)行線性化得:

其中, ?δ1和?δ2分別為第1和第2條基線上的平均DOV值增量; ?A1和?A2分別為第1和第2條基線方位角上的增量.

最后利用經(jīng)典GNSS方法求取DOV分量ξ和η的方差分別表示為:

(11)式中的mδ1、mδ2、mA1和mA2可由(6)式和(9)式算出.

2.2 小網(wǎng)轉(zhuǎn)換法測定垂線偏差

本節(jié)所用旋轉(zhuǎn)矩陣共有兩種, 第1種用以描述質(zhì)點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn),用R1/2/3表示, 下標(biāo)分別表示繞第1、2、3軸的旋轉(zhuǎn); 第2種用以描述新坐標(biāo)系相對舊坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn), 用R1/2/3表示, 下標(biāo)意義同上. 在笛卡爾坐標(biāo)系中, 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的實(shí)質(zhì)是軸系相對某一角度旋轉(zhuǎn), 角度正方向符合右手準(zhǔn)則, 反之為負(fù).

假設(shè)小網(wǎng)范圍內(nèi)的垂線偏差數(shù)值在一定精度范圍內(nèi)相同, 如本文研究對象南山VLBI并置站本地控制網(wǎng)中最長基線為164 m, 在控制網(wǎng)區(qū)域范圍內(nèi), 可以認(rèn)為垂線偏差值相等. 通過開展本地GNSS控制網(wǎng)的同步環(huán)觀測以及自由網(wǎng)平差, 可以確定小網(wǎng)各基墩在地心系(如國際地球參考框架)中的坐標(biāo). 固定其中一個基墩坐標(biāo), 求取測網(wǎng)中其他基墩相對該固定基墩的坐標(biāo)差, 得到測網(wǎng)相對某一固定點(diǎn)的矢量PXY Z,X、Y、Z分別表示地心系的3個坐標(biāo)分量. 地心系原點(diǎn)在大地體的質(zhì)量中心,X軸與首子午面與赤道面的交線重合(向東為正),Z軸與地球旋轉(zhuǎn)軸重合(向北為正),Y軸與XZ平面垂直構(gòu)成右手系. 利用該固定點(diǎn)的實(shí)測大地經(jīng)度(L)和大地緯度(B), 可將這些矢量從地心系轉(zhuǎn)換到法線地平系ENUn下的矢量PENUn. 法線地平系定義為: 坐標(biāo)原點(diǎn)為測站點(diǎn),N軸為過測站的子午線切線(向北為正);Un軸重合于測站點(diǎn)上的法線(向上為正),E軸垂直于N軸和Un軸所確定的平面, 與緯線相切(東向?yàn)檎?. 具體轉(zhuǎn)換公式為:

另一方面, 由于本地局部控制網(wǎng)是基于本地水準(zhǔn)開展, 同時天線歸心測量參數(shù)解算中可以求出起始俯仰角OA, 因此可基于本地局部控制網(wǎng)原點(diǎn), 將本地局部控制網(wǎng)下的矢量Ploc轉(zhuǎn)換到垂線地平系ENUv下的矢量PENUv. 垂線地平系定義為: 坐標(biāo)原點(diǎn)為測站點(diǎn),N軸為過測站的子午線切線(向北為正);Uv軸重合于測站點(diǎn)上的垂線(向上為正),E軸垂直于N軸和Uv軸所確定的平面, 與緯線相切(東向?yàn)檎?. 具體轉(zhuǎn)換公式為:

式中OA為局部控制坐標(biāo)系第1軸到東方向間的夾角, 順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角, 故在(13)式中加了負(fù)號.OA的值可通過本地控制網(wǎng)的定向來給出, 也可以通過歸心測量來估算[25]. 下文中將采用小網(wǎng)轉(zhuǎn)換求取OA的改正量δA, 故其初值的選取并不會影響最終DOV解算結(jié)果.

至此我們得到了本地控制網(wǎng)基墩的兩組地平坐標(biāo)序列, 分別基于法線地平系和垂線地平系. 在此利用包含DOV的旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)建兩者間的聯(lián)系如下:

(14)式中的δA為OA的改正量, 用來表示兩個坐標(biāo)系間的北方向定向差; 右側(cè)矩陣是基于小角近似以及高次省略后的結(jié)果. 結(jié)合前面的公式, 可對兩組序列開展旋轉(zhuǎn)參數(shù)求解,包括法線地平系和垂線地平線間變換的3個平移參數(shù)(Tx、Ty、Tz)以及3個歐拉角(ξ、η和δA), 與(2)式中DOV的定義不同, (14)式中的ξ和η的正方向分別為南向和東向, 則參數(shù)方程的具體形式如下:

其中(x0y0z0)T和(x1y1z1)T分別為小網(wǎng)中控制點(diǎn)在法線地平系和垂線地平系中的坐標(biāo). 通過最小二乘法, 由上式便可求解出各轉(zhuǎn)換參數(shù). 需要注意的是, 上式同樣可以加入尺度因子項(xiàng)構(gòu)成常用的7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換, 但由于本例中的控制網(wǎng)尺度較小, 基線測量誤差和基線長度比值較大, 所解算的尺度因子在百萬分之一的量級, 并不能反映真實(shí)尺度(十億分之一量級)變化, 且會降低誤差方程的解算自由度, 因此本文采用了6參數(shù)轉(zhuǎn)換方法求取DOV.

3 試驗(yàn)與結(jié)果

3.1 試驗(yàn)過程

2011年7 月, 對烏魯木齊南山站25-m VLBI天線開展了本地連接測量, 求取VLBI天線參考點(diǎn)與GNSS基準(zhǔn)站站點(diǎn)GUAO (GPS Station of the Urumqi Astronomical Observatory)間的本地連接矢量. 控制網(wǎng)的GNSS坐標(biāo)由超過1周的同步環(huán)觀測數(shù)據(jù)解算得到, 本地控制網(wǎng)由圖2中P1–P5及GUAO組成, P1–P5為2011年開展本地連接測量中布設(shè)的5個控制點(diǎn). 利用GNSS和本地三角高程方法測量得到控制網(wǎng)基墩的精度信息, 分別如表1和表2所示, 表1和表2中mX、mY、mZ和mx1、my1、mz1分別為各坐標(biāo)分量的誤差.控制網(wǎng)中測定精度最高的3個點(diǎn)為P1、P2和P4點(diǎn), P3點(diǎn)次之, P5點(diǎn)相對最差. 本地控制網(wǎng)觀測、歸心測量過程及參數(shù)解算細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[26–28].

圖2 南山并置站本地連接控制網(wǎng)(▲)與垂線偏差觀測點(diǎn)(△)Fig.2 Local control network (▲) and DOV surveying points (△) in NANSHAN co-located station

2020年5 月, 組織專業(yè)測量人員采用AT330型數(shù)字天頂攝影定位系統(tǒng)(天頂筒), 對南山站開展了DOV測量. 依據(jù)GJB 149 A-2013《軍用天文測量規(guī)范》關(guān)于不同等級天文測量的精度要求, 采用數(shù)字天頂攝影定位系統(tǒng)對南山站開展了天文定位. 由于觀測期間烏魯木齊南山站氣象條件與地面硬化范圍有限, 共選取了5個DOV觀測點(diǎn), 觀測點(diǎn)位置如圖2中D1–D5所示, 具體測定結(jié)果見表3. 結(jié)合夜間氣象條件, 對儀器校正以及作業(yè)模式做了靈活配置, 對D1點(diǎn), 開展了“1+4”觀測, 其中“1”表示先開展1次傾角儀狀態(tài)參數(shù)測量,“4”表示開展4次測站天頂恒星影像拍攝及儀器傾斜信息采集, 從而實(shí)現(xiàn)4次測站站點(diǎn)定位; 其中D3點(diǎn), 因觀測時段限制, 作了“1+1”觀測; 其余的觀測點(diǎn)均為“1+3”的觀測模式. 天頂筒的實(shí)測結(jié)果用來對本文方法所得結(jié)果作驗(yàn)證.

表1 GNSS所測控制網(wǎng)地心坐標(biāo)以及誤差(單位: m)Table 1 The geocentric coordinates of the control network surveyed by GNSS and their errors (unit: m)

表2 利用本地三角高程和精密水準(zhǔn)所測控制網(wǎng)中點(diǎn)位坐標(biāo)及誤差(單位: m)Table 2 The coordinates and their errors in local control network surveyed using local trigonometric leveling and precise leveling (unit: m)

表3 5個點(diǎn)位DOV天頂筒實(shí)測值Table 3 The DOV values of the 5 points surveyed using photographic zenith tube

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

如上所述, 本地控制網(wǎng)測量與DOV測量分別開展于2011年和2020年. 對于一般活躍震區(qū)而言, 例如京滇地區(qū)重復(fù)測量結(jié)果表明, 垂線偏差每年有0.001′′–0.004′′的偏移[29],具體因地而異. 考慮到南山站DOV值的10 yr變化量不超過0.04′′, 則該變化仍在D1點(diǎn)的DOV實(shí)測精度范圍內(nèi).

利用經(jīng)典GNSS方法所測定的DOV分量值如圖3所示. 圖中橫線為本地GNSS控制網(wǎng)內(nèi)部D1點(diǎn)的DOV分量實(shí)測值, 誤差棒表示各網(wǎng)形解算DOV分量值的1σ形式誤差,ξ和η定義的正方向分別為北向和東向. 因P2點(diǎn)最為接近VLBI天線, 因此本文所選小網(wǎng)均包含P2點(diǎn). 結(jié)果表明, 對于3站網(wǎng)形所給出的DOV,僅有P1、P2、P4(圖中為P1P2P4,其余組合表達(dá)方式類同)所組成網(wǎng)形的解算結(jié)果與實(shí)測值符合, P2P3P4與實(shí)測值接近,但其精度較差. 其余網(wǎng)形所測DOV在不同分量的數(shù)值和方向上均與真值有出入.

圖3 GNSS方法所測3站網(wǎng)形的DOV (左列)及其偏差(右列)Fig.3 The DOV (left column) and its bias (right column) of the 3-point networks surveyed by GNSS

圖4為利用小網(wǎng)參數(shù)轉(zhuǎn)換方法所測DOV結(jié)果, 圖中橫線為D1點(diǎn)的DOV分量實(shí)測值,誤差棒與各參數(shù)的定義同圖3. 與經(jīng)典GNSS的DOV測定方法相比較, 結(jié)論如下:

(1)通過開展小網(wǎng)轉(zhuǎn)換的方法可以解算得到DOV各分量值, 該方法物理意義明確, 步驟簡單;

(2)不同小網(wǎng)所解算的DOV分量結(jié)果均有差異, 個別網(wǎng)形不符合度達(dá)到100′′–200′′,已遠(yuǎn)大于小網(wǎng)間本身的DOV差異;

(3)兩個可信的解算網(wǎng)形為P1P2P4和P1P2P3P4. 與P5有關(guān)的網(wǎng)形所解算結(jié)果與實(shí)測值的吻合度最差, 與P3有關(guān)的網(wǎng)形所解算DOV結(jié)果精度稍優(yōu)于與P5有關(guān)的網(wǎng)形所解結(jié)果;

圖4 采用小網(wǎng)轉(zhuǎn)換法所測定的DOV (左列)及其偏差(右列)Fig.4 The DOV (left column) and its bias (right column) by the small scale control network parameters transformation method

(4)網(wǎng)形P1P2P4所解算的DOV精度最高, 分量值分別為30.5′′±4.3′′和?11.1′′±4.7′′,與DOV實(shí)測分量值符合度分別為?2.3′′和0.2′′, 均在各自1σ形式精度內(nèi);

(5)盡管在平差過程中做了加權(quán)考慮, 但網(wǎng)形P1P2P4所解得DOV精度及符合度要優(yōu)于網(wǎng)形P1P2P3P4所解結(jié)果, 即高精度的DOV測量值由最高觀測精度的測站(3站)決定;

(6)盡管大部分4站和5站組成網(wǎng)形的解算DOV與實(shí)測值符合度較差, 但在其所解DOV分量方向上的表現(xiàn)是一致的;

(7)絕大多數(shù)3站網(wǎng)形所測DOV分量均與真值不符, 這一表現(xiàn)與經(jīng)典GNSS方法所測DOV表現(xiàn)相同, 說明兩種方法是等效的. 而小網(wǎng)轉(zhuǎn)換求取DOV僅需一步轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解, 無需計(jì)算方位角和平均垂線偏差等參數(shù), 相較而言平差過程也更簡單且DOV分量精度較高, 便于開展大范圍的測網(wǎng)分區(qū)求解.

3.3 網(wǎng)形覆蓋度與解算形式誤差的關(guān)系

如圖5(上圖)所示, 對于包含3點(diǎn)的小網(wǎng),如P1P2P5、P2P3P4、P2P3P5不僅覆蓋面積小, 且網(wǎng)形為鈍角三角形, 這也是其所解DOV與實(shí)測值偏差較大的原因之一.

圖5 小網(wǎng)面積(上圖)、3點(diǎn)小網(wǎng)與其DOV形式誤差間的關(guān)系(下圖).Fig.5 The area of the small scale control networks (top panel), the relationship between 3-point network and its formal error of DOV (bottom panel).

圖5 (下)中給出了3點(diǎn)小網(wǎng)面積與其形式誤差之間的關(guān)系(圖中小圓圈表示DOV形式誤差的坐標(biāo), 用與其相連的豎線引出表示了該形式誤差對應(yīng)的網(wǎng)形). 可以看出, 網(wǎng)形覆蓋越差(包含鈍角的三角形網(wǎng)形、較小的覆蓋面積), 所得網(wǎng)點(diǎn)的精度越差. 反之, 子網(wǎng)面積越大, 網(wǎng)形越好(近似等邊三角形), 對應(yīng)解算的DOV精度及可靠性越高, 但若加入個別精度較差的點(diǎn)(P5或P3), 盡管已采用了加權(quán)方法來控制其影響, 這些點(diǎn)仍可能會導(dǎo)致解算的DOV與測定值間有較大偏差.

4 討論與結(jié)論

從表3來看, 南山站的DOV值確實(shí)大于其他地區(qū), 其他地區(qū)一般平原為幾個角秒, 山區(qū)值雖較大但也僅～20′′, 而南山站僅DOV子午分量就達(dá)到了33′′. 南山站建設(shè)工程分1、2兩期, 即分別對應(yīng)西和東兩個地塊. 如圖2所示, D1、D2、D3點(diǎn)位于1期, D4、D5點(diǎn)位于2期, D1、D2、D3點(diǎn)DOV子午和卯酉分量的一致性分別為0.224′′±0.06′′和0.039′′±0.053′′; D4、D5點(diǎn)DOV子 午 和 卯酉分量的一致性分別 為0.340′′±0.082′′和0.054′′±0.078′′. 兩個地塊之間DOV分量的最大差值為1.039′′±0.087′′和0.518′′±0.068′′. 整體來看, 對于南山站在方圓200 m和500 m范圍內(nèi), DOV分量的一致性分別為0.4′′和1′′. 因此, 從本例來看, 在1′′測定精度條件下, 可以假設(shè)方圓500 m范圍內(nèi)的DOV值一致, 可以考慮在此范圍內(nèi)布設(shè)覆蓋面積大, 網(wǎng)形結(jié)構(gòu)較好的3點(diǎn), 開展1′′精度GNSS同步環(huán)測量來確定測區(qū)內(nèi)的DOV值. 如面積再擴(kuò)大, 小網(wǎng)中DOV值的一致度將超過1′′, 這樣DOV必須分網(wǎng)解算. 這是小網(wǎng)覆蓋面積與其所測DOV代表性之間的折衷.

本文結(jié)論也表明3站組網(wǎng)對提高觀測效率有重要意義, 多站組網(wǎng)觀測并不一定能提高DOV測定精度, 這與網(wǎng)點(diǎn)測定精度以及網(wǎng)形分布密切相關(guān). 對于用來監(jiān)測并置站連接矢量的小控制網(wǎng), 特別是由多個連續(xù)觀測參考站所組成的并置站, 這些站點(diǎn)會開展GNSS控制網(wǎng)的定期或連續(xù)監(jiān)測, 結(jié)合本地高程和平面的控制測量, 使得這類測量不僅可用來確定本地連接矢量, 還可以用來實(shí)現(xiàn)零成本的DOV長期監(jiān)測, 對完善多技術(shù)并置站功能有著重要的實(shí)用價(jià)值.

致謝感謝曾安敏、李進(jìn)、黃乘利等老師對本文提供的有益指導(dǎo). 特別感謝中國科學(xué)院新疆天文臺、西安航光儀器廠在實(shí)施垂線偏差外業(yè)測量與保障中的付出.