小行星(469219) Kamo`oalewa軌道的確定與誤差分析

田偉

(上海歷元信息科技有限公司上海200241)

1 引言

太陽系內(nèi)的小天體, 包括小行星、彗星等是未來深空探測的重要目標(biāo). 通過開展小行星探測任務(wù)有助于研究小天體的物質(zhì)組成和運(yùn)動規(guī)律、尋找太陽系起源和演化等基本天文學(xué)問題的答案, 同時(shí)也有助于實(shí)現(xiàn)小天體資源的利用和開發(fā). 2019年4月19日中國國家航天局正式公布了中國小行星探測計(jì)劃(見國家航天局“小行星探測任務(wù)有效載荷和搭載項(xiàng)目機(jī)遇公告”). 該計(jì)劃將近地小行星(469219)Kamo`oalewa和主帶彗星133P/Elst-Pizarro列為探測目標(biāo). 其中, 小行星(469219)Kamo`oalewa是2016年4月27日由夏威夷Haleakala天文臺所發(fā)現(xiàn). 長時(shí)間尺度的軌道動力學(xué)研究顯示它是一顆繞日公轉(zhuǎn)周期與地球相同、且在太陽-地球會合坐標(biāo)系下圍繞地球運(yùn)動的近地小行星[1].

小行星(469219) Kamo`oalewa距離地球較近, 受地球和月球的攝動力顯著, 且自身重力場微弱, 因此探測任務(wù)需要考慮的影響和約束不同于大行星[2–4]. 小行星歷表是小行星探測任務(wù)規(guī)劃和軌道設(shè)計(jì)的重要依據(jù). 高精度的小行星歷表可以確保探測器精確進(jìn)入目標(biāo)天體的引力影響區(qū), 實(shí)施對目標(biāo)小行星伴飛、繞飛和軟著陸等高難度操作. 在應(yīng)用歷表約束時(shí), 高精度的目標(biāo)小行星歷表也將有助于減少任務(wù)實(shí)施階段探測器機(jī)動的次數(shù)和能量消耗.

小行星歷表的精度一方面取決于觀測數(shù)據(jù)類型、時(shí)間跨度和觀測精度, 另一方面取決于動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性. 本文將首先根據(jù)小行星(469219) Kamo`oalewa的軌道特性,詳細(xì)給出該小行星的軌道動力學(xué)模型, 并通過一個(gè)軌道積分實(shí)例對本文采用的動力學(xué)模型與美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet Propulsion Laboratory, JPL)的Horizons在線歷表系統(tǒng)采用的動力學(xué)模型進(jìn)行比較(見第2部分). 然后介紹現(xiàn)有的光學(xué)觀測數(shù)據(jù). 再次, 給出數(shù)據(jù)處理方法和定軌結(jié)果. 最后, 結(jié)合我國小行星探測計(jì)劃擬采用的時(shí)間窗口, 給出該小行星在[2020-01-01—2025-01-01]期間的軌道誤差, 并探討進(jìn)一步改進(jìn)該小行星歷表精度的潛在途徑.

2 動力學(xué)模型

小行星(469219) Kamo`oalewa是一顆近地小行星, 并且在未來幾個(gè)世紀(jì)內(nèi)將在太陽-地球會合坐標(biāo)系下圍繞地球運(yùn)動[1], 因此在建立軌道動力學(xué)模型時(shí), 需要充分考慮其軌道特性, 尤其是地月系統(tǒng)對其軌道的影響. 由于該小行星的幾個(gè)主要物理參數(shù)(例如,反照率和密度等)測定精度低或尚未確定1https://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=469219, 本文暫時(shí)沒有考慮太陽光壓等非保守力對其軌道的影響.

本文采用了太陽系質(zhì)心力學(xué)時(shí)(Barycentric Dynamic Time, TDB)作為積分系統(tǒng)的時(shí)間尺度. 空間坐標(biāo)系為太陽系質(zhì)心廣域參考系, 其尺度和指向分別與TDB和國際天球參考架(International Celestial Reference Frame, ICRF)一致. 天文單位(au)取值為國際天文聯(lián)合會(IAU)決議值149597870.7 km (IAU2012 resolution B2). 太陽、八大行星、月球和冥王星等主要天體的質(zhì)量和狀態(tài)向量與JPL行星/月球歷表DE430所采用的數(shù)值保持一致. 在忽略非球形引力場的前提下, 太陽、月球、八大行星、冥王星對小行星(469219) Kamo`oalewa的引力作用(考慮一階后牛頓近似下的相對論效應(yīng))由Einstein-Infeld-Hoffmann (EIH)方程給出[5]. 由此產(chǎn)生的加速度項(xiàng)可表述為:

其中, 下標(biāo)A表示小行星(469219) Kamo`oalewa,μB和μC分別是天體B和C的質(zhì)量與引力常數(shù)G的乘積,rAB=xB ?xA和rAB=|rAB|分別是天體A和B之間的相對位置矢量和相對距離,xA(或xB)和˙xA(或˙xB)分別為對應(yīng)天體A(或B)的位置和速度矢量. 相對位置矢量rAC和rBC的定義類似于rAB, 而相對距離rAC和rBC的定義類似于rAB, 以上各量均在太陽系質(zhì)心廣域參考系中給出.c=299792458 m·s?1為光子在真空中的傳播速度.

考慮到該小行星在較長時(shí)間內(nèi)繞地球運(yùn)動(距離最近時(shí)僅為0.03332 au), 因此研究其軌道動力學(xué)演化時(shí), 除了考慮主要天體(作為點(diǎn)質(zhì)量)的引力作用外, 仍需要考慮地球和月球等天體的非球形引力場對其軌道的影響. 以地球?yàn)槔? 其非球形引力場W(r,θ,λ)在地心地固參考系下可由一組Stokes系數(shù)(Clm,Slm)來表示[6]:

其中μE和RE分別是地球質(zhì)量與引力常數(shù)的乘積和平均地球半徑.Lmax為該天體非球形引力場的截?cái)嚯A數(shù). (r,θ,λ)是某場點(diǎn)P在地心地固參考系下的球坐標(biāo).是l階m次的Legendre函數(shù). 點(diǎn)質(zhì)量天體B在場點(diǎn)P處受到的非球形引力場的引力作用產(chǎn)生的加速度為(在笛卡爾直角坐標(biāo)系下):

其中上式右邊第2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)矩陣可通過球坐標(biāo)(r,θ,λ)和笛卡爾直角坐標(biāo)(X,Y,Z)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系直接計(jì)算. 與相對應(yīng), 非球形天體因受到點(diǎn)質(zhì)量天體B的反作用力而產(chǎn)生的反向加速度可表示為:

除地球的非球形引力場的影響外, 本文還考慮了月球和太陽的非球形引力場的影響(計(jì)算公式與(2)–(4)式類似). 其中地球和月球的低階引力場分別取至5階和3階, 而太陽的非球形項(xiàng)僅考慮其J2,S(=?C20,S)項(xiàng)(見表1). 表1中地球和月球引力場參數(shù)主要通過衛(wèi)星激光測距(Satellite Laser Ranging, SLR), 月球激光測距(Lunar Laser Ranging, LLR), 重力場測量計(jì)劃Gravity Recovery and Climate Experiment(GRACE)和Gravity Recovery and Interior Laboratory (GRAIL)獲得. 太陽、地球和月球的指向模型與JPL行星/月球歷表DE430采用的模型保持一致[10].

關(guān)于太陽系內(nèi)主要小行星引起的攝動效應(yīng), 本文考慮了5顆大質(zhì)量小行星(Ceres、Pallas、Vesta、Iris和Bamberga)的影響. 其中主帶小行星中質(zhì)量最大的小行星Ceres、Pallas和Vesta的影響最為顯著. 而小行星Iris和Bamberga對行星歷表的影響僅次于Ceres、Pallas和Vesta[11]. 為了保證本文的小行星攝動模型與大行星歷表中的小行星攝動模型具有較好的一致性, 文中的小行星攝動模型也考慮了小行星Iris和Bamberga的影響.

在動力學(xué)系統(tǒng)中, 這5顆小行星的軌道與目標(biāo)小行星的軌道一同積分得到. 小行星參考時(shí)刻T0(簡化儒略日57831.0,2017-03-19)的初始狀態(tài)參數(shù)來自于JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng). 數(shù)值積分系統(tǒng)同時(shí)積分計(jì)算了目標(biāo)小行星的狀態(tài)向量轉(zhuǎn)移矩陣. 為了檢驗(yàn)本文采用的動力學(xué)模型, 我們利用數(shù)值積分方法計(jì)算了[2000-01-01—2030-01-01]期間小行星(469219) Kamo`oalewa的軌道, 并與JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)提供的軌道進(jìn)行比對. 圖1給出了本文的積分軌道與JPL軌道的差別(3個(gè)坐標(biāo)分量上均小于1 km).考慮到地球與該小行星之間的平均距離約為2.5×107km, 1 km軌道差異約等價(jià)于測角差異0.008′′. 因此, 在后期處理地面光學(xué)測量(其擬合后觀測殘差的均方根誤差約為0.2′′)時(shí), 我們認(rèn)為, 針對該小行星, 本文的動力學(xué)模型與JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)的動力學(xué)模型無顯著差異.

表1 地球、月球和太陽的非球形引力場參數(shù)和取值Table 1 Parameters of non-spherical gravitational field for the Earth, Moon and Sun,and their values

3 觀測數(shù)據(jù)

本文采用的光學(xué)觀測數(shù)據(jù)來自于國際小行星中心(Minor Planet Center, MPC)官方網(wǎng)站2https://www.minorplanetcenter.net. 這些光學(xué)數(shù)據(jù)由編號為F51、568、T12等望遠(yuǎn)鏡觀測得到. 由于觀測數(shù)據(jù)稀少(尤其是該小行星尚未確定之前), 本文沒有對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除, 而是假設(shè)每次觀測為等精度觀測, 且互不相關(guān). 盡管采用的數(shù)據(jù)從2004到2018年覆蓋了多個(gè)軌道周期, 但由于觀測量稀少且集中于某幾個(gè)觀測窗口, 目前JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)基于MPC提供的光學(xué)觀測數(shù)據(jù)給出的小行星(469219) Kamo`oalewa的軌道精度約為數(shù)十公里(在某些時(shí)段可達(dá)到上百公里)3https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi.

圖1 本文軌道積分結(jié)果與JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)生成的小行星(469219) Kamo`oalewa歷表之間的差異,(x,y,z)和(vx,vy,vz)分別是該小行星在太陽系質(zhì)心參考系下的位置和速度. 起始積分時(shí)刻T0為簡化儒略日57831.0(2017-03-19).Fig.1 The difference between ephemeris of the asteroid (469219) Kamo`oalewa provided by JPL/Horizons system and that integrated from the dynamical model in this work, (x,y,z) and(vx,vy,vz) are position and velocity of the asteroid in the global reference system centred at solar system barycentre. The integration starts at the moment T0: Modified julian day 57831.0 (2017-03-19).

4 數(shù)據(jù)分析與定軌結(jié)果

光學(xué)資料的數(shù)據(jù)分析采用了經(jīng)典最小二乘原理下的批處理方法[12–13]. 在建立觀測方程時(shí)采用了太陽系質(zhì)心參考系, 即利用太陽系質(zhì)心參考系下地球和目標(biāo)小行星的坐標(biāo)計(jì)算觀測量的擬合前殘差O–C(觀測量的測量值減去理論計(jì)算值), 和計(jì)算觀測量相對于目標(biāo)天體的(在T時(shí)刻)狀態(tài)向量和其他敏感參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 并建立觀測方程. 本文的被估計(jì)參數(shù)僅包括了該小行星在參考時(shí)刻T0處的狀態(tài)參數(shù)(位置和速度).

由于MPC光學(xué)觀測數(shù)據(jù)并沒有給出每個(gè)觀測數(shù)據(jù)相應(yīng)的觀測精度, 本文基于每個(gè)光學(xué)觀測量為等精度且互不相關(guān)的假設(shè), 權(quán)矩陣選取為單位矩陣. 最后, 我們利用最小二乘原理解算出法方程. 由于觀測方程的建立和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算過程中均采用了線性化近似, 在利用最小二乘原理確定初始軌道參數(shù)時(shí)需要進(jìn)行迭代運(yùn)算. 表2給出了目標(biāo)小行星在參考時(shí)刻T0的狀態(tài)參數(shù)(迭代次數(shù)為3). 圖2給出了光學(xué)觀測在赤經(jīng)和赤緯方向上的擬合后觀測殘差分布. 在赤經(jīng)和赤緯方向上擬合后觀測殘差的均方根誤差分別為0.22′′和0.13′′. 圖中“JPL/Horizons”代表基于JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)提供的小行星歷表計(jì)算的殘差. 如圖可見, 本文的殘差分析結(jié)果與JPL/Horizons相當(dāng),在處理2004年間的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)有所改進(jìn). 這可能是由在數(shù)據(jù)分析時(shí)對測量值的權(quán)重分配引起的. 本文假設(shè)2004年間的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的觀測誤差與其他年份相等, 即具有相同的權(quán)重. 如果對2004年間的數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)處理, 相應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的偏差會增大. 目前尚未發(fā)現(xiàn)介紹JPL/Horizons解算該小行星軌道時(shí)觀測量權(quán)重的分配機(jī)制的文獻(xiàn), 為了推測JPL/Horizons解算小行星軌道時(shí)的觀測量權(quán)重的分配機(jī)制, 需要進(jìn)一步比較和分析多顆小行星軌道的解算結(jié)果.

表2 T0時(shí)刻小行星(469219) Kamo`oalewa的初始位置、速度和兩者的中誤差(3σ)Table 2 Initial position and velocity of the asteroid (469219) Kamo`oalewa at T0 and their standard deviations (3σ)

在實(shí)際應(yīng)用中, 我們可能對未來某特定時(shí)刻或時(shí)段該小天體的位置和精度更感興趣. 本文利用(線性化)協(xié)方差轉(zhuǎn)移映射法[14]將小天體狀態(tài)向量的協(xié)方差矩陣從參考時(shí)刻傳遞到其他時(shí)刻, 比如小行星探測任務(wù)執(zhí)行期間的某一時(shí)刻. 圖3給出了2020年至2025年間該小行星的軌道誤差(3σ).

需要說明的是, 本文給出的精度均為內(nèi)符合精度. 由于動力學(xué)模型誤差和觀測量的隨機(jī)模型誤差(或觀測量權(quán)重的不準(zhǔn)確性)等的影響, 內(nèi)符合精度僅能作為其真實(shí)精度的一個(gè)參考. 外推精度仍需要利用其他方法, 比如統(tǒng)計(jì)外推期間實(shí)測數(shù)據(jù)的殘差分布等,做進(jìn)一步評估.

5 總結(jié)與展望

本文以小行星(469219) Kamo`oalewa為例, 考慮其軌道特性, 建立了一套精度與JPL/Horizons在線歷表系統(tǒng)(小行星歷表部分)相當(dāng)?shù)男⌒行擒壍绖恿W(xué)模型. 在現(xiàn)有光學(xué)觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上, 對該小行星的軌道參數(shù)進(jìn)行估計(jì), 并給出了該小行星在外推區(qū)間內(nèi)[2020-01-01—2025-01-01]的軌道誤差.

進(jìn)一步提高該小行星的軌道精度有賴于更多的光學(xué)觀測和其他類型的觀測資料,比如無線電雷達(dá)測距等. 針對小行星(4179) Toutatis, 國內(nèi)外學(xué)者在利用光學(xué)和雷達(dá)數(shù)據(jù)確定其軌道時(shí)發(fā)現(xiàn), 對具有較短觀測歷史的小行星, 即使少量的雷達(dá)測距/測速數(shù)據(jù)也可以顯著改善其軌道精度[15–16]. 因此可以預(yù)期, 雷達(dá)測量的引入將會對目標(biāo)小行星(469219) Kamo`oalewa的軌道改進(jìn)起到重要作用. 我們在分析被估計(jì)參數(shù)的協(xié)方差矩陣時(shí), 發(fā)現(xiàn)狀態(tài)參數(shù)之間具有強(qiáng)相關(guān)性(見表3). 初步分析表明, 這種強(qiáng)相關(guān)性主要由兩方面因素引起, 一方面是光學(xué)觀測數(shù)據(jù)稀疏和觀測時(shí)段覆蓋不均勻, 另一方面是由于缺少互補(bǔ)的觀測數(shù)據(jù)(比如, 測距/測速數(shù)據(jù)等). 具體原因有待進(jìn)一步研究.

本文僅研究了小行星(469219) Kamo`oalewa在短時(shí)間尺度下的動力學(xué)演化. 工作的局限體現(xiàn)在建立動力學(xué)模型時(shí)忽略了太陽光壓、Yarkovsky效應(yīng)以及銀河系潮汐作用等對小行星軌道具有長期影響的因素[17], 同時(shí)也反映在軌道誤差分析時(shí), 采用了僅適用于短時(shí)間尺度的(線性化)軌道誤差傳遞映射.

表3 T0時(shí)刻小行星(469219) Kamo`oalewa的狀態(tài)向量之間的互相關(guān)系數(shù)Table 3 Correlation coefficients between initial state parameters of the asteroid(469219) Kamo`oalewa at T0

長時(shí)間尺度下小行星(469219) Kamo`oalewa的動力學(xué)演化是一個(gè)非常重要的研究方向. 我國小行星探測任務(wù)的開展將提供近距離觀測該小行星的機(jī)會. 這不但有助于我們研究其動力學(xué)機(jī)制、內(nèi)部結(jié)構(gòu)和物理特性等, 而且通過精確測定其物理參數(shù), 也將有助于研究長時(shí)間尺度下近地小行星的動力學(xué)性質(zhì)(比如, 小行星的長期演化和起源問題).

本文生成的小行星(469219) Kamo`oalewa歷表數(shù)據(jù)可通過郵箱聯(lián)系作者獲取.

致謝感謝國際小行星中心提供的在線數(shù)據(jù)下載服務(wù)和JPL/Horizons系統(tǒng)提供的在線歷表服務(wù). 感謝暨南大學(xué)彭青玉教授的討論和建議. 感謝審稿人提出的寶貴意見.