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    計(jì)算Lyapunov指數(shù)的模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法

    2021-03-27 01:22:14高允報(bào)孫玉泉
    關(guān)鍵詞:數(shù)據(jù)量維數(shù)步長(zhǎng)

    高允報(bào),孫玉泉

    (北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

    Lyapunov指數(shù)(LE)可以判斷動(dòng)力系統(tǒng)的混沌狀態(tài),在研究混沌運(yùn)動(dòng)特性中起著非常重要的作用,是衡量動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo),它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率[1].系統(tǒng)的混沌狀態(tài)可以通過LE的正負(fù)來判斷,所以研究如何計(jì)算LE就非常必要.

    近年來國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)LE的計(jì)算方法做了很多研究.嚴(yán)雯等[2]利用定義法求解了Logistic模型的最大Lyapunov指數(shù)(LLE);Wolf等[3]利用Wolf法計(jì)算出幾種混沌系統(tǒng)的LLE;Rosenstein等[4]提出小數(shù)據(jù)量法來計(jì)算LLE.然而定義法只適用于計(jì)算已知系統(tǒng)的LE;Wolf法計(jì)算LLE時(shí)過程較為復(fù)雜且結(jié)果往往不精確;小數(shù)據(jù)量法在不知系統(tǒng)方程而僅可獲得離散數(shù)據(jù)的情況下計(jì)算LLE時(shí),對(duì)于線性區(qū)域的判斷往往通過直觀觀察,導(dǎo)致結(jié)果誤差較大.本文將模糊C均值聚類算法用于小數(shù)據(jù)量法線性區(qū)域的選擇,提出了模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法,提高了計(jì)算時(shí)間序列LLE的精度,且通過適當(dāng)增加每次迭代的離散時(shí)間步長(zhǎng)加快了計(jì)算LLE的速度.

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1.1Lyapunov指數(shù):

    (1)

    經(jīng)過n次迭代后,這兩點(diǎn)的距離變?yōu)?/p>

    δxn=|fn(x0+δx0)-fn(x0)|.

    (2)

    定義LE如下[5-6]:

    (3)

    對(duì)于一般的n維動(dòng)力系統(tǒng),定義LE如下:設(shè)一個(gè)n維動(dòng)力系統(tǒng)xn+1=F(xn)(Rn→Rn),將系統(tǒng)的初始條件取為一個(gè)無窮小的n維小球,半徑取為ε(0),由于演化過程中的自然變形,小球?qū)⒆兂蓹E球,見圖1.將橢球上所有主軸按照其長(zhǎng)度排列,那么第i個(gè)LE根據(jù)第i個(gè)主軸的長(zhǎng)度εi(t)的增加速率[7-8]定義為

    (4)

    最大的λi稱為L(zhǎng)LE.系統(tǒng)的混沌狀態(tài)可以通過LLE的正負(fù)來判斷,當(dāng)LLE大于零時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當(dāng)LLE小于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定.

    圖1 3維球面隨時(shí)間的演化

    根據(jù)定義計(jì)算LE的方法稱為定義法,由于定義法計(jì)算LE時(shí)只適用于給定的系統(tǒng),不能求時(shí)間序列[7-9]的LLE,因此Rosenstein提出了小數(shù)據(jù)量法.

    定義1.2小數(shù)據(jù)量法:

    對(duì)于時(shí)間序列{x1,x2,…,xN}的LLE可以用小數(shù)據(jù)量法,對(duì)于時(shí)間序列通過計(jì)算得[10]:設(shè)嵌入維數(shù)m,時(shí)間延遲為τ,平均周期為P,則重構(gòu)相空間為

    Xi=[xi,xi+τ,…,xi+(m-1)τ],i=1,2,…,M.

    (5)

    在重構(gòu)的相空間中尋找每個(gè)參考點(diǎn)Xj的最近鄰點(diǎn)Xj′,記

    djj′(0)=min‖Xj-Xj′‖.

    (6)

    其中|j-j′|>P,P為時(shí)間序列的平均周期,可以通過基本軌道上每個(gè)點(diǎn)的平均發(fā)散速率計(jì)算.

    對(duì)于每個(gè)參考點(diǎn)Xj,計(jì)算出其與最近鄰點(diǎn)Xj′的第i個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng)后的距離djj′(i)為

    djj′(i)=min‖Xj+i-Xj′+i‖,i=1,2,…,min(M-j,M-j′).

    (7)

    假定參考點(diǎn)Xj與最近鄰點(diǎn)Xj′的指數(shù)發(fā)散率為λ1,那么

    djj′(i)=Cjeλ1(i·Δt),Cj=djj′(0),

    (8)

    上式兩邊取對(duì)數(shù)得

    lndjj′(i)=lnCj+λ1(i·Δt).

    (9)

    由(9)式可以看出lndjj′(i)與變量i滿足線性關(guān)系,其曲線斜率為λ1Δt.

    因此固定i,對(duì)所有的lndjj′(i)求平均再除以Δt,得到平均發(fā)散程度指數(shù)

    (10)

    2 模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法

    2.1 模糊C均值聚類算法

    在眾多模糊聚類算法中,模糊C-均值算法通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)所有類中心的隸屬度,從而決定樣本點(diǎn)的類屬以達(dá)到自動(dòng)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的目的.過程如下:

    (11)

    (12)

    采用迭代的方法,通常情況下取初始隸屬度矩陣為每行為隨機(jī)單位向量的矩陣,b=2,最大迭代次數(shù)為100,隸屬度最小變化量為10-6,求解(11)和(12)式,直至滿足收斂條件,得到最優(yōu)解.

    2.2 模糊C均值聚類算法選擇線性區(qū)域

    在小數(shù)據(jù)量法計(jì)算LLE時(shí)將模糊C均值聚類算法用于選取線性區(qū)域,具體過程如下:

    (1) 運(yùn)用模糊C均值聚類算法將y(i)數(shù)據(jù)分為不飽和區(qū)域(y(i)達(dá)到基本穩(wěn)定之前)和飽和區(qū)域(y(i)在一條水平直線附近做微小波動(dòng))兩類,如圖2所示.

    (2) 對(duì)于不飽和區(qū)域需要選出線性區(qū)域,用二階差分ddy(i)近似替代二階導(dǎo)數(shù),對(duì)于不飽和區(qū)域的二階差分(i,ddy(i))將其分成3類,如圖3所示.結(jié)合不飽和區(qū)域平均發(fā)散程度指數(shù)的圖像與不飽和區(qū)域的二階差分的圖像可以看出,當(dāng)i較小時(shí)離散程度較大,當(dāng)i較大時(shí)線性化程度較低.因此將不飽和區(qū)域的y(i)-i分成3類,如圖4所示,選取第2類作為最終選擇的線性區(qū)域,其斜率就是LLE.

    圖2 平均發(fā)散程度指數(shù)

    圖3 不飽和區(qū)域平均發(fā)散程度指數(shù)二階差分分類

    2.3 模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法

    對(duì)于時(shí)間序列{y1,y2,…,yN},嵌入維數(shù)my,時(shí)間延遲為τy,平均周期為Py,則重構(gòu)相空間為

    Yi=[yi,xi+τy,…,yi+(my-1)τy],i=1,2,…,My.

    (13)

    在重構(gòu)的相空間中尋找每個(gè)參考點(diǎn)Yj的最近鄰點(diǎn)Yj′,有

    Djj′(0)=min‖Yj-Yj′‖.

    (14)

    其中|j-j′|>Py,Py為時(shí)間序列的平均周期,可以通過基本軌道上每個(gè)點(diǎn)的平均發(fā)散速率計(jì)算.

    對(duì)于每個(gè)參考點(diǎn)Yj,計(jì)算出其與最近鄰點(diǎn)Yj′的第ni(n=1,2,3,…)個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng)后的距離為

    Djj′(ni)=‖Yj+ni-Yj′+ni‖,

    (15)

    假定參考點(diǎn)Yj與最近鄰點(diǎn)Yj′的指數(shù)發(fā)散率為λ,那么

    Djj′(ni)=Ajeλ(ni·Δt),Aj=Djj′(0),

    (16)

    上式兩邊取對(duì)數(shù)得

    lnDjj′(ni)=lnAj+λ(ni·Δt).

    (17)

    由(17)式可以看出lnDjj′(ni)與i滿足線性關(guān)系,其曲線斜率為nλΔt.

    因此固定i,對(duì)所有的lnDjj′(ni)求平均再除以Δt,得到平均發(fā)散程度指數(shù)

    (18)

    3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    為了驗(yàn)證模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法的有效性,以典型的Lorenz系統(tǒng)[11]為例,選兩組不同的系數(shù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).Lorenz系統(tǒng)為

    (19)

    取4個(gè)不同的初始點(diǎn)A1=[0.046 2,0.097 1,0.823 5],A2=[0.694 8,0.317 1,0.950 2],A3=[1,4,10],A4=[0.119 0,0.498 4,0.959 7],取a=16,b=4,c=45.92,此時(shí)LLE理論值為1.501 5.取積分步長(zhǎng)為0.01,演化點(diǎn)3 000個(gè),用小數(shù)據(jù)量法和模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法(重構(gòu)維數(shù)為5,時(shí)間延遲為10,平均周期為40)計(jì)算LLE所得結(jié)果與誤差率見表1,小數(shù)據(jù)量法簡(jiǎn)稱AL1,模糊C均值小數(shù)據(jù)量法簡(jiǎn)稱AL2.

    取4個(gè)不同的初始點(diǎn)A1=[0.046 2,0.097 1,0.823 5],A2=[0.694 8,0.317 1,0.950 2],A3=[1,4,10],A4=[0.119 0,0.498 4,0.959 7],取a=16,b=4,c=45.92,此時(shí)LLE理論值為1.501 5.取積分步長(zhǎng)為0.01,演化點(diǎn)5 000個(gè),用小數(shù)據(jù)量法和模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法(重構(gòu)維數(shù)為5,時(shí)間延遲為10,平均周期為40)計(jì)算LLE所得結(jié)果與誤差率見表2.

    取初始點(diǎn)A1=[0.046 2,0.097 1,0.823 5],取a=16,b=4,c=45.92,此時(shí)LLE理論值為1.501 5.取積分步長(zhǎng)為0.01,分別演化3 000個(gè)點(diǎn)與5 000個(gè)點(diǎn),用模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法(重構(gòu)維數(shù)為5,時(shí)間延遲為10,平均周期為40)每次分別演化i,2i,3i,4i(i的取值見上文)個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng),LLE計(jì)算結(jié)果與運(yùn)行時(shí)間見表3.

    取初始點(diǎn)A1=[0.046 2,0.097 1,0.823 5],取a=10,b=8/3,c=28,此時(shí)LLE理論值為0.881 0.取積分步長(zhǎng)為0.01,分別演化3 000個(gè)點(diǎn)與5 000個(gè)點(diǎn),用模糊C均值聚類小數(shù)據(jù)量法(重構(gòu)維數(shù)為5,時(shí)間延遲為25,平均周期為40)每次分別演化i,2i,3i,4i(i的取值見上文)個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng),LLE計(jì)算結(jié)果與運(yùn)行時(shí)間見表4.

    從表1與表2結(jié)果可以看出,對(duì)比于小數(shù)據(jù)量法,文中提出的模糊C均值小數(shù)據(jù)量法計(jì)算LLE可以提高計(jì)算精度;從表3與表4結(jié)果可以看出,模糊C均值小數(shù)據(jù)量法計(jì)算LLE時(shí)隨著每次迭代的離散時(shí)間步長(zhǎng)的增加,計(jì)算時(shí)間將縮短,但每次迭代的離散時(shí)間步長(zhǎng)不宜過大.實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法是有效可行的.

    表1 3 000個(gè)演化點(diǎn)時(shí)小數(shù)據(jù)量法與模糊C均值小數(shù)據(jù)量算法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

    表2 5 000個(gè)演化點(diǎn)時(shí)小數(shù)據(jù)量法與模糊C均值小數(shù)據(jù)量法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

    表3 模糊C均值小數(shù)據(jù)量法改變步長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果1(LLE理論值為1.501 5)

    表4 模糊C均值小數(shù)據(jù)量法改變步長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果2(LLE理論值為0.881 0)

    4 結(jié)論

    將模糊C均值聚類算法用于小數(shù)據(jù)量法線性區(qū)域的選擇而提出的模糊C均值小數(shù)據(jù)量法來計(jì)算LLE,通過選出小數(shù)據(jù)量法的線性區(qū)域,可以大大提高小數(shù)據(jù)量法的計(jì)算精度.實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)每次迭代的離散時(shí)間步長(zhǎng)增加時(shí),計(jì)算時(shí)間將減少.接下來可以研究離散步長(zhǎng)的選取對(duì)于實(shí)驗(yàn)精度和效率的影響,從而得到更為完善的模糊C均值小數(shù)據(jù)量法.

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