有效理解算理的路徑探討

汪東興

摘 要 算理是計(jì)算的理論依據(jù)，是計(jì)算教學(xué)中邏輯思維的運(yùn)用和體現(xiàn)。教師要幫助學(xué)生充分理解算理，必須做到情境支撐、理情相融，操作外化、理行相隨，直觀呈現(xiàn)、理形相依，表征轉(zhuǎn)化、理型相聯(lián)，練習(xí)強(qiáng)化、理用相促。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 算理理解 路徑探討

眾所周知，算理是計(jì)算的理論依據(jù)，是解決“為什么這樣算”的客觀規(guī)律，為計(jì)算提供正確的思維方式;算法是算理指導(dǎo)下的計(jì)算規(guī)則及邏輯順序，是解決“怎樣計(jì)算”的人為規(guī)定，它保證正確、快捷地計(jì)算。算法和算理是計(jì)算教學(xué)中相互依存的結(jié)合體，輕視算理指導(dǎo)、算理理解淺顯的計(jì)算教學(xué)是不完整的教學(xué)。那么，計(jì)算教學(xué)中如何指導(dǎo)和幫助學(xué)生清晰理解算理，實(shí)現(xiàn)“循理入法，以理馭法”呢？筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐作簡(jiǎn)要探討（案例所涉數(shù)學(xué)教材均為人教版）。

一、情境支撐，理情相融

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，計(jì)算教學(xué)多與解決承載現(xiàn)實(shí)情境或背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題相伴生。此類(lèi)編排，既可利用所學(xué)的數(shù)量關(guān)系列出算式，體會(huì)計(jì)算學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)需要，又可借助現(xiàn)實(shí)情境或背景，幫助學(xué)生理解并運(yùn)用四則運(yùn)算的含義，明晰算理，實(shí)現(xiàn)算理與情境的相互融合。如小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算（五年級(jí)上冊(cè)P5例3）。

例3 給一個(gè)長(zhǎng)2.4m、寬0.8m的長(zhǎng)方形宣傳欄刷油漆，一共需要多少千克油漆？（每平方米需要油漆0.9kg，圖略）

例題教學(xué)重點(diǎn)是掌握小數(shù)乘小數(shù)的豎式計(jì)算方法，難點(diǎn)是理解小數(shù)乘小數(shù)的算理。理解算理時(shí)，教師可設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：

教學(xué)實(shí)踐表明，小數(shù)乘小數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生感到困難的不是算法掌握，而是對(duì)算理的理解和表述，因此教學(xué)關(guān)鍵在于，教師應(yīng)提供充分思考、交流的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生合理解釋計(jì)算過(guò)程。因此教師應(yīng)把引導(dǎo)學(xué)生分析下面的推理圖，從積和因數(shù)的關(guān)系出發(fā)，完整敘述整個(gè)推理過(guò)程作為教學(xué)重心。

如此安排，既可明確小數(shù)乘小數(shù)的算理，又為后續(xù)自主歸納小數(shù)乘小數(shù)的算法做好鋪墊。

二、操作外化，理行相隨

操作是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)能力的過(guò)程，它能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，枯燥的文字?jǐn)⑹鲎兂煽吹靡?jiàn)、摸得著的活動(dòng)，使學(xué)習(xí)過(guò)程變得有趣、快樂(lè)，富有思維內(nèi)涵，有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與把握。教師精心設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中有所發(fā)現(xiàn)、有所感悟，有助于學(xué)生理解較復(fù)雜的算理。如分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算（六年級(jí)上冊(cè)P30例1）。

例1把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？自己試著折一折，算一算。

如果把一張紙的平均分3份，每份是這張紙的幾分之幾？

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算法，是分?jǐn)?shù)除法的基礎(chǔ)，根據(jù)分?jǐn)?shù)意義和操作活動(dòng)溝通分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系，既是理解算理的關(guān)鍵，也是歸納算法的關(guān)鍵。教學(xué)時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生按下面步驟動(dòng)手操作：

上述操作過(guò)程，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將“圖”和“式”對(duì)照起來(lái)分析、說(shuō)理，幫助學(xué)生建立圖形語(yǔ)言和數(shù)字語(yǔ)言的聯(lián)系，有效降低學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)算理的理解難度。

三、直觀呈現(xiàn)，理形相依

小學(xué)生思維發(fā)展處于以直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主的過(guò)渡期，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)一般遵循具體感知→形成表象→抽象概括的規(guī)律，仍需要直觀形象的支持。直觀手段能使其思維在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上參與認(rèn)知過(guò)程，及時(shí)將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排中大量呈現(xiàn)點(diǎn)子圖、小棒、方格圖、立體圖、計(jì)數(shù)器等結(jié)構(gòu)化直觀圖，借助直觀把復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，為幫助學(xué)生理解算理提供支撐。如被除數(shù)各位上的數(shù)都能被整除的除法（三年級(jí)上冊(cè)P15例1）。

三年級(jí)平均每班種多少棵？

教學(xué)時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察主題圖，明確解決“三年級(jí)平均每班種多少棵？”可列式42÷2計(jì)算。再借助課件直觀呈現(xiàn)平均分及豎式計(jì)算過(guò)程，在豎式邊給出每一步計(jì)算中各個(gè)數(shù)的含義，幫助學(xué)生理解算理，掌握除的順序和豎式的寫(xiě)法。

上述過(guò)程中，學(xué)生能直觀發(fā)現(xiàn)每一步分的結(jié)果與豎式中每一部分結(jié)果的位置值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有效突破一位數(shù)除兩位數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)，使算理得到進(jìn)一步抽象，最后達(dá)到脫離直觀算理，掌握算法的預(yù)期效果。

四、表征轉(zhuǎn)化，理型相聯(lián)

小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表征一般分為動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征，學(xué)生理解算理的最終成果表現(xiàn)為根據(jù)題意和數(shù)量關(guān)系列出算式，用文字符號(hào)予以呈現(xiàn)。教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)法幫助學(xué)生建立算理的多元表征，培養(yǎng)根據(jù)需要與情境在各種表征方式之間做出多元、多向聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)化的能力，加深學(xué)生對(duì)算理的理解。如20以?xún)?nèi)的退位減法（第1課時(shí)）（一年級(jí)下冊(cè)P10例1）。

教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生從情境中收集信息，列出算式后，借助學(xué)具感悟多種計(jì)算方法，重點(diǎn)通過(guò)課件直觀演示、理解“破十法”算理。

最后，聯(lián)系演示過(guò)程，用算式表示“破十法”的算理：

上述安排，教師把具體的操作過(guò)程和抽象的計(jì)算過(guò)程對(duì)應(yīng)起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生將多種表征方式相互結(jié)合并進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生理解算理和掌握“破十法”，也為學(xué)生脫離實(shí)物，通過(guò)思考算出得數(shù)打下了基礎(chǔ)。

五、練習(xí)強(qiáng)化，理用相促

練習(xí)既是教學(xué)效果的檢驗(yàn)工具，也是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)能力的有效途徑。計(jì)算教學(xué)中的練習(xí)，既能檢測(cè)算法掌握狀況、算法運(yùn)用能力，又能檢測(cè)算理理解程度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和轉(zhuǎn)化進(jìn)程。如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算例1補(bǔ)充設(shè)計(jì)練習(xí)題：

1.想一想，填一填。

設(shè)計(jì)意圖：觀察思考，明確豎式每一步計(jì)算的含義，理解豎式計(jì)算算理。

2.下面計(jì)算對(duì)嗎？對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”，說(shuō)一說(shuō)錯(cuò)在哪里并改正。

設(shè)計(jì)意圖：以判斷改錯(cuò)的形式，選取典型錯(cuò)例，分析說(shuō)理，明確豎式每一步計(jì)算所對(duì)應(yīng)的位置值，既鞏固算理，又檢驗(yàn)算法的掌握狀況。

3.把下面算式補(bǔ)充完整。

32×3+32×40=（? ?）×（? ?）

11×8+11×10=（? ?）×（? ?）

設(shè)計(jì)意圖：從逆向思考的角度，加深學(xué)生對(duì)算理的理解。

總之，算理學(xué)習(xí)對(duì)計(jì)算教學(xué)有著特殊的意義，它是計(jì)算教學(xué)中邏輯思維的運(yùn)用和體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)理性精神的體現(xiàn)，更是計(jì)算以及計(jì)算中思維方法能夠靈活遷移的基礎(chǔ)。教師要認(rèn)識(shí)算理的本質(zhì)，依據(jù)小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律、思維特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)，關(guān)注多元表征的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，有效幫助學(xué)生理解算理，從而提高計(jì)算能力。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]