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    高考數(shù)學(xué)試卷中的對(duì)稱之美賞析

    2021-03-24 11:28:21謝廣喜
    廣東教育·高中 2021年2期
    關(guān)鍵詞:等價(jià)對(duì)稱性表達(dá)式

    謝廣喜

    科學(xué)之美,美在對(duì)稱,對(duì)稱性是圖像(或表達(dá)式)作一定的變換后而保持不變的一種性質(zhì)(這個(gè)變換就稱為對(duì)稱變換). 有時(shí)也討論兩個(gè)圖像是否關(guān)于某個(gè)對(duì)稱軸對(duì)稱. 由于對(duì)稱的情況下問(wèn)題具有一些不對(duì)稱時(shí)所不具有的獨(dú)特性質(zhì),如果我們解題時(shí)能發(fā)現(xiàn)并充分利用這些獨(dú)特的特點(diǎn),就可方便解題.因此具有對(duì)稱性的問(wèn)題(如選擇題或填空題等)就容易被猜出答案,解答題也容易由問(wèn)題的對(duì)稱性出發(fā)產(chǎn)生一些特殊的研究問(wèn)題的辦法(如對(duì)稱引參、附加強(qiáng)化條件等),故具有對(duì)稱性的問(wèn)題相對(duì)比較容易,而不具有對(duì)稱性的問(wèn)題則相對(duì)困難.

    研究近年來(lái)出現(xiàn)的一些試題,我們發(fā)現(xiàn):高考命題(包括競(jìng)賽試題)有從對(duì)稱性的問(wèn)題向非對(duì)稱性的問(wèn)題轉(zhuǎn)變的趨勢(shì),值得注意.下面我們主要研究在對(duì)稱性思想指導(dǎo)下如何探求解題思路.

    一、置換對(duì)稱(交換對(duì)稱)

    對(duì)于任意有意義的x, y,如果表達(dá)式f(x, y)總有f(x, y)= f(y, x),即交換x, y,表達(dá)式不變,我們稱字母x, y對(duì)于表達(dá)式f(x, y)具有置換(交換)對(duì)稱性.

    例1. 已知集合A={(x, y) | x2+y2≤3, x∈Z, y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

    A. 9???????? B. 8???????? C. 5???????? D. 4

    【簡(jiǎn)解】首先我們注意到坐標(biāo)原點(diǎn)(0, 0)∈A ,除此以外,在第一象限及x軸正半軸僅有兩個(gè)點(diǎn)(1, 0)、(1, 1)∈A,把這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,x軸對(duì)稱,直線y=±x對(duì)稱,坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱,顯然點(diǎn)(-1, 0)、(0, 1)、(0, -1)、(-1, -1)、(-1, 1)、(1, -1)也都∈A,于是,A中的元素個(gè)數(shù)是2×4+1=9個(gè),選A.

    【評(píng)注】這是一道非常簡(jiǎn)單的題目,很多考生采有枚舉法求解,但往往會(huì)由于遺漏而失分,以上處理手法,非常簡(jiǎn)潔雅致,結(jié)果一目了然.

    【類題聯(lián)想】

    1.(從對(duì)稱到不對(duì)稱)設(shè)x, y∈R,且xy≠0,則(x2+■)(■+4y2)的最小值為________.

    【簡(jiǎn)解】本題求解方法是宜先作恒等變換,最后再用基本不等式即可(避免多次放縮產(chǎn)生不等式取等號(hào)之間的矛盾要求),即(x2+■)(■+4y2)=5+4x2y2+■≥5+4=9,即所求最小值為9,(易知當(dāng)x2y2=■時(shí)取等號(hào)).

    【評(píng)注】如果讀者有印象,就會(huì)發(fā)現(xiàn)這道題的命制就回避了2005高考重慶卷第5題的內(nèi)在弊端,將該題關(guān)于x, y對(duì)稱的形式變成了不對(duì)稱的形式,因此難度增加了. 當(dāng)然,如果知道柯西不等式,也可直接利用二維的柯西不等式求解之,此處從略.

    例2. 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F做兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),則 |AB|+|DE| 的最小值為()

    A. 16???????? B. 14???????? C. 12???????? D. 10

    【解析】拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)為F(1, 0),由題意知l1, l2的斜率均存在,不妨設(shè)l1的斜率為k,則l1:y=k(x-1),將其與y2=4x聯(lián)立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2 =0,設(shè)該方程的兩個(gè)根分別為x1,x2,則x1+x2=2+■,由拋物線定義,易知:

    |AB|=x1 +x2 +2=4+■,將 |AB| 表達(dá)式中的k用-■替換,立得 |CD|=4+k2,于是:

    |AB| + |DE|=8+4(k2+■)≥8=8=16,當(dāng)k=±1時(shí)不等式取等號(hào),正確答案為A.

    【評(píng)注】以上解題過(guò)程中我們巧妙利用過(guò)F做兩條互相垂直的直線l1, l2的斜率的內(nèi)在聯(lián)系,書寫過(guò)程縮減了一半,這就是一種關(guān)系對(duì)稱的表現(xiàn).

    例3.? 已知橢圓C:■+■=1(a> b>0),四點(diǎn)P1(1,? 1),P2(0, 1),P3(-1, ■),P4(1, ■)中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上.(1)求C的方程,(2)略.

    【簡(jiǎn)解】(1)我們充分注意到橢圓方程C:■+■=1(a> b>0)所表示的曲線不但關(guān)于x軸對(duì)稱,而且關(guān)于y軸對(duì)稱,還關(guān)于原點(diǎn) O(0,? 0)中心對(duì)稱,所以,一般地,若點(diǎn)(x0 , y0)在橢圓上,則(±x0 , ±y0)均在橢圓上(其中正負(fù)號(hào)任意組合,通常為四個(gè)點(diǎn),若其中一個(gè)坐標(biāo)分量為0,則僅為兩個(gè)點(diǎn)),所以P3(-1, ■),P4(1, ■)兩點(diǎn)必然同在或同時(shí)不在橢圓上,而已知四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上,所以P3(-1, ■),P4(1, ■)兩點(diǎn)必然同在橢圓上;另一方面,若P1(1, 1)在橢圓上,由對(duì)稱性知P5(-1, 1)也在橢圓上,但已有P3(-1, ■)在橢圓上,而P3,P5橫坐標(biāo)分量相等,必有縱坐標(biāo)分量絕對(duì)值相等,即 |■| = | 1 |,而這是不可能的,即P1(1, 1)不在橢圓上,于是由題意知P2(0, 1)在橢圓上,結(jié)合P2(0, 1)的幾何意義知b=1,將b=1及P4(1, ■)坐標(biāo)代入橢圓方程得■+(■)2 =1,得a=2,于是■+y2=1為所求.

    例4. 設(shè)點(diǎn)P在曲線y=■ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則 |PQ| 最小值為()

    A. 1-ln2???????? B. ■(1-ln2)

    C. 1+ln2???????? D. ■(1+ln2)

    【解析】發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=■ex與函數(shù)y=ln(2x)互為反函數(shù),所以二者的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,這是求解本題的關(guān)鍵,這樣一來(lái),這兩個(gè)函數(shù)間的最小距離就是其中一個(gè)函數(shù)(如y = ■ex)上的任意一點(diǎn)P(x, ■ex)到直線y=x的距離的2倍,(注意:此舉將原來(lái)的曲線到曲線的距離轉(zhuǎn)化為直線到曲線的距離,而后者的情況相對(duì)簡(jiǎn)單),由于點(diǎn)P(x, ■ex)到直線y=x的距離為d=■,下面構(gòu)造函數(shù)求利用導(dǎo)函數(shù)法求最小值. 設(shè)函數(shù)g(x)=■ex-x ?圯g′(x)=■ex-1?圯g(x)min=1-ln2?圯dmin=■.于是:

    |PQ|min=2dmin=■(1-ln2),正確答案為B.

    【類題聯(lián)想】

    1. 已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3| 與y=f(x)圖像的交點(diǎn)為(x1 , y1),(x2 , y2),···,(xm , ym),則■xi =()

    A. 0???????? B. m???????? C. 2m???????? D. 4m

    【解析】注意到f(x)=f(2-x),則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,同時(shí)y=|(x-1)2-4| 也關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對(duì)稱,不妨設(shè)x1

    二、齊次對(duì)稱

    不妨以三個(gè)變量情形為例,若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)?姿,有f(x, y, z)≡f(?姿x, ?姿y, ?姿z),則稱表達(dá)式f(x, y, z),是齊次對(duì)稱的,比如我們很熟悉的■,■等等,都是具有齊次對(duì)稱性的表達(dá)式,對(duì)于齊次表達(dá)式,將其中所涉及的所有變量(為簡(jiǎn)單起見(jiàn),也僅以三個(gè)字母為例)x, y, z,定義一個(gè)空間直角坐標(biāo)(x, y, z),稱■為該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離(或模),則我們有重要結(jié)論:只要x2+y2+z2≠0,則■取為大于零的任意實(shí)數(shù),不影響齊次表達(dá)式的最后結(jié)果,這也正是很多齊次不等式證明時(shí)常有的類似措詞“由題意,可不妨取■=1”等等的由來(lái).

    例5. 已知a, b, c為正數(shù),且滿足abc=1,證明:

    (1)■+■+■≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ≥24.

    【證明】(1)用分析法,不等式左邊是-1次方,右邊是2次方,利用已知條件abc=1,原命題等價(jià)為齊次化后的不等式bc+ca+ab≤a2+b2+c2,而現(xiàn)在這個(gè)不等式是很容易證明的,a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加即得;

    (2)也用分析法,類似地,同樣按照齊次化思想,由abc=1,待證問(wèn)題等價(jià)于證明(a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ≥24abc.(*). 而這一不等式也是容易證明的,

    由a, b, c為正數(shù),則有(a+b)≥2■,進(jìn)而(a+b)3 ≥

    8■,同理有:

    (b+c)3 ≥8■,(c+a)3 ≥8■,于是:

    (a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ≥8(■+■+■)≥8×3·■=24abc,于是(*)式成立,從而要證不等式成立.

    【評(píng)注】第一步如何變換?如何想到這樣變?這是不少考生覺(jué)得頭疼的問(wèn)題,以上我們按照齊次化的思想,初步回答了這兩個(gè)問(wèn)題,為讀者解題思路的展開指明了方向.

    此處讀者如果熟悉重要的關(guān)系式bc+ca+ab≤a2+b2+c2,及恒等式(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2bc+2ca+2ab,我們還可得到重要的不等式鏈:?坌a, b, c∈R,有3(bc+ca+ab)≤(a+b+c)2 ≤3(a2+b2+c2),感興趣的讀者可自己證明體驗(yàn)一下.

    同時(shí),2013年高考全國(guó)卷Ⅱ理第24題也可用上面的辦法求解.

    例6. 已知a, b>0,試求f(a, b)=■+■的最大值.

    【簡(jiǎn)解】我們注意到:①該表達(dá)式關(guān)于是齊次對(duì)稱的,令t=b/a>0就能實(shí)現(xiàn)齊次減元;②該表達(dá)式關(guān)于a, b是交換對(duì)稱的,則t=1就可能取得最值(易知此時(shí)f(a, a) =■),于是試將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:已知t=b/a>0,證明g(t) = f(a, b)=■+■的最大值為■,我們下面用分析法探究之:已知t>0,要證明■+■≤■.

    等價(jià)于(■-■) +(■-■)≤0;

    等價(jià)于 -(■+■)≤0;

    等價(jià)于 -(t-1)(■+■)≤0;

    等價(jià)于 -(t-1)(4t3-5t2+5t-4)≤0;等價(jià)于 -(t-1)(4t2-t+1)≤0,而 -(t-1)2≤0,二次三項(xiàng)式(4t2-t+1)的二次項(xiàng)大于0,其判別式小于0,知(4t2-t+1)> 0,于是 -(t-1)2(4t2-t+1)≤ 0 成立(當(dāng)時(shí)t=1時(shí)取等號(hào)),所以二元函數(shù)f(a, b)的最大值為■.

    【評(píng)注】將■平均分開來(lái)使用也是基于對(duì)稱性的考慮,如此一來(lái),很容易產(chǎn)生第一個(gè)因式(t-1),從而降低了問(wèn)題的難度(若不,去分母后的結(jié)果是一般的一元四次多項(xiàng)式,困難可想而知).

    責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

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