(2+1)維非線性演化方程的顯示解

劉小平

(電子科技大學中山學院 計算機學院,廣東 中山 528406)

尋求物理、數學上有重要意義方程的顯示解一直是熱門話題，現已形成許多成熟的方法，比如Hirota直接法[1-5]、穿衣方法[6-12]、Riemam-theta 函數與直接法相結合的方法[13-16]。其中，Hirota直接法提供了一個強有力的獲得非線性演化方程的方法。此方法主要以Hirota雙線性公式為基礎，一旦建立該方程的雙線性形式，就可以得到該方程的孤子解、奇異解、有理周期解。

本研究采用Hirota雙線性方法，討論如下(2+1)維非線性演化方程的顯示解，包括孤子解、奇異解、有理周期解：

(1)

本研究利用規(guī)范變換和Hirota雙線性算子的特性，得到方程(1)的雙線性形式，再利用Hirota直接法得到方程(1)的孤子解和奇異解，最后借助新的變換求出方程的有理周期解。

1 (2+1)維非線性方程的雙線性形式

首先，引入雙線性算子D：

當算子D作用在指數函數上時有更好的特性：

式中：ξj=kjx+wjt+ljy+ri，i=1，2。

更一般的情況：G(Dx，Dt，Dy)eξ1eξ2=G(k1-k2，w1-w2，l1-l2)eξ1+ξ2。令

u=2(lnf)xx，

(2)

把公式(2)代入方程(1)可得

(3)

對式(3)兩邊關于x積分一次，并取積分常數為0，可得

-4·2(lnf)xt+3(2 lnf)yy+2(lnf)xxxx+3[(2(lnf)xx]2=0。

(4)

(5)

2 (2+1)維非線性方程的孤子解和奇異解

本部分利用雙線性方法構造方程(5)的解，進而獲得方程(1)的解。利用文獻[1]提出的擾動法：

f=1+εf1+ε2f2+ε3f3+L，

式中：ε是小參數。

2.1 孤子解

2.1.1單孤子解

f=1+eη1。

利用式(2)得

(6)

2.1.2二孤子解

式中:

(7)

利用式(2)可得二孤子解

(8)

類似地，可以得出N-孤子解。

2.2 奇異解

2.2.1單奇異解

令f=1-eη1，可以得到單奇異解

(9)

2.2.2二奇異解

令f=1-eη1+η2+C12eη1+η2，利用式(2)可得二奇異解

(10)

3 有理周期解

令

f(x,y,t)=e-η1+Acosη2+Beη1，ηi=kix+wit+liy+ri,i=1,2。

(11)

把式(11)代入式(5)比較e-η1、eη1、cosη2、sinη2，使得系數為0，可得

把上述結果代入式(11)，可得以下兩種情況，不妨記為f1、f2：

借助變換(2)可得原方程(1)的解為