Cahn-Allen方程的精確解

時(shí)倩倩,劉法貴

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

近年來(lái)，相變理論中相場(chǎng)模型的相關(guān)研究備受矚目。由于其數(shù)學(xué)內(nèi)涵的豐富性及復(fù)雜程度，加上其在材料科學(xué)中的應(yīng)用，故相場(chǎng)模型的研究無(wú)論是在理論上還是在實(shí)際上都有意義。相場(chǎng)理論的基本模型有4種：Cahn-Allen方程、Cahn-Hillard方程、Penrose-Fife系統(tǒng)、Cagnalp系統(tǒng)。其中，Cahn-Allen方程為

ut-uxx+u3-u=0。

(1)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們采用直接積分法[1]、試探函數(shù)法[1-2]、齊次平衡法[3]、簡(jiǎn)單方程法[4]、(G′/G)-展開(kāi)法[5]、廣義雙曲正切-余切法[6]等成功求解了不同類型的非線性偏微分方程。文獻(xiàn)[5]應(yīng)用(G′/G)展開(kāi)法求出了Cahn-Allen方程的精確解,所得結(jié)果包含周期解和孤波解。文獻(xiàn)[6]使用廣義雙曲正切-余切法對(duì)分?jǐn)?shù)階Cahn-Allen方程進(jìn)行了研究，求出了非線性分?jǐn)?shù)階Cahn-Allen方程的行波解。

本研究使用試探函數(shù)法和齊次平衡法來(lái)求方程(1)的精確解,得到其扭狀孤立波解。通過(guò)引入試探函數(shù)，將其代入原方程獲得關(guān)于參數(shù)的一組方程，由于求解過(guò)程相對(duì)煩瑣，故需要借助Mathematica軟件。

1 試探函數(shù)法求精確解

引入函數(shù)變換

u(x，t)=φ(ξ)，ξ=x-ct，

(2)

式中：c為波速。由式(1)、(2)，經(jīng)計(jì)算得

-cφ′-φ″+φ3-φ=0。

(3)

假設(shè)方程(3)具有如下形式的解:

(4)

式中：a、A、B為待定常數(shù)。由式(4)直接計(jì)算可得

(5)

(6)

將式(4)、(5)、(6)代入方程(3)，可得

-cAa(y+y2)-Aa2(y-y2)+A3y3+3A2B(y2+y3)+3AB2y(1+y)2-
Ay(1+y)2+(B3-B)(1+y)3=0，

(7)

式中：y=expaξ。由1、y、y2、y3的線性無(wú)關(guān)性，得到關(guān)于參數(shù)a、A、B的代數(shù)方程組：

(8)

對(duì)方程組(8)求解,得

于是，求得方程(3)的精確解為

(9)

(10)

2 齊次平衡法求精確解

為使方程(1)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)部分平衡，假設(shè)方程(1)具有如下形式的解：

u=fx(φ)+r。

(11)

下面將確定函數(shù)f(φ)和φ(x，t)，以及常數(shù)r，使式(11)滿足方程(1)。將式(11)代入方程(1)的左邊，得

(12)

f′3-f?=0。

(13)

該方程有解

(14)

從而得

(15)

利用式(13)，得

(16)

在式(16)中置f″、f′的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為0，可得φ和r滿足方程組

(17)

和

r3-r=0。

(18)

從式(18)中解出

r=1，r=-1，r=0。

(19)

取r=1，則方程組(17)變?yōu)?/p>

(20)

假設(shè)

φ=1+exp(kx+αt)，

(21)

式中：k和c為待定常數(shù)。將式(21)代入(20)，可知待定系數(shù)k和c滿足

(22)

求解式(22)，得到

(23)

將式(21)、(23)及r=1代入式(11)中，可得

(24)

取r=-1，類似討論，可得方程(1)的另一個(gè)孤立波解

(25)

取r=0，可同樣得到式(24)、(25)。

由定理1和定理2可以看出，雖用不同的方法，仍得到了具有相同函數(shù)形式的扭狀孤立波解。

3 定性分析

令x=φ(ξ)、y=φ′(ξ)，則式(3)等價(jià)于

(26)

方程(26)有3個(gè)奇點(diǎn)O(0，0)、A(1，0)和B(-1，0)。對(duì)于奇點(diǎn)O,注意到方程(26)對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)特征根滿足λ2+cλ+1=0。因此，當(dāng)c<0時(shí)，O是不穩(wěn)定的奇點(diǎn)，而當(dāng)c>0時(shí)，O是穩(wěn)定的奇點(diǎn)。對(duì)于奇點(diǎn)A、B,注意到方程(26)對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)特征根滿足λ2+cλ-2=0。因此，A、B是不穩(wěn)定的奇點(diǎn)。

對(duì)于方程(26)，由于Px+Qy=-c，故由Bendixson判據(jù)，可以斷定如下結(jié)論成立:

定理3當(dāng)c≠0時(shí)，方程(13)在全平面上不存在閉軌線，即此時(shí)方程(1)不存在鐘狀的孤立波解和周期行波解。

4 結(jié)語(yǔ)

本研究運(yùn)用試探函數(shù)法、齊次平衡法求解Cahn-Allen方程，得到了具有相同形式的扭狀孤立波解。并且，進(jìn)行定性分析得到當(dāng)c≠0時(shí)，方程(1)不存在鐘狀的孤立波解和周期行波解。由此可見(jiàn)，試探函數(shù)法和齊次平衡法是求解非線性發(fā)展方程的有效方法。