以問題為導向的數(shù)學教學設(shè)計實踐與反思

孫玲

[摘 ?要] 以“等比數(shù)列”起始課為例，嘗試進行以問題為導向的教學設(shè)計實踐與反思，以牽引學生的思維，在問題的解決中，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題;導向;教學設(shè)計;反思

問題是數(shù)學的心臟. 離開了數(shù)學問題，數(shù)學教學如一潭死水，無法激起思維的漣漪. 因此，數(shù)學教學設(shè)計可以問題為導向，牽引學生的思維，在問題的解決中，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[1]. 以“等比數(shù)列”起始課的教學設(shè)計實踐為例，談?wù)劰P者的做法與想法，供大家參考.

[?] 以問題為導向的等比數(shù)列教學設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，初識等比數(shù)列

師：前面我們已經(jīng)學習了等差數(shù)列，并研究了等差數(shù)列的一些性質(zhì). 其實等差數(shù)列還有一個“孿生兄弟”叫等比數(shù)列. 什么是等比數(shù)列呢？請看下面的問題：

（1）細胞是如何分裂的？假如開始只有一個細胞，且每分鐘分裂一次，那么一分鐘后有幾個細胞？兩分鐘后有幾個細胞？三分鐘后有幾個細胞？……n分鐘后有幾個細胞？

（2）把剛才得到的一串數(shù)據(jù)按序排列得到一個數(shù)列，它具有什么特征？

設(shè)計意圖：從學生熟悉的問題入手，引發(fā)一串神奇的數(shù)字，激發(fā)興趣，培養(yǎng)分析與歸納的能力.

生1：剛才得到的一個數(shù)列2，4，…，2n，具有如下特征：從第二項開始，后一項與前一項的比值都是2，難道它就是等比數(shù)列？

師：對！這個數(shù)列就是等比數(shù)列. （學生嘗試歸納等比數(shù)列的定義，并打開課本，看自己給等比數(shù)列下的定義是否與教材上的一致，并推導等比數(shù)列的通項公式a=aqn-1（q≠0））

師：通過探究，我們已經(jīng)知道了什么是等比數(shù)列，那么你能否說出等比數(shù)列的具體例子.

生2：數(shù)列3，1，，，，…是等比數(shù)列，它的公比是，它的通項是a=3×

=32-n.

生3：數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1…是等比數(shù)列，它的公比是-1，它的通項是b=（-1）n.

生4：數(shù)列a，a，a，a，…是常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，它的公比是1，它的通項公式是c=a.

生5：我對生4的觀點有異議，我認為常數(shù)數(shù)列不一定是等比數(shù)列，非零的常數(shù)數(shù)列才是等比數(shù)列，所以必須要加上條件：a≠0.

師：生5的回答非常好，等比數(shù)列中不含零項，因此，等比數(shù)列的公比永不為0.

設(shè)計意圖：數(shù)學概念或定義，是數(shù)學學習的起點，但對概念或定義不可死記硬背，應(yīng)靈活應(yīng)用. 讓學生舉例等比數(shù)列，目的就是考查學生是否真正理解了等比數(shù)列的定義，包括等比數(shù)列的內(nèi)涵與外延.

2. 借助類比思想，再探等比數(shù)列

師：剛才我們已經(jīng)用歸納的方法得到了等比數(shù)列的通項公式. 那么我們能不能用更嚴謹?shù)姆椒▉硗茖н@個公式呢？

探究1：對照等差數(shù)列推導通項公式的方法，觀察等比數(shù)列相鄰兩項之間有什么共同特征，你能用符號準確地表示出來嗎？

生6：等比數(shù)列的共同特征：=q，=q，=q，…，=q，=q（n≥2）. 等差數(shù)列是用累加法推出通項公式的，而等比數(shù)列可以用累乘法推出通項公式，即···…·=qn-1?a=aqn-1.

師：等差數(shù)列有等差中項，任何兩個數(shù)都有等差中項，即實數(shù)a，b的等差中項是，那么等比數(shù)列也有類似的結(jié)論嗎？

探究2：與等差中項的概念相類比，若在實數(shù)a與b中間插入實數(shù)A，使a，A， b成等比數(shù)列，則A必須滿足什么條件？實數(shù)A唯一嗎？是否任何兩個實數(shù)都存在這樣的項？

生7：由等差數(shù)列的等差中項可以類比得出等比數(shù)列的等比中項，即A2=ab，a=aa，但A不唯一，應(yīng)該有兩個，即±. 既然ab是被開方數(shù)，所以a與b必須同正或者同負，否則它不存在等比中項. 從這里我們可以發(fā)現(xiàn)，除首項外，等比數(shù)列任何一項的前后兩項一定是同正或同負.

設(shè)計意圖：通過引入探究1，啟發(fā)學生利用等差數(shù)列方法去解決等比數(shù)列的通項問題，此外滲透類比思想，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng).通過引入探究2，啟發(fā)學生利用等差中項的概念去得出等比中項的概念，并再次滲透類比思想. 通過兩者的比較，發(fā)現(xiàn)認識的方法相同但本質(zhì)不同.

師：到此為止，我們發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列與等差數(shù)列看似孿生兄弟，但它們還是有著根本的區(qū)別，這也驗證了那句老話：一母生九子，九子各不同. 但無論如何，它們還是“近親”，你能否依據(jù)等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，提出類似的關(guān)于等比數(shù)列的性質(zhì)，并加以證明.

探究3：等比數(shù)列有哪些性質(zhì)？（開放題）

生8：在等差數(shù)列{a}中有：若m+n=p+q，則a+a=a+a;類似地，在等比數(shù)列中有：若m+n=c+d，則b·b=b·b. 證明如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則b·b=bqm-1·bqn-1=bqm+n-2，b·b=bqc-1·bqd-1=bqc+d-2. 因為m+n=c+d，所以b·b=b·b.

生9：既然等差數(shù)列的通項可以寫成a=a+（n-m）d，那么等比數(shù)列的通項就可以寫成bn=bmqn-m……

生10：若一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么它的奇數(shù)項（偶數(shù)項）也依次構(gòu)成等差數(shù)列，于是等比數(shù)列中類似有：若一個數(shù)列是等比數(shù)列，那么它的奇數(shù)項（偶數(shù)項）也依次構(gòu)成等比數(shù)列.

……

設(shè)計意圖：按照通常做法，這個內(nèi)容應(yīng)放在下節(jié)課學習，但數(shù)學上的有關(guān)性質(zhì)往往都是定義引發(fā)的，這里趁熱打鐵不僅體現(xiàn)了學生思維的延續(xù)性，更能使他們對等比數(shù)列的認識更清晰. 另外，具有發(fā)散性的問題也更能引發(fā)學生的思考.

3. 理論聯(lián)系實際，編擬相關(guān)問題

師：學到現(xiàn)在，我們已經(jīng)對等比數(shù)列有了一個清晰的認識，那么你能否類比等差數(shù)列編擬幾個相關(guān)的等比數(shù)列的題目，并作出解答？允許合作完成.

十分鐘后，學生交流.

生11：（1） a=2，且2a=4a，求a.（2）在等比數(shù)列{a}中，a=2，a=32，q=2，求n.

解：（1）由2a=4a和a=2知，數(shù)列{a}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以它的通項公式是a=2n;（2）由題意有32=2×2n-1?n=5.

生12：假如某等比數(shù)列的第3項是12，第4項是18，那么它的第1項和第2項分別是多少？

解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是a，公比是q，那么aq2=12①，aq3=18②，由 ②÷①得q=③. 把③代入①得a=，因此a=aq=×=8.所以這個數(shù)列的第1項和第2項分別是與8.

……

設(shè)計意圖：一般來說，新授知識完成后，往往由教師給出相關(guān)問題讓學生解決，以達到鞏固新知的目的. 但這里采用了學生“自問自答”的形式，更能體現(xiàn)出學生學習的主動性與主體性，也切實可行[2].

4. 課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)：（1）等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式;（2）思想方法：類比等差數(shù)列也可以得到等比數(shù)列概念和通項公式.

作業(yè)布置：（1）網(wǎng)上搜集實際生活中與等比數(shù)列有關(guān)的問題;（2）編擬兩道與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān)的題目，并加以解答.

[?] 教學反思

任何科學的發(fā)展都離不開問題的產(chǎn)生與解決. 筆者將等比數(shù)列的起始課設(shè)計成問題，并通過問題的遞進驅(qū)動課堂教學，用聯(lián)系的觀點和類比的方法揭示了數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展過程. 一是問題的設(shè)計遵從教材，遵從學生的認知規(guī)律，且由淺入深，把學生的思維引向深入;二是本節(jié)課的設(shè)計又不拘泥于教材，將等比數(shù)列的性質(zhì)提前到本課中學習，更能體現(xiàn)出數(shù)學學習的連貫性. 三是本節(jié)課始終以問題為主線，遵循以生為本的原則，引導學生思考，并付諸實踐[3]. 同時，注重學生學習主動性的激發(fā)，把提問題的權(quán)力交給學生，讓他們培養(yǎng)發(fā)散性思維，取得較好的教學效果.

教學設(shè)計是課堂教學的謀劃與體現(xiàn). 只有不斷實踐與總結(jié)，才能日臻完美，才能與學生的認知產(chǎn)生共鳴. 需要注意的是，以問題為中心的教學設(shè)計，問題不能浮于表面或流于形式，否則教學設(shè)計只是一種設(shè)想，無法產(chǎn)生效益，無法把學生推向核心素養(yǎng)的軌道.

參考文獻：

[1] 于鶯彬. 基于問題導向的高中數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學通訊，2019（05）.

[2] 陳文彩，蘇建偉. 高中數(shù)學課堂自主學習問題設(shè)置的探究[J]. 新教育，2017（07）.

[3] 呂秀芹. 問題導向法在高中數(shù)學教學中的實踐應(yīng)用[J]. 高中數(shù)理化，2015（16）.

3503501908236