高峰時段城際鐵路列車停站方案研究

張 濤，孫鵬舉，曲子賢

（1.中國鐵路蘭州局集團(tuán)有限公司 科信部，甘肅 蘭州 730000；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司運輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100081)

0 引言

城際鐵路是一種區(qū)域性的軌道交通系統(tǒng)，主要服務(wù)于城市經(jīng)濟(jì)圈內(nèi)中心城市、副中心城市、城市所轄城鎮(zhèn)之間客流[1]。隨著城市圈逐漸成型，城際間流動需求日益旺盛，城際高速鐵路大跨度發(fā)展，并開發(fā)出刷卡進(jìn)站、一站式服務(wù)、面部識別、一卡通等多種便捷服務(wù)，極大地方便了旅客出行。此外，在節(jié)假日、早晚高峰、大小長假、大型文體活動等客流激增的情況下，客流密集到站，造成車站售票廳、通道、列車等的擁擠，亟需通過優(yōu)化列車停站方案等手段緩解高峰客流造成的沖擊。

近年來，城際高速鐵路及城市軌道交通列車開行方案優(yōu)化問題成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。城際鐵路的開行區(qū)段通常固定在發(fā)達(dá)的中心城市之間，且列車速度等級也較為單一，使得對其開行方案的優(yōu)化主要集中在調(diào)整列車發(fā)車間隙、途中停站選址和編組數(shù)量等方面。Chang、Ghoneim、Liebchen、汪波等[2-5]重點研究根據(jù)客流密度情況劃分城際列車運營時段問題，構(gòu)建以運營成本最小化及運行時間最小化等為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化時段波動的城際列車開行方案。?；菝竦萚6]通過建模研究了擁擠環(huán)境下城市軌道交通中旅客出行時間選擇與列車開行方案間匹配，實現(xiàn)在滿足旅客出行需要基礎(chǔ)上企業(yè)利益最優(yōu)的目標(biāo)。史峰、彭其淵、何宇強(qiáng)等[7-9]將交通配流理論引入列車開行方案優(yōu)化研究中，實現(xiàn)開行方案與客流分配的綜合協(xié)調(diào)。Niu 等[10]以時間窗作為旅客乘降列車的約束，通過非線性整數(shù)規(guī)劃模型優(yōu)化能夠滿足客流動態(tài)需求的列車調(diào)度問題和開行方案問題。李得偉、鄧連波、楊宏圖等[11-13]分析了高速鐵路停站方案的影響因素，建立非線性規(guī)劃模型求解最優(yōu)的列車開行方案，以滿足節(jié)點服務(wù)頻率、站間服務(wù)可達(dá)性、單個列車停站次數(shù)等約束條件。

分析上述文獻(xiàn)可知，有關(guān)列車開行方案的研究大多以“按流開車”為原則，考慮在城際鐵路公交化服務(wù)模式下，是否可以在客流擁擠的高峰時段滿負(fù)荷地開行列車，未能兼顧不同OD 的旅客需求。城際列車在沿途中間站的停站方案會影響高峰時段的發(fā)車能力。因此，研究不同停站組合下，列車追蹤間隔時間的構(gòu)成，以及始發(fā)站列車發(fā)車間隔，最后建立以旅客出行時間消耗最小化為目標(biāo)的非線性0-1 規(guī)劃模型。

1 列車停站方案影響因素分析

1.1 列車運行和旅客出行方式

圖1 1 條有m 個車站的城際鐵路示意圖Fig.1 Diagram of inter-city railway with m stations

假設(shè)1 條有m個車站的城際鐵路示意圖如圖1所示，共有m個車站，從始發(fā)站1 開始，按照車站的鄰接順序依次標(biāo)記為車站2，3，…，m。該線路為雙向自動閉塞，即上、下行列車均有獨立的運行線路。在此僅研究單向列車停站方案問題。

影響列車停站因素較多，既有列車運營因素，也有旅客選擇的多樣性因素。為了研究的方便，做如下假設(shè)：在高峰時段，列車在始發(fā)站和終到站間的開行數(shù)量固定，且列車的速度等級相同，相鄰列車不進(jìn)行越行作業(yè)。旅客到達(dá)車站后，會選擇能夠乘坐時間最近的列車。在以上假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，根據(jù)列車追蹤間隔時間和不同停站組合對列車服務(wù)質(zhì)量的影響2 個因素加以衡量。列車追蹤間隔時間是指追蹤運行的列車k與列車k+ 1 的最小間隔時間Ik，k+1。在高速鐵路中，列車追蹤間隔時間有：區(qū)間內(nèi)追蹤運行列車間隔時間t區(qū)追；前后車均到達(dá)車站停車作業(yè)的追蹤列車間隔時間t停停；前后車均從車站通過的追蹤列車間隔時間t通通；前車停站作業(yè)，后車通過的追蹤列車間隔時間t停通；前車通過，后車到站停車作業(yè)的追蹤列車間隔時間t通停；前車從車站發(fā)出，后車到達(dá)車站的間隔時間t發(fā)到；前車從車站通過后，后車從車站發(fā)出的間隔時間t通發(fā)；前車從車站發(fā)出后，后車通過車站的間隔時間t發(fā)通。通過分析，不難發(fā)現(xiàn)上述列車追蹤間隔時間大小是不相等的。但是為了研究問題的方便，現(xiàn)有研究通常是按照公式(1)來確定最小追蹤間隔時間[13]。

1.2 運行列車組的停站組合

在列車運行圖上兩相鄰列車所組成的列車運行圖結(jié)構(gòu)單元稱為運行列車組[14]。假設(shè)在劃分運行列車組時只考慮列車在沿途中間站的停站組合形式。定義0-1 變量表示列車k是否在沿途中間站s停車。其中= 1 表示列車k在中間站s停車，= 0 表示列車k在中間站s通過。對于運行列車組k與k+ 1 在中間站s共有4 種停站組合形式，記做

（1）停站組合A1，1。當(dāng)時，表示運行列車組k與k+ 1 均在中間站s停站作業(yè)。停站組合A1，1如圖2 所示，列車k在車站s的停站時間(包括列車起、停附加時分)為t停，當(dāng)列車k完成停站作業(yè)從車站s發(fā)出，且滿足發(fā)到間隔時間t發(fā)到后，列車k+ 1 進(jìn)入車站s。運行列車組k與k+ 1 在中間站s的最小間隔時間t1，1如公式(2)所示。

圖2 停站組合A1，1Fig.2 Stop scheme of A1，1

（2）停站組合A0，0。當(dāng)時表示運行列車組k與k+ 1 在中間站s均無停站作業(yè)。停站組合A0，0如圖3 所示，運行列車組k與k+ 1 在中間站s的最小間隔時間t0，0需滿足區(qū)間內(nèi)追蹤運行列車間隔時間t區(qū)追即可，如公式(3)所示。

（3）停站組合A0，1。當(dāng)時，列車k在中間站s無停車通過后，列車k+ 1 到達(dá)中間站s。停站組合A0，1如圖4 所示，由于列車k對列車k+ 1 無影響，運行列車組k與k+ 1 在中間站s的最小間隔時間t0，1需滿足追蹤運行列車通停間隔時間t區(qū)追即可，如公式(4)所示。

圖3 停站組合A0，0Fig.3 Stop scheme of A0，0

圖4 停站組合A0，1Fig.4 Stop scheme of A0，1

圖5 停站組合A1，0 (無越行)Fig.5 Stop scheme of A1，0 (Without overrun)

圖6 停站組合A1，0 (越行)Fig.6 Stop scheme of A1，0 (Overrun)

（4）停站組合A1，0。當(dāng)時，表示列車k在車站停車，列車k+ 1 通過車站。這種停站組合分為“無越行作業(yè)”和“有越行作業(yè)”2種。停站組合A1，0(無越行)如圖5 所示，列車k在車站s停車作業(yè)完畢并發(fā)車后，列車k+ 1 在滿足列車發(fā)通間隔時間t發(fā)通后通過中間站s。運行列車組k與k+ 1 在中間站s的最小間隔時間t1，0如公式(5)所示。停站組合A1，0(越行)如圖6 所示，列車k在到達(dá)中間站s后，列車k+ 1 在滿足列車到通間隔時間t到通后通過中間站s，然后列車k在滿足列車通發(fā)間隔時間t通發(fā)后從中間站s發(fā)出。運行列車組k與k+ 1 在中間站s的最小間隔時間如公式(6)所示。

考慮到有越行作業(yè)時，列車k在中間站s的實際停站時間遠(yuǎn)大于其標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)停站時間t停，在構(gòu)建列車停站方案模型時，不考慮有越行作業(yè)這種組合形式。

1.3 始發(fā)站列車最小發(fā)車間隔的確定

相鄰列車在始發(fā)站的最小發(fā)車間隔與列車在沿途各中間站的停站組合密切相關(guān)。假設(shè)城際鐵路上可辦理旅客乘降的中間站集合為S∈ {s| 1，2，…，n}，則運行列車組k與k+ 1 在沿途各站的停站組合序列為其對應(yīng)的運行列車組k與k+ 1 在沿途各站的最小追蹤間隔時間序列為

運行列車組k與k+ 1 在始發(fā)站的最小發(fā)車間隔時間Ik，k+1應(yīng)取各中間站中追蹤間隔時間最大的。即Ik，k+1取值應(yīng)為max {txks，xsk+1，s∈S}。在不考慮后車越行前車的情況，會出現(xiàn)前車停站對后車的累加影響。因此，在計算最小發(fā)車間隔時間Ik，k+1時，應(yīng)考慮4 種特殊情形。

（1）A1，0與A1，0的組合。A1，0與A1，0的組合如圖7 所示，當(dāng)運行列車組k與k+ 1 在相鄰中間站的停車組合均為A1，0時，其追蹤間隔時間Ik，k+1如公式(7)所示。

圖7 A1，0 與A1，0 的組合Fig. 7 Stop scheme combination of A1，0 and A1，0

（2）A1，0與A1，1的組合。A1，0與A1，1的組合如圖8 所示，當(dāng)運行列車組k與k+ 1 在前、后方車站的停站組合分別為A1，0與A1，1時，其追蹤間隔時間Ik，k+1如公式(8)所示，其中的max {t1，0，t1，1}取值與公式(7)類似，不再贅述。

（3）A0，1與A1，0的組合。A0，1與A1，0的組合如圖9 所示，當(dāng)運行列車組k與k+ 1 在前、后方車站的停站組合分別為A0，1與A1，0時，其追蹤間隔時間Ik，k+1如公式(9)所示。

圖8 A1，0 與A1，1 的組合Fig.8 Stop scheme combination of A1，0 and A1，1

圖9 A0，1 與A1，0 的組合Fig.9 Stop scheme combination of A0，1 and A1，0

（4）A0，1與A1，1的組合。A0，1與A1，1的組合如圖10 所示，當(dāng)運行列車組k與k+ 1 在前、后方車站的停站組合分別為A0，1與A1，1時，其追蹤間隔時間Ik，k+1如公式(10)所示。

通過以上分析，可以推導(dǎo)出運行列車組k與k+ 1 在始發(fā)站的最小發(fā)車間隔時間Tk，k+1如公式(11)所示。

圖10 A0，1 與A1，1 的組合Fig.10 Stop scheme combination of A0，1 and A1，1

2 高峰時段城際鐵路列車停站方案模型構(gòu)建

為保證列車在任意區(qū)間運行時均能保持最小的追蹤運行間隔時間，當(dāng)所有列車的停站方案均相同時，任意一對相鄰列車的發(fā)車間隔時間均相等。但是，考慮到在沿途中間站乘降的旅客數(shù)量具有明顯的差異性，所有列車均在沿途中間站停車會大大增加運營成本，而所有列車均不在中間站停車又無法滿足旅客出行需求。因此，所構(gòu)建模型需在滿足旅客出行需求的基礎(chǔ)上最小化列車停站次數(shù)，以降低運營成本。城際鐵路旅客公交化出行的方式，使得旅客對列車的發(fā)車時刻較為敏感。由于不同列車停站方案帶來列車發(fā)車間隔的不均衡性，必然會導(dǎo)致旅客候車等待時間的不均衡。另外，旅客選擇不同停站方案的列車，列車停車等待時間的消耗也不均衡。為此，模型綜合考慮了乘客和鐵路運輸企業(yè)雙方利益。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

將旅客出行時間消耗最小化作為優(yōu)化的目標(biāo)。旅客出行時間消耗包括候車等待時間、區(qū)間運行時間和沿途停站等待時間3 部分?？紤]到在城際鐵路開行區(qū)段確定的情況下，相同OD 客流的區(qū)間運行時間相等。因此，只研究旅客在站候車時間和沿途停站等待時間。

設(shè)車站集合S= {s| 1，2，…，n}；中間站集合S"= {s| 2，4，…，n-1}；始發(fā)站列車的發(fā)車順序集合K= {k| 1，2，…，m}；OD 集合V= {(i，j)|i，j∈S，i≠j；qij為高峰時段車站i→j的客流。

（1）候車等待時間。旅客候車等待時間與列車到達(dá)車站的間隔時間密切相關(guān)。列車到達(dá)車站i的時刻為。假設(shè)乘坐列車的OD 客 流qij均為時刻后服從均勻分布到達(dá)的，則OD 客流qij候車的總等待時間如公式(15)所示。

式中：ρij為客流qij的到達(dá)率參數(shù)，指車站i至車站j間每小時平均的旅客人數(shù)；ρij·表示從時刻到時刻到達(dá)車站i的客流，人；表示從時刻到達(dá)車站i的客流的總等待時間。

（2）沿途停站等待時間。對于OD 客流qij，選擇乘坐列車由于列車不僅僅只服務(wù)于一個OD 客流，因而可能會產(chǎn)生部分旅客在沿途站等待的時間。

式中：產(chǎn)生停站等待時間的車站s的范圍為上車站的后一站i+ 1 與下車站的前一站j- 1；ges為列車e在車站s停車后，不下車旅客的數(shù)量，人；表示在車站i至j間乘坐列車的旅客是否在s站停車等待。

通過以上分析，旅客出行時間消耗最小化的目標(biāo)函數(shù)如公式(17)所示。

2.2 約束條件

（1）OD 客流qij的可達(dá)性約束。對于OD 客流qij，乘坐列車k的限制性條件為列車k的停站序列中同時包括i和j。即滿足公式(18)。

對于列車k，在停站方案∏k= {xsk，s∈S}確定的情況下，列車k可服務(wù)的OD客流可通過公式(18)確定；同時，對于OD 客流qij，其可選擇乘坐列車的范圍也可以通過公式(18)確定。將列車k能夠服務(wù)的OD 置于集合Vk，Vk∈V；將OD 客流qij可乘坐的列車置于集合Uij= {，e= 1，2，…}，Uij∈K。

（2）客運需求與運輸能力的匹配約束如公式(19)所示。

式中：Ck為列車k的定員，人；θij表示OD 客流i→j的分擔(dān)率。

（3）列車到達(dá)時刻約束。在高峰時段[T高，給定第1 列車的發(fā)車時刻，按照公式(11)的推算方法，可以得到列車k在始發(fā)站的發(fā)車時間。列車k到達(dá)車站i的時刻如公式(20)所示。

式中：為區(qū)間o的列車運行時間；O為城際鐵路上所有區(qū)間的集合。

（4）旅客在站候車時間約束。高峰時段旅客密集到達(dá)車站，在無法準(zhǔn)確掌握旅客出行數(shù)量及到達(dá)規(guī)律時，通過縮小列車發(fā)車間隔，使得客流被劃分為若干小單元，根據(jù)概率分布理論，在小的時間間隔內(nèi)密集到達(dá)的客流可以視作服從均勻分布。因此，旅客平均等待時間即為兩相鄰能夠服務(wù)同一OD 客流的列車到達(dá)車站i的間隔時間的一半，如公式(21)所示。

（5）到站在車無乘降旅客數(shù)量約束如公式(22)所示。

公式(22)表示，列車e在中間站a停站時，在列車上等待的旅客必須是在車站a之前的車站上車，并且在車站s之后的車站下車的乘客。

（6）高峰時段發(fā)車能力約束如公式(23)所示。

式中：f為高峰時段全部鋪畫平行運行圖的通過能力；T高，T"高分別為高峰時段的起始時刻和終止時刻。

（7）始發(fā)、終到站強(qiáng)制停車約束如公式(25)所示。

3 算法設(shè)計

3.1 遺傳算法

參考既有研究[15]，根據(jù)上述模型設(shè)計遺傳算法計算。

（1）染色體編碼。根據(jù)模型特點，設(shè)計的染色體采用0-1 編碼，染色體結(jié)構(gòu)如圖11 所示。

圖11 染色體結(jié)構(gòu)Fig.11 Structure of chromosome

染色體共劃分為f個基因片段，染色體長度為[(m- 2) + 1]·f。其中圓形部分表示列車k是否具有發(fā)車條件，方形部分表示列車k在沿途中間站的停站方案，為0-1 序列。當(dāng)時列車k具有發(fā)車條件，圓形部分基因值為1，此時方形部分的基因取值為0 或1；當(dāng)時列車k不具有發(fā)車條件，發(fā)車基因值為0，此時發(fā)車基因后的所有基因取值全部為0。染色體示意圖如圖12 所示。

（2）適應(yīng)度函數(shù)。染色體能否被遺傳到下一代取決于適應(yīng)度值的大小，設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)表示為：

圖12 染色體數(shù)據(jù)示意圖Fig.12 Scheme of chromosome data

式中：Zmax表示最大目標(biāo)函數(shù)值；Zmin表示最小目標(biāo)函數(shù)值。當(dāng)Z=Zmax時適應(yīng)度最低為0，當(dāng)Z=Zmin時適應(yīng)度得到最大值為1，可見函數(shù)能夠合理表達(dá)優(yōu)勝劣汰的遺傳原則。

（3）遺傳操作。遺傳操作(選擇操作、交叉操作和變異操作)是遺傳算法的核心步驟，通過對種群進(jìn)行遺傳操作可產(chǎn)生新一代種群。選擇操作采用輪盤賭選擇法，個體被遺傳到下一代的概率由它的適應(yīng)度與種群中所有個體適應(yīng)度總和之比決定。

由于模型特點，染色體前面的基因片段會影響后面基因片段的取值。因此，在交叉和變異操作時，除了設(shè)定交叉和變異概率外，還需要增加基因位置的判斷決策。變異操作如圖13 所示，為變異操作的4 種情況。

當(dāng)變異點被選擇在“停站基因”上時(變異點1，變異點2)，首先判斷變異點左側(cè)最近的“發(fā)車基因”是否為“1”。如果“發(fā)車基因”是“1”，按照設(shè)定的變異概率Pm進(jìn)行變異操作(如變異點1)，否則停止變異操作(如變異點2)。

當(dāng)變異點被選擇在“發(fā)車基因”上時(變異點3，變異點4)，首先判斷變異點右側(cè)最近的“發(fā)車基因”是否為“1”。如果“發(fā)車基因”是“1”，停止變異操作(如變異點3)，否則按照設(shè)定的變異概率Pm進(jìn)行變異操作(如變異點4)。

3.2 算法流程

（1）初始化。按照上述染色體編碼規(guī)則和約束條件(15) - (22)，隨機(jī)生成規(guī)模為popsize的初始可行解種群；置最優(yōu)目標(biāo)Z*=M；初始開行方案WP*為零向量；方案檢查集Ψ為空集；迭代次數(shù)t= 1。

（2）遺傳操作。按照3.1 中設(shè)計的遺傳算法，對初始種群進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，搜尋當(dāng)前種群中適應(yīng)度最高的可行解（開行方案）WP t；迭代次數(shù)t=t+ 1。

（3）檢查。如果WP t?Ψ，那么將其添加到檢查集Ψ中，轉(zhuǎn)步驟（4）；否則，轉(zhuǎn)步驟（2）。

（4）計算適應(yīng)度。將當(dāng)前開行方案WP t代入目標(biāo)函數(shù)，計算目標(biāo)函數(shù)Z；如果Z＜Z*，則另Z=Z*，WP*=WP t。

（5）終止檢驗。如果迭代次數(shù)t大于迭代上限G，輸出最優(yōu)解WP*，否則，轉(zhuǎn)步驟（2）。

4 算例分析

以沿途有3 個中間站的城際鐵路為例進(jìn)行驗證。列車運行參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 列車運行參數(shù)設(shè)置Tab.1 Value of train operation parameters

客流數(shù)據(jù)參考既有文獻(xiàn)中京津城際鐵路高峰小時數(shù)據(jù)[5]，不同OD 客流的分擔(dān)率及到達(dá)率如表2所示。

表2 不同OD 客流的分擔(dān)率及到達(dá)率Tab.2 Sharing rate and arriving rate of each OD pair

圖13 變異操作Fig.13 Mutation operation

將相關(guān)參數(shù)及旅客的到達(dá)率輸入模型，設(shè)置種群規(guī)模popsize= 50，根據(jù)經(jīng)驗取交叉概率Pc= 0.6，變異概率Pm= 0.4，最大停滯迭代次數(shù)為15，最大迭代次數(shù)為100?？傻玫礁髁熊嚢l(fā)車時刻及沿途停站方案，優(yōu)化后的列車停站方案如表3 所示。

表3 優(yōu)化后的列車停站方案Tab.3 Train stop scheme after optimization

表3 所示的停站方案，全部旅客在站候車時間為88 587 min，沿途停站等待時間為26 525 min，總乘車人數(shù)為8 956 人次。人均旅行時間消耗(除列車運行時分)為12.85 min，最大候車等待時間為21 min，旅客在沿途站最大停站等待時間消耗為10 min。列車最大服務(wù)能力為11 120 人次。通過以上數(shù)據(jù)，可以驗證提出的模型和算法的可行性。

但是，考慮到城際鐵路客運需求有動態(tài)增長的可能，在高峰時段，鐵路運輸企業(yè)應(yīng)提供盡可能大的運輸能力以滿足不斷增長的客運需求。通過研究發(fā)現(xiàn)，停站次數(shù)對通過能力的影響很大。如果在高峰時段放棄一些到達(dá)率比較低的OD 客流，減少停站次數(shù)，將會大大提高高峰小時的通過能力，同時還會降低旅客的旅行時間消耗。因此，對上述模型增加了停站次數(shù)約束，如公式(27)所示。

將相關(guān)參數(shù)及旅客的到達(dá)率輸入模型，可得到各列車發(fā)車時刻及沿途停站方案，列車停站方案示意圖如圖14 所示。

圖14 列車停站方案示意圖Fig.14 Train stop scheme

該停站方案中，全部旅客在站總候車時間為49 769 min，沿途停站總等待時間為11 840 min，總乘車人數(shù)為8 079 人次。人均旅行時間消耗(除列車運行時分)為7.63 min，最大候車等待時間為21.5 min，旅客在沿途站最大停站等待時間消耗為5 min。列車最大服務(wù)能力為15 568 人次。

對比2 套方案，調(diào)整方案放棄了客流量較低的OD 客流q23，q24，q34，減少877 人次的旅客服務(wù)，使得服務(wù)能力提高了4 448 人次，旅客人均旅行時間消耗降低了5.22 min，而最大候車等待時間與原方案相當(dāng)。

可見，通過優(yōu)化模型進(jìn)行修正后，新的停站方案在降低旅客旅行時間、提高服務(wù)能力方面得到明顯改善，可以最大程度滿足高峰期旅客需求激增的需要。

5 結(jié)論

通過對城際鐵路客流高峰時段列車停站方案與運行圖問題同步優(yōu)化，在無法準(zhǔn)確掌握旅客出行數(shù)量及到達(dá)規(guī)律時，通過縮小列車發(fā)車間隔，使得客流被劃分為若干小單元，在小單元內(nèi)旅客到達(dá)基本趨于均勻分布，從而客觀反映實際情況。此外，城際鐵路的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)較簡單，停站數(shù)量也相對較少，以運行列車組停站組合為基礎(chǔ)，協(xié)同優(yōu)化列車開行方案與運行圖，可以大大提高城際列車開行效率，提高通過能力，有效滿足高峰時段激增的旅客出行需求。算例結(jié)果表明所設(shè)計的模型及算法可行，制定的列車停站方案對于后續(xù)制定城際鐵路開行方案及鋪畫運行圖可以提供有效的參考。