一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩動(dòng)力學(xué)建模與精度分析

沈惠平 肖思進(jìn) 尤晶晶 楊廷力

(1.常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213164; 2.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 南京 210037)

0 引言

研究表明，多維并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩透篩環(huán)境好、篩分效率高，能克服傳統(tǒng)振動(dòng)篩運(yùn)動(dòng)軌跡單一、篩孔易阻塞等問(wèn)題[1-4]。文獻(xiàn)[5-7]對(duì)單輸入三維并聯(lián)振動(dòng)篩進(jìn)行了拓?fù)浜瓦\(yùn)動(dòng)分析，并通過(guò)EDEM軟件優(yōu)選出三維并聯(lián)振動(dòng)篩主機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了樣機(jī)篩分實(shí)驗(yàn)，但沒(méi)有進(jìn)行并聯(lián)振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)分析。

動(dòng)力學(xué)建模是并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析、動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)及控制的基礎(chǔ)。常用的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法主要包括動(dòng)力學(xué)普遍方程[8-9]、Newton-Euler法[10]、拉格朗日法等[11]。陳子明等[12]采用動(dòng)力學(xué)普遍方程對(duì)空間3自由度3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，得到機(jī)構(gòu)在發(fā)生定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)。韓博等[13]基于螺旋理論和動(dòng)力學(xué)普遍方程，對(duì)四面體可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與分析，并驗(yàn)證了其可行性。賈曉輝等[14]基于動(dòng)力學(xué)普遍方程，實(shí)現(xiàn)了3-RRPR柔性精密定位工作臺(tái)的高頻控制。韓佩富等[15]對(duì)6-DOF并聯(lián)機(jī)器人采用加速度及作用力正交分解的方法，將Newton-Euler動(dòng)力學(xué)模型歸結(jié)為一個(gè)簡(jiǎn)單、可用于實(shí)時(shí)計(jì)算的模型。王庚祥等[16]考慮關(guān)節(jié)摩擦效應(yīng)采用Newton-Euler法對(duì)4-SPS/CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆動(dòng)力學(xué)分析，證明關(guān)節(jié)摩擦力對(duì)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力影響顯著。李研彪等[17]在考慮關(guān)節(jié)摩擦情況下使用Newton-Euler對(duì)5-PSS/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆動(dòng)力學(xué)建模，同時(shí)進(jìn)行了算例仿真。陳修龍等[18]用Lagrange方程建立了4自由度4-UPS-RPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆動(dòng)力學(xué)模型。劉善增等[19]基于有限元理論、運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力分析方法和Lagrange方程，建立了3-RRS柔性并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。劉俊辰[20]用Lagrange方程建立了5自由度3-CPaR&R1R2混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并驗(yàn)證其有效性。劉文蘭等[21]用Lagrange方程對(duì)由3RR-3RRR四面體單元組成的被動(dòng)輸入過(guò)約束可展天線(xiàn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，得到機(jī)構(gòu)中扭簧剛度與機(jī)構(gòu)展開(kāi)角之間的表達(dá)式。文獻(xiàn)[22]提出基于Newton-Euler (N-E)原理的序單開(kāi)鏈法。馮志友等[23-24]運(yùn)用序單開(kāi)鏈方法分別對(duì)平面氣液動(dòng)連桿機(jī)構(gòu)和空間2UPS-2RPS機(jī)構(gòu)進(jìn)行逆動(dòng)力學(xué)建模。這兩種機(jī)構(gòu)的耦合度κ均為1，故只能得到機(jī)構(gòu)位置的數(shù)值解，且動(dòng)力學(xué)建模工作量大，空間2UPS-2RPS機(jī)構(gòu)僅含有一個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈(Sub-kinematic chain，SKC)，尚未見(jiàn)對(duì)含有多個(gè)SKC的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的報(bào)道；上述研究均未與傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析方法進(jìn)行建模精度的對(duì)比分析。

本文運(yùn)用基于Newton-Euler(N-E)原理的序單開(kāi)鏈法，對(duì)含兩個(gè)SKC的單自由度1T2R并聯(lián)振動(dòng)篩機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，構(gòu)建該機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，并計(jì)算得到主動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)，通過(guò)ADAMS進(jìn)行仿真驗(yàn)證，再與用第Ⅱ類(lèi)Lagrange法得到的驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模誤差對(duì)比分析。

1 并聯(lián)振動(dòng)篩機(jī)構(gòu)

單自由度的一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)(1T2R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1a所示，它由混合支鏈(R1-R2-R3-R4)-R5及空間支鏈S6-S7，分別連接于上動(dòng)平臺(tái)與下靜平臺(tái)組成。文獻(xiàn)[3-4]已證明：該機(jī)構(gòu)自由度為1，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)可以產(chǎn)生沿Z軸的獨(dú)立移動(dòng)z、繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)α和繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R2R3連線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)β，但z、α、β中僅有1個(gè)為獨(dú)立量，其余2個(gè)為非獨(dú)立的衍生運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，機(jī)構(gòu)耦合度κ為0，其實(shí)驗(yàn)樣機(jī)[5-6]如圖1b所示。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置正解

如圖1a所示，在靜平臺(tái)固定坐標(biāo)系OXYZ中，原點(diǎn)O與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1中心重合，Y軸與R1R4連線(xiàn)重合，X軸與R1的軸線(xiàn)重合；動(dòng)平臺(tái)上的動(dòng)坐標(biāo)系o′uvw中，原點(diǎn)o′與轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的中心重合，v軸與R2R3連線(xiàn)重合,u軸與R2的軸線(xiàn)重合。設(shè)R2R3=l2，R3R4=l3，R5S6=l4，S6S7=l5，R1R2=l1，AS7=H，R1R4=l7，AB=l8，R1B=l7/2，因該機(jī)構(gòu)耦合度κ=0，因此, 其運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解符號(hào)解求解容易[2]，具體為

z=l1sinθ

(1)

Asinα+Bcosα+C=0

(2)

Dsinβ+Ecosβ+Q=0

(3)

由式(2)、(3)求得

(4)

(5)

其中

A=2l1l2sinθ

從而易求得機(jī)構(gòu)中各運(yùn)動(dòng)副的位置為

R2=(0,l1cosθ,l1sinθ)
R3=(0,l1cosθ+l2cosα,l1sinθ+l2sinα)
R4=(0,l7,0)
R5=(0,l1cosθ+l2cosα/2,l1sinθ+l2sinα/2)
S6=(-l4cosβ,S6y,S6z)
S7=(-l8,l7/2,H)

其中S6y=l1cosθ-l4sinαsinβ+l2cosα/2

S6z=l1sinθ+l4sinβcosα+l2sinα/2

進(jìn)一步，每根桿件的質(zhì)心坐標(biāo)Si(i=1,2,…,5)由以上各式也易求出。

2.2 速度和加速度分析

令θ=ωt，對(duì)式(1)～(3)求導(dǎo)，可得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

進(jìn)一步，對(duì)各桿質(zhì)心坐標(biāo)求導(dǎo)，可得質(zhì)心速度vi(i=1,2,…,5)，再次求導(dǎo)可得質(zhì)心加速度ai(i=1,2,…,5)。

(1)桿1(角)速度和(角)加速度

由R1、R2坐標(biāo)易求得轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2處的速度vR1=0,vR2=(0,-l1ωsinθ,l1ωcosθ),則

v1=(vR1+vR2)/2=vR1+ω1×r1/2

(12)

(13)

對(duì)式(12)、(13)兩邊叉乘r1/2，得角速度、角加速度分別為

ω1=[r1/2×(v1-vR1)]/(l1/2)2

(14)

(15)

式中v1——桿1質(zhì)心速度

a1——桿1質(zhì)心加速度

ω1——桿1角速度

ε1——桿1角加速度

r1——桿1位置矢量

(2)桿2(角)速度和(角)加速度

同理，由R2、R3坐標(biāo)，易求得vR2、vR3，則

v2=(vR2+vR3)/2=vR2+ω2×r2/2

(16)

(17)

對(duì)式(16)、(17)兩邊叉乘r2/2，得角速度、角加速度為

ω2=[r2/2×(v2-vR2)]/(l2/2)2

(18)

(19)

(3)桿3、4、5(角)速度和(角)加速度

同理，得桿3、4、5角速度、角加速度，分別為

ω3=[r3/2×(v3-vR4)]/(l3/2)2

(20)

(21)

ω4=[r4/2×(vR5-vS6)]/(l4/2)2

(22)

(23)

ω5=[r5/2×(vR5-vS6)]/(l5/2)2

(24)

(25)

3 基于N-E的序單開(kāi)鏈法動(dòng)力學(xué)建模

3.1 基于N-E的序單開(kāi)鏈法動(dòng)力學(xué)方法

根據(jù)基于序單開(kāi)鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成原理[25]，該機(jī)構(gòu)包含2個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈(SKC)，其中，SKC1為R1-R2-R3-R4，SKC2為R5-S6-S7，其約束度分別為

Δ1=f1-γ1-ξ1=4-1-3=0
Δ2=f2-γ2-ξ2=(1+5)-0-6=0

式中f1、f2——2個(gè)回路運(yùn)動(dòng)副自由度數(shù)

γ1、γ2——2個(gè)回路的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

ξ1、ξ2——2個(gè)回路的獨(dú)位移方程數(shù)

由約束度為0可知，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)不需要設(shè)虛擬變量。因此，整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析可轉(zhuǎn)換為2個(gè)SKC的動(dòng)力學(xué)分析，且從含受外載作用的動(dòng)平臺(tái)所在的SKC2開(kāi)始，逆向求解至曲柄所在的SKC。

3.2 SKC2動(dòng)力學(xué)建模

SKC2各桿的受力分析如圖2所示，即桿件5受到靜平臺(tái)的支反力-FS7、球副S6的支反力-FS6以及自重m5g；而動(dòng)平臺(tái)(桿)4受到外載F、外力矩M′、自重m4g，轉(zhuǎn)動(dòng)副R5的支反力FR5、球副S6的約束反力FS6以及在支鏈坐標(biāo)系o″u″v″w″下的支反矩MR5=(0,MR5v″,MR5w″)。

根據(jù)Newton-Euler(N-E)原理，SKC2中構(gòu)件5、4的動(dòng)力學(xué)方程為

(26)

式中0Ii——桿i在靜坐標(biāo)系中的慣量矩陣

0Ti——桿i坐標(biāo)系到靜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣

求解方程組(26),即得支反力FS6FS7FR5及支反力矩MR5。

3.3 SKC1動(dòng)力學(xué)建模

SKC1各桿的受力分析如圖3所示。因該回路屬于平面機(jī)構(gòu)，各轉(zhuǎn)動(dòng)副中的受力為FRi(i=1，2，3，4)，即：桿3受到靜平臺(tái)的支反力FR4、轉(zhuǎn)動(dòng)副R3的支反力FR3及自身重力m3g；桿2受到轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri的支反力-FRi(i=2,3,5)、支反力矩-MR5x(-MR5在yoz平面的投影)及自身重力m2g；而曲柄(桿)1受到輸入力矩M、轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的支反力FR2、靜平臺(tái)的支反力FR1及自身重力m1g。

于是，SKC1中的桿件3、2、1的動(dòng)力學(xué)方程為

(27)

式中JS1、JS2、JS3——桿1、2、3在靜坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求解方程組(27)，即可得到輸入力矩M。

3.4 算例驗(yàn)證

設(shè)定曲柄的運(yùn)動(dòng)軌跡為θ=0.3sint，則可得到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡；對(duì)式(12)～(27)用Matlab編程計(jì)算，得到各支反力(力矩)和驅(qū)動(dòng)力矩的變化曲線(xiàn)，其中，驅(qū)動(dòng)力矩曲線(xiàn)如圖4所示。

按表1所示的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)，設(shè)計(jì)虛擬樣機(jī)。

表1 1T2R并聯(lián)振動(dòng)篩機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)Tab.1 Parameters of 1T2R vibrating screen

將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入ADAMS中；同時(shí)，設(shè)定機(jī)構(gòu)各個(gè)桿件的材料屬性為鋼，步長(zhǎng)取0.01 s，仿真時(shí)間為5 s，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。最后，將理論計(jì)算值與仿真進(jìn)行對(duì)比，得到結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，基于N-E序單開(kāi)鏈法的理論值和仿真值基本一致，從而驗(yàn)證了此方法的準(zhǔn)確性。

4 與Lagrange建模方法比較

4.1 基于第Ⅱ類(lèi)Lagrange的動(dòng)力學(xué)求解方法

由機(jī)構(gòu)速度和角速度分析，可得各桿件動(dòng)能為

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中Ti——桿i動(dòng)能

mi——桿i質(zhì)量

將定坐標(biāo)系XOY平面設(shè)為零勢(shì)能面，則桿i的勢(shì)能為

Ui=migzi(i=1，2，…，5)

(33)

式中zi——桿i相對(duì)零勢(shì)能面的高度

由式(28)～(33)，分別得到系統(tǒng)總動(dòng)能、勢(shì)能為

(34)

(35)

基于Lagrange原理，由式(34)、(35)得到該并聯(lián)振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)方程為

(36)

其中

L=T-U

(37)

τ=M+M′+F

(38)

式中L——拉格朗日函數(shù)

τ——與驅(qū)動(dòng)力相對(duì)應(yīng)的廣義力矩

利用Matlab對(duì)式(36)進(jìn)行計(jì)算，得到驅(qū)動(dòng)力矩曲線(xiàn)如圖5所示。

4.2 與Lagrange建模方法誤差比較

由圖4、5可知，兩種方法的一致性很高，但存在誤差，這是由不同建模方法計(jì)算量不同、虛擬樣機(jī)的尺寸參數(shù)、裝配關(guān)系、仿真環(huán)境等因素所引起的。

將兩種不同建模方法得到的驅(qū)動(dòng)力矩曲線(xiàn)與仿真值之間的誤差進(jìn)行比較，表明：基于N-E的序單開(kāi)鏈法的最大正誤差、最大負(fù)誤差絕對(duì)值，均明顯小于Lagrange法的相應(yīng)值。基于N-E的序單開(kāi)鏈法、Lagrange法的最大正誤差分別為1.94、2.92 N·mm，前者比后者小33.56%；而基于N-E的序單開(kāi)鏈法、Lagrange法的最大負(fù)誤差分別為-1.91、-2.86 N·mm，前者比后者小33.21%?？傊?，基于N-E原理的序單開(kāi)鏈法的絕對(duì)誤差范圍，比基于Lagrange建模方法的絕對(duì)誤差范圍平均小33.39%。結(jié)果表明：對(duì)于單自由度1T2R并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩而言，基于N-E原理的序單開(kāi)鏈法的的建模精度較高。同時(shí)，作者團(tuán)隊(duì)已將基于N-E原理的序單開(kāi)鏈法應(yīng)用在了3個(gè)不同自由度(DOF為1、2、3)、不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析求解，均顯示了該方法計(jì)算量小、建模精度高的優(yōu)點(diǎn)，特別是當(dāng)空間構(gòu)件數(shù)目增多時(shí)，優(yōu)越性更加明顯。

5 結(jié)論

(1)運(yùn)用基于N-E原理的序單開(kāi)鏈法與第Ⅱ類(lèi)Lagrange法，分別建立了單自由度1T2R并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)模型，并計(jì)算得到了驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)，計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的正確性。

(2)將基于N-E原理的序單開(kāi)鏈法用于含多個(gè)SKC的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且與運(yùn)用Lagrange法的動(dòng)力學(xué)建模方法進(jìn)行了誤差對(duì)比，結(jié)果表明，本文方法誤差較小、建模精度較高。