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    考慮全局應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計

    2021-03-20 08:10:48占金青彭怡平
    農(nóng)業(yè)機械學(xué)報 2021年2期
    關(guān)鍵詞:鉸鏈范數(shù)構(gòu)型

    占金青 彭怡平 羅 震 劉 敏

    (1.華東交通大學(xué)機電與車輛工程學(xué)院, 南昌 330013; 2.悉尼科技大學(xué)機械與機電工程學(xué)院, 悉尼 NSW2007)

    0 引言

    柔順機構(gòu)利用自身柔性構(gòu)件引起的變形來實現(xiàn)運動、力或能量傳遞或轉(zhuǎn)換,具有免裝配、無需潤滑和高精度等優(yōu)點[1-3],因此廣泛應(yīng)用于精密定位、生物工程和微機電系統(tǒng)等領(lǐng)域[4-7]。

    柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計在滿足約束條件下尋求機構(gòu)設(shè)計域內(nèi)材料的最佳分布,使機構(gòu)的某種性能達到最優(yōu)[8-9]。在實際工作中柔順機構(gòu)往往發(fā)生大變形或大轉(zhuǎn)動,因此采用非線性有限元理論進行大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計非常有必要。PEDERSEN等[10]提出柔順機構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法,并且研究了考慮軌跡規(guī)劃的大變形柔順機構(gòu)設(shè)計問題。BRUNS等[11]采用弧長法進行非線性有限元求解,基于幾何非線性和材料非線性進行柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。BRUNS等[12]提出考慮復(fù)雜跳躍性能的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。DU等[13]采用無網(wǎng)格有限元方法進行大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,以避免低密度單元引起的不收斂問題。LUO等[14]采用參數(shù)化水平集方法進行大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,獲得具有光滑邊界的機構(gòu)構(gòu)型。LIU等[15]采用改進的超彈材料模型進行大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,能夠克服低密度單元的不穩(wěn)定性問題。ZHU等[16]提出基于完全解耦的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法,可抑制多自由度機構(gòu)的輸入、輸出耦合效應(yīng)。柔順機構(gòu)的大變形容易引起靜強度失效,因此需考慮應(yīng)力約束限制大變形柔順機構(gòu)最大的應(yīng)力。上述研究進行柔順機構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計時并未考慮應(yīng)力約束。

    目前,柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化研究主要基于小變形線彈性有限元理論。DUYSINX等[17]采用局部應(yīng)力約束進行柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,但是局部約束數(shù)目太大,導(dǎo)致計算效率降低。LEON等[18]采用全局應(yīng)力約束進行柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,有效地提高了計算效率。占金青等[19]采用P范數(shù)方法進行柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,能夠有效避免單節(jié)點鉸鏈。CHU等[20]采用水平集方法進行多相材料柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,使每相材料結(jié)構(gòu)滿足相應(yīng)的應(yīng)力約束。

    為了避免大變形引起靜強度失效,本文提出一種考慮全局應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。采用Total-Lagrangian描述方法求解機構(gòu)的大變形響應(yīng)問題;采用基于假設(shè)密度場的單元勢能插值法,以避免幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化出現(xiàn)的數(shù)值不收斂問題;以輸出位移最大化作為優(yōu)化目標(biāo),采用改進的P范數(shù)將所有單元局部應(yīng)力約束轉(zhuǎn)換為一個全局應(yīng)力約束,構(gòu)建考慮全局應(yīng)力約束的柔順機構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化模型;采用移動漸近算法求解大變形柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題。

    1 幾何非線性有限元分析

    采用Total-Lagrangian描述方法,以初始構(gòu)型作為參考構(gòu)型,大變形結(jié)構(gòu)的任一點i的構(gòu)型與位移之間關(guān)系表示為

    xi=ui+Xi

    (1)

    式中Xi——初始構(gòu)型

    ui——任一點的位移矢量

    xi——現(xiàn)時構(gòu)型

    對式(1)關(guān)于初始構(gòu)型Xi求導(dǎo),可求導(dǎo)變形梯度F為

    (2)

    式中δij——Kronecker符號函數(shù)

    變形梯度F左乘其轉(zhuǎn)置矩陣可得右Cauchy-Green變形C為

    C=FTF

    (3)

    當(dāng)僅為剛體轉(zhuǎn)動時,Cij=δij。

    變形梯度F的行列式稱為Jacobian行列式J,表示結(jié)構(gòu)體積的變化,其表示為

    J=det(F)

    (4)

    由右Cauchy-Green變形C可得初始構(gòu)型Xi下的應(yīng)變,即為Green-Lagrange應(yīng)變E,計算式為

    (5)

    式中I——單位矩陣

    與Green-Lagrange應(yīng)變E能量共軛的應(yīng)力是第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力S,可表示為

    (6)

    式中Φ——彈性勢能密度函數(shù),本文采用St. Venant-Kirchhoff模型

    第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力S對Green-Lagrange應(yīng)變E求導(dǎo),可得彈性矩陣D為

    (7)

    將機構(gòu)設(shè)計域離散為有限個單元,大變形結(jié)構(gòu)的平衡方程可表示為

    (8)

    式中R——結(jié)構(gòu)殘余力

    Fin——外載荷向量

    BL——應(yīng)變矩陣V0——結(jié)構(gòu)體積

    采用增量式Newton-Raphson法求解幾何非線性有限元平衡方程

    KTΔu=R

    (9)

    其中

    式中 Δu——節(jié)點位移矢量的增量

    KT——切線剛度矩陣

    結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移矢量可更新為

    un+1=un+Δu

    (10)

    第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力S也可表示為

    S=JF-1σ(F-1)T

    (11)

    式中σ——Cauchy應(yīng)力,它為現(xiàn)時構(gòu)型xi下的應(yīng)力,表示大變形結(jié)構(gòu)的真實應(yīng)力

    由式(11)可求得Cauchy應(yīng)力σ為

    σ=J-1FSFT

    (12)

    (13)

    2 單元勢能插值法

    對于大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,低單元密度區(qū)域的網(wǎng)格容易發(fā)生畸變,從而導(dǎo)致數(shù)值不收斂現(xiàn)象。采用基于假設(shè)密度場的單元勢能插值法[21]克服這種不收斂現(xiàn)象,對實體單元和空洞單元分別采用非線性理論和線性理論求解;任一單元e的勢能函數(shù)Φe表示為

    Φe(ue)=(Φ(γeue)-ΦL(γeue)+ΦL(ue))Ee

    (14)

    式中Ee——單元e彈性模量

    ue——單元節(jié)點位移矢量

    Φ——單位彈性模量對應(yīng)的勢能密度函數(shù)

    ΦL——基于線性理論的勢能密度函數(shù)

    γe——插值系數(shù)

    對于空洞單元,采用線性理論,即插值系數(shù)γe=0;對于實體單元,采用非線性理論,即插值系數(shù)γe=1。

    采用改進的固體各向同性材料懲罰模型[22]描述機構(gòu)的材料分布,單元彈性模量Ee表示為

    (15)

    式中E1——材料彈性模量

    E0——空洞材料彈性模量,取10-9E1

    k——懲罰系數(shù),取3

    空洞單元和實體單元插值系數(shù)分別為0和1,但是拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計采用連續(xù)單元密度變量,因此存在介于實體單元和空洞域單元之間的中間密度單元,需要對插值系數(shù)進行插值,使其在取值區(qū)間[0,1]連續(xù)變化。因此,采用閾值映射函數(shù)[11]對插值系數(shù)γe進行插值處理,即

    (16)

    式中ρ0——界定為實體單元的閾值

    β1——控制參數(shù)

    3 大變形柔順機構(gòu)全局應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化模型

    3.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

    為了滿足機構(gòu)的運動需求,以大變形柔順機構(gòu)的輸出位移最大化為目標(biāo)函數(shù);為了避免大變形引起的靜強度失效,采用單元勢能插值法,建立考慮全局應(yīng)力約束的柔順機構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為

    (17)

    式中ρ——單元密度矢量

    Uout——柔順機構(gòu)輸出位移

    V——優(yōu)化后體積

    ve——單元e體積

    ρe——單元e密度

    f*——允許體積份數(shù)

    σmax——機構(gòu)最大von Mises應(yīng)力

    σ*——允許應(yīng)力極限值

    N——有限單元數(shù)目

    3.2 全局應(yīng)力約束

    為了避免大變形柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化出現(xiàn)奇異解現(xiàn)象,采用應(yīng)力松弛方法[23]對所有單元的von Mises應(yīng)力進行懲罰

    (18)

    式中σe——松弛應(yīng)力

    q——松弛因子,取值為1

    同時,為了提高計算效率,采用改進的P范數(shù)方法[24]將柔順機構(gòu)所有的單元局部應(yīng)力凝聚化為一個全局的P范數(shù)應(yīng)力,即

    (19)

    式中p——P范數(shù)參數(shù)

    理論上,P范數(shù)參數(shù)p→∞時,P范數(shù)應(yīng)力趨近最大應(yīng)力σmax。然而,p越大,大變形柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題的高度非線性程度越明顯,甚至導(dǎo)致迭代不收斂。p的取值不能過大,否則導(dǎo)致P范數(shù)應(yīng)力和機構(gòu)的最大應(yīng)力存在一定的數(shù)值差異。為了消除這種數(shù)值差異,采用自適應(yīng)縮放方法[25]修正機構(gòu)的P范數(shù)應(yīng)力,即

    σmax≈cσPN

    (20)

    式中c——自適應(yīng)系數(shù)

    4 靈敏度分析及過濾技術(shù)

    4.1 靈敏度分析

    柔順機構(gòu)輸出位移Uout可表示為

    Uout=LTu

    (21)

    式中L——伴隨載荷矢量,除了輸出位移方向?qū)?yīng)的載荷為1,其他自由度方向的載荷均為0

    引入伴隨矩陣λ1,機構(gòu)輸出位移Uout可表示為

    (22)

    由式(22)可求得機構(gòu)輸出位移的靈敏度為

    (23)

    (24)

    因此,機構(gòu)輸出位移Uout靈敏度為

    (25)

    同理,引入伴隨矩陣λ2,由式(18)~(20)可求得應(yīng)力約束的靈敏度為

    (26)

    (27)

    式(26)可簡寫為

    (28)

    由式(18)~(20)可求得σmax對位移u的導(dǎo)數(shù)為

    (29)

    其中

    σmax對位移ue的導(dǎo)數(shù)可改寫為

    (30)

    其中

    A=(-J-1C-1BL)TFSFT

    式中G——輔助矩陣

    通過應(yīng)力約束對單元物質(zhì)密度求偏導(dǎo)可得

    (31)

    由式(26)和式(32)可得應(yīng)力約束的靈敏度為

    (32)

    4.2 映射過濾方法

    基于變密度法的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計結(jié)果容易出現(xiàn)棋盤格、網(wǎng)格依賴性等不穩(wěn)定性現(xiàn)象。采用密度過濾方法[26]避免上述數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象,即

    (33)

    其中

    w(yj)=rmin-‖yj-ye‖

    yj——單元j中心坐標(biāo)

    vj——單元j體積ρj——單元j密度

    Ne——與單元e中心的距離不超過最小過濾半徑rmin的所有單元集合

    w(yj)——權(quán)重因子

    ye——單元e中心坐標(biāo)

    采用密度過濾獲得的拓?fù)錁?gòu)型邊界仍然出現(xiàn)較多的中間單元。采用光滑的Heaviside映射函數(shù)[27]修正過濾的單元密度,使得單元密度向0和1兩端集中,即

    (34)

    式中η——閾值,取值為0.5

    β——控制光滑程度的參數(shù)

    對于大變形柔順機構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題,采用移動漸近線算法(Method of moving asymptotes,MMA)[28]進行求解。綜上所述,本文提出的考慮全局應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法流程圖如圖1所示。

    5 數(shù)值算例

    圖2表示柔性反向器的設(shè)計域、固定邊界、作用載荷和輸出作用。設(shè)計域L×L為300 μm×300 μm,厚度d為7 μm,左上端和左下端為固定邊界,載荷Fin作用在左端中點,其大小為200 mN,輸入彈簧剛度kin和輸出彈簧剛度kout分別為3 000、300 N/m。選用多晶硅材料,其彈性模量E1為180 GPa,泊松比μ為0.3,強度極限范圍一般為1~10 GPa[29]。允許體積份數(shù)f*為0.25,控制參數(shù)β初始值取為1,每間隔50迭代步增大1倍,最大值為14,P范數(shù)參數(shù)p取值為8,過濾半徑rmin為4.5倍單元尺寸。輸入、輸出作用區(qū)域的應(yīng)力不作限制,如圖2黑色區(qū)域所示。

    首先,采用無應(yīng)力約束的柔順機構(gòu)幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化模型進行柔性反向器設(shè)計,拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖3所示,反向器構(gòu)型出現(xiàn)集中式柔度的單節(jié)點鉸鏈,最大應(yīng)力為5.70 GPa,應(yīng)力分布極為不均勻,輸出位移為-6.34 μm。允許應(yīng)力約束值取為1.50 GPa,進行考慮全局應(yīng)力約束的大變形反向器幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖4所示,反向器構(gòu)型中的鉸鏈區(qū)域被擴大,使得機構(gòu)的柔度分布更加均勻,從而有效地抑制了集中式柔度的單節(jié)點鉸鏈出現(xiàn),且機構(gòu)的應(yīng)力分布更加均勻,但應(yīng)力約束導(dǎo)致輸出位移有所減小。

    圖5為考慮全局應(yīng)力約束的大變形反向拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程曲線,優(yōu)化初始階段機構(gòu)的最大應(yīng)力急劇下降,隨后又急劇增大,這是由材料突然被大量移除而導(dǎo)致;由于參數(shù)β值每間隔50迭代步發(fā)生變化,引起最大應(yīng)力間隔50迭代步會發(fā)生振蕩;最終很好地收斂于允許的應(yīng)力約束值1.50 GPa。

    考慮有、無全局應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的大變形柔性反向器的變形圖如圖6所示。與無應(yīng)力約束優(yōu)化結(jié)果相比,應(yīng)力約束(σ*為1.50 GPa)拓?fù)鋬?yōu)化獲得的大變形反向器構(gòu)型中的鉸鏈區(qū)域被擴大,使得發(fā)生變形的區(qū)域相對更大,而不是依靠集中式柔度的單節(jié)點鉸鏈實現(xiàn)大變形。

    允許應(yīng)力約束值σ*分別為3.00、2.75、2.50、2.25、2.00、1.50 GPa進行反向器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,獲得的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示。隨著允許的應(yīng)力約束值減小,反向器構(gòu)型中的鉸鏈區(qū)域逐漸被擴大,使得機構(gòu)的柔度分布更加均勻,反向器構(gòu)型逐漸由集中式柔度分布轉(zhuǎn)變?yōu)榉植际饺岫确植?,鉸鏈區(qū)域的應(yīng)力分布更加均勻,最大應(yīng)力均很好地滿足應(yīng)力約束,表明應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠有效地抑制集中式柔度的單節(jié)點鉸鏈;但是機構(gòu)的輸出位移逐漸減小,如表1所示。

    表1 不同允許應(yīng)力獲得的反向器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of inverters obtained by topology optimization using different allowable stress limits

    6 結(jié)論

    (1)為了避免大變形引起靜強度失效,采用單元勢能插值法以避免幾何非線性拓?fù)鋬?yōu)化出現(xiàn)的數(shù)值不收斂問題,利用改進的P范數(shù)引入全局的應(yīng)力約束,提出一種考慮全局應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。

    (2)與無應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比,采用全局應(yīng)力約束的大變形柔順機構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法獲得的機構(gòu)構(gòu)型鉸鏈區(qū)域被擴大,使柔度分布更加均勻,抑制了集中式柔度單節(jié)點鉸鏈的出現(xiàn),應(yīng)力分布更加均勻。

    (3)隨著允許應(yīng)力約束值的減小,大變形柔順機構(gòu)構(gòu)型中的鉸鏈區(qū)域逐漸擴大,使機構(gòu)的柔度分布更加均勻,鉸鏈區(qū)域的應(yīng)力分布更加均勻,并且機構(gòu)的最大應(yīng)力均很好地滿足應(yīng)力約束,但是輸出位移逐漸減小。

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