渦激響應(yīng)尾流雙振子模型的參數(shù)反演方法

顏凝雨，楊自豪*，張潔瓊，林 巍，劉孟源

(1.西北工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710072；2.中交懸浮隧道工程技術(shù)聯(lián)合研究組，珠海 519000)

1 引 言

任何非流線型物體在一定的恒定流速下，都會在物體兩側(cè)交替地產(chǎn)生脫離物理結(jié)構(gòu)表面的周期性漩渦，從而誘發(fā)彈性支撐結(jié)構(gòu)物的渦激振動現(xiàn)象VIV[1]。大量實際工程問題中，許多圓柱結(jié)構(gòu)，如懸浮隧道、深水立管、高空桅桿和新型風(fēng)力發(fā)電等，均可能出現(xiàn)渦激振動現(xiàn)象。雖然合理利用渦激振動會為人們帶來便利，但其誘發(fā)的共振也會對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的疲勞損害。

研究圓柱結(jié)構(gòu)的渦激振動主要有試驗法[2-4]、數(shù)值方法[5,6]和經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚7,8]。試驗方法雖然直觀可靠，但成本較高；數(shù)值方法雖然在計算精度上占有一定優(yōu)勢，但計算較為復(fù)雜，尤其是在高雷諾數(shù)的情況下。而經(jīng)驗?zāi)Ｐ涂奢^快計算渦激振動的主要特征，還可以在模型的指導(dǎo)下設(shè)計試驗或者研究某個參數(shù)對試驗結(jié)果的影響，因此經(jīng)驗?zāi)Ｐ头ㄕ艿絿鴥?nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注，其中尾流振子模型是應(yīng)用較為廣泛的一種模型。

Bishop等[9]認為流體的尾流對圓柱體結(jié)構(gòu)的作用相當于一個非線性振子，首次提出了尾流振子模型。之后，Hartlen等[10]將Vander Pol方程與結(jié)構(gòu)振動方程聯(lián)立，使尾流振子模型更加具體化。Skop等[11]進一步改進了Hartlen的模型，對模型經(jīng)驗參數(shù)進行了研究；Landle[12]提出了一個擁有五階非線性氣動阻尼項的無量綱尾流振子模型；Facchinetti等[13]通過分析對比發(fā)現(xiàn)加速度耦合模型可以更準確地定量預(yù)測渦激振動的基本特征；Ogink等[14]對Facchinetti的尾流振子模型建立過程進行了具體分析，通過引入頻率耦合變量進一步改進了模型。但上述對尾流振子的研究大多針對橫向單自由度，而實際的渦激振動中橫向振動和順流向振動往往相互影響，許多學(xué)者也針對雙自由度的尾流振子模型做了研究。Krenk等[15]根據(jù)流固耦合的能量流平衡原則構(gòu)建了雙振子模型；Srinil等[16]提出了一種改進的用于預(yù)測均勻流中柔性圓柱體的二維耦合尾流雙振子模型?？登f等[17]建立了非線性結(jié)構(gòu)振子和流體振子的耦合模型，可以較準確預(yù)報低質(zhì)量比圓柱結(jié)構(gòu)雙自由度渦激振動的特征。Yang等[18]提出一種新的渦激振動非線性耦合尾流振子模型，其只使用一個尾流振蕩器來耦合橫向和順流向的運動。在實際應(yīng)用中，不是所有模型的參數(shù)都可以通過物理方法測量得到，尾流振子模型的應(yīng)用往往面臨參數(shù)選取的難題，參數(shù)選取的偏差可能導(dǎo)致計算結(jié)果的不準確，從而無法充分發(fā)揮經(jīng)驗?zāi)Ｐ驮谘芯繙u激振動問題中的優(yōu)勢。

解決復(fù)雜模型參數(shù)反演問題的方法有很多種，其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法以其高速尋優(yōu)和自學(xué)習(xí)等優(yōu)勢在參數(shù)反演問題中得到廣泛的應(yīng)用，如Spichak等[19]運用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解地電三維逆問題，證實神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以成功地用于地電三維逆問題參數(shù)反演；Cerdena等[20]在測定海洋層積云物理性質(zhì)的研究中，運用遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對輻射傳輸模型中的參數(shù)進行了反演；Zhao等[21]提出一種人工蜂群算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對巖土工程中的模型參數(shù)進行了反演。國內(nèi)外沒有針對尾流振子模型參數(shù)反演的研究工作。

本文研究尾流雙振子模型中參數(shù)的反演方法。首先利用降階法將模型變?yōu)橐粋€常系數(shù)多變量的非線性一階常微分方程組，并利用龍格-庫塔方法進行求解。設(shè)計懸浮隧道物理模型的水槽試驗，在給定的多組物理參數(shù)和試驗數(shù)據(jù)下，構(gòu)建最優(yōu)化模型，利用遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能算法反演未知參數(shù)。

2 渦激響應(yīng)尾流雙振子模型

柔性圓柱結(jié)構(gòu)雙自由度渦激振動模型[16]如 圖1 所示。假定直徑為D的圓柱結(jié)構(gòu)無限長，水平和豎直方向，即X和Y兩個方向的彈簧剛度分別為Kx和Ky,水的流速為V,圓柱體受到雙向四個彈簧的作用力，在X和Y兩個空間方向上自由振動，無量綱形式的渦激響應(yīng)尾流雙振子模型可表示為[16]

(1)

圖1 柔性圓柱結(jié)構(gòu)雙自由度渦激振動

λx=2ξxf*+γΩ/μx,λy=2ξy+γΩ/μy

(2)

式中ξx和ξy為結(jié)構(gòu)水平和豎向運動阻尼比，取值范圍為[0.01,0.08]；f*為X和Y兩方向結(jié)構(gòu)固有頻率之比，取值范圍為[0.5,1.5]，γ為Stall參數(shù)，取值為0.8；Ω=St·Vr為靜水中旋渦脫落頻率與圓柱橫流固有頻率之比，St為Strouhal數(shù)，取值為0.2，Vr=V/(Dfn)為約化速度,fn為Y方向結(jié)構(gòu)固有頻率，μx和μy表達式為

(3)

此外，(αx,αy,βx，βy)為無量綱幾何非線性系數(shù)，表征位移非線性項對本身的影響。MD和ML為系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)，

(4)

式中CD 0和CL0分別為靜置圓柱結(jié)構(gòu)的阻力和升力系數(shù)，取值為0.2[16]和0.3；St為斯特魯哈爾數(shù)，取值為0.2；εx和εy為尾流系數(shù)；Λx和Λy為經(jīng)驗耦合參數(shù)，均取為12。

對于質(zhì)量分布均勻的圓柱體，有

(5)

且可取εx=0.3，εy由試驗數(shù)據(jù)擬合得到，其擬合表達式為

εy(m*)=b1eb2 m*

(6)

式中b1=0.00234，b2=0.228。

由式(1)可知尾流雙振子模型是一個多變量的二階非線性常微分方程組，現(xiàn)運用降階法將該模型化為一個常系數(shù)多變量的一階非線性常微分方程組。引入如下變量

u=(u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8)T=

(7)

式中T為矩陣的轉(zhuǎn)置。方程組(1)可轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組(8)。

(8)

進一步，式(7，8)可以改寫為

(9)

式中M和g的定義如下

(10)

g(t,u,αx,αy,βx,βy)=(g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8)T

式中

g1=u5，g2=u6，g3=u7，g4=u8

MDΩ2u2-2πMLΩ2(u4u7/Vr)

MLΩ2u4+2πMDΩ2(u2u7/Vr)

(11)

給定初值u0,該一階非線性常微分方程系統(tǒng)可使用經(jīng)典的龍格-庫塔方法進行求解。

3 圓柱結(jié)構(gòu)渦激振動響應(yīng)水槽試驗

3.1 試驗?zāi)康?/h3>

尾流雙振子模型中(αx,αy,βx，βy)四個參數(shù)表征位移非線性項的影響，無法通過試驗直接測得，其他參數(shù)均可通過試驗或經(jīng)驗獲得。若想得到上述四個參數(shù)的值，由模型(9)可知，一種可行的方案是通過圓柱體渦激振動時的位移數(shù)據(jù)來反演這四個未知參數(shù)。因此，本節(jié)設(shè)計圓柱結(jié)構(gòu)的水槽試驗，測得圓柱結(jié)構(gòu)在不同水流力(流速)作用下水平和豎直方向的位移時間序列及運動軌跡。

3.2 試驗設(shè)計

現(xiàn)有的圓柱結(jié)構(gòu)渦激振動試驗不考慮懸浮隧道等實際工程結(jié)構(gòu)試驗節(jié)段的真實剛度，試驗結(jié)果無法反映真實結(jié)構(gòu)的剛度和自振頻率，試驗結(jié)果與實際值誤差較大。本節(jié)給出新型的圓柱結(jié)構(gòu)水槽試驗設(shè)計方案。

首先運用等效固有振頻法計算懸浮隧道等實際工程結(jié)構(gòu)某一節(jié)斷的真實剛度值k0,計算公式為

k0=(4π2m)/T2

(12)

式中m為某一節(jié)段的質(zhì)量，T為該節(jié)段在水中的固有頻率。其次根據(jù)相似準則，將真實剛度k0按照比尺換算成試驗?zāi)Ｐ偷膭偠萲1,并據(jù)此配置水平和豎向彈簧的剛度。最后將試驗?zāi)Ｐ头湃胨刂羞M行試驗，浮筒式試驗裝置如圖2所示。

圖2 試驗裝置設(shè)計

試驗采用直徑為8 cm和長度為70 cm的透明樹脂材料制成的空心圓柱體模擬深海懸浮隧道等實際工程結(jié)構(gòu)的節(jié)段(等剛度模型)，模型重 3.3 kg，浮重比1.07，試驗比尺為 1∶157.5。圓柱體使用4根彈簧與透明固定板鏈接，其中橫向和豎向彈簧剛度分別取為30.6 N/m和21.6 N/m，彈簧原始長度均為100 mm，圓柱體、彈簧和透明固定板之間均采用L型鋼扣栓接，如圖3(a)所示。靜止狀態(tài)下，彈簧長度為192 mm，如圖3(b)所示。

選取天津水運工程科學(xué)研究院水槽廳的波流水槽為試驗場地，水槽寬70 cm，長30 m，水深 57 cm，造流范圍為0.02 m/s～0.5 m/s，水槽尾端采用斜坡式消波框防止波浪反射。將試驗?zāi)Ｐ头湃?.5倍水深處進行試驗，并在模型截面貼上紅色方塊標志點，如圖3(b)所示。不斷改變水的流速，利用相機對標志點進行動態(tài)捕捉，然后利用 Matlab 編寫的視頻識別程序，抓取每一幀中標志點中心的位置，并將前后兩幀位置數(shù)據(jù)進行比較，從而得到圓柱體在不同物理流速下水平和垂向位移隨時間變化的數(shù)據(jù)。試驗共進行9組，每組試驗所對應(yīng)的水的流速和約化速度列入表1。

圖3 試驗裝置

表1 9組試驗中水的流速和約化速度Tab.1 Water velocity and reduced velocity in 9 sets of tests

3.3 試驗結(jié)果

不同流速下圓柱結(jié)構(gòu)的運動軌跡經(jīng)過無量綱處理后如圖4所示。可以看出，運動軌跡呈8字形，且隨著流速的增大，模型在豎直方向的運動幅度增大，在第五組達到最大，考慮可能達到了鎖定流速區(qū)間，即當流速在此區(qū)間內(nèi)時，圓柱結(jié)構(gòu)振動頻率近乎不變，振幅維持較高水平；且隨著流速增加，模型所受橫向拖拽力增加，無量綱橫向位移一直增大，這與以往研究保持一致[8]。

4 參數(shù)反演的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

4.1 參數(shù)反演的最優(yōu)化模型

根據(jù)第3節(jié)中每組試驗，可以得到對應(yīng)的位移試驗數(shù)據(jù)

(i=1,…,n;ti∈[0,tmax](13)

而每給定一組參數(shù)(αx,αy,βx，βy),求解微分方程系統(tǒng)(9)，可得到對應(yīng)的位移計算數(shù)據(jù)，記作

x(t,αx,αy,βx,βy),y(t,αx,αy,βx,βy)

(t∈[0,tmax])

(14)

下面構(gòu)建參數(shù)反演的最優(yōu)化模型，即求(αx,αy,βx,βy),使

(15)

由于本文關(guān)注的核心為振子的幅值和均方根，因此可引入向量函數(shù)

opt(x,y)=[rms(x),rms(y),max(x),max(y),

min(x),min(y)]T

式中max(·)和min(·)分別為向量的最大和最小分量，rms(·)為均方根。

N為向量x的長度。目標函數(shù)可以取為

(16)

求解最優(yōu)化問題(15，16)即可得到未知參數(shù)的一組最優(yōu)值。

圖4 不同流速下圓柱的運動軌跡

4.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種由大量處理單元互聯(lián)組成的非線性、自適應(yīng)信息處理系統(tǒng)，具有快速求解最優(yōu)化解的能力，其最小最重要的單元叫神經(jīng)元，每個神經(jīng)元都有輸入連接和輸出連接，這些連接模擬了大腦中突觸的行為，每一個連接都有對應(yīng)權(quán)重。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱藏層和輸出層構(gòu)成，是一種按誤差反向傳播訓(xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題的基本思想是利用BP算法，通過信息的正向傳播和誤差的反向傳播，不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)值和閾值，使輸出和樣本的實際標簽之間的誤差達到最小。渦激響應(yīng)尾流雙振子模型的參數(shù)反演思路為，生成多組未知參數(shù)數(shù)據(jù)，通過求解尾流雙振子模型(9)得到每組未知參數(shù)下的位移時間序列數(shù)據(jù)；分別計算每組豎直和水平位移數(shù)據(jù)的最大值、最小值和均方根，并以這6個數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，以未知的4個參數(shù)為輸出，優(yōu)化目標為式(15)，即可訓(xùn)練出對應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；將試驗得到的一組位移數(shù)據(jù)代入已訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即可輸出一組未知參數(shù)的值。

4.3 基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在局部極值，誤差較大?，F(xiàn)采用遺傳算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化，即使用遺傳算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進行優(yōu)化，進一步提高參數(shù)反演的精度。遺傳算法以優(yōu)勝劣汰的自然選擇和基因階段的遺傳變異原理作為基礎(chǔ)，是一種具有很強隨機搜索能力的智能算法，可以取得很好的搜索效果。遺傳算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化，實際上是對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進行優(yōu)化。首先確立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)并得到一組初始權(quán)值和閾值，遺傳算法將對其編碼，并再次通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，得到的誤差作為適應(yīng)度。然后不斷經(jīng)過選擇、交叉和變異操作使適應(yīng)度逐漸增加，最終滿足精度條件，得到最優(yōu)權(quán)值和閾值。最后再代回BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行求解。具體流程如圖5所示。

4.4 參數(shù)設(shè)置及誤差定義

尾流雙振子模型的參數(shù)取值列入表2。

反演數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的誤差計算公式為

(17)

表2 參數(shù)取值

圖5 求解參數(shù)反演問題分析流程

5 參數(shù)反演結(jié)果分析

利用遺傳算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法反演參數(shù)。遺傳算法中初始種群數(shù)目取為20，進化代數(shù)取為80，交叉概率取為0.95，變異概率取為0.001。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由一個輸入層、一個隱藏層和一個輸出層構(gòu)成，網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)選取如下，輸入層神經(jīng)元個數(shù)取為6，隱藏層神經(jīng)元個數(shù)取為8，輸出層神經(jīng)元個數(shù)取為2，數(shù)據(jù)庫樣本個數(shù)取為8000，訓(xùn)練集個數(shù)取為7200，驗證集個數(shù)取為800，訓(xùn)練誤差目標取為10-4，學(xué)習(xí)效率取為0.4，傳遞函數(shù)取為{tansig,purelin}，未知參數(shù)αx和αy的取值范圍為(0,1)，未知參數(shù)βx和βy的取值范圍為(0,10)。此外，每組試驗數(shù)據(jù)分別訓(xùn)練50次，取平均值作為參數(shù)的最終預(yù)測結(jié)果。需要指出的是，由于試驗誤差，試驗得到的位移數(shù)據(jù)沒有呈現(xiàn)穩(wěn)定后的周期震蕩模型，但大致穩(wěn)定在某個固定區(qū)間之內(nèi)。為了減小參數(shù)反演誤差，現(xiàn)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)，即豎直和橫向位移的最大和最小實驗數(shù)據(jù)做以下處理，以第3組試驗的水平方向位移最大值為例，利用Matlab程序找到數(shù)據(jù)的峰值，再求出峰值的平均值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)位移最大值的輸入，如圖6所示。基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法流程如圖5所示，其中遺傳算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始參數(shù)如前所述。

圖6 試驗數(shù)據(jù)輸入最大值的處理

利用遺傳算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法反演參數(shù)的誤差Ret列入表3，誤差隨水的流速變化如圖7所示。由表3可知，三種方法所得結(jié)果的平均誤差分別為10.37%、7.53%和5.50%，基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的平均誤差相比遺傳算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法分別降低了46.96%和26.96%。此外，由圖7可知，遺傳算法的穩(wěn)定性最差，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)次之，遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性最好。遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)參演結(jié)果列入表4。

圖7 三種模型方法的誤差比較

圖8為利用遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反演結(jié)果與第3、4和第6組試驗無量綱位移數(shù)據(jù)的對比，其中圖8左圖分別表示第3、4和第6組試驗方法與反演方法水平和豎直方向無量綱位移數(shù)據(jù)的對比，圖8右圖分別表示第3、4和第6組試驗數(shù)據(jù)與反演數(shù)據(jù)水平和豎直方向運動軌跡的對比?？梢钥闯觯谶z傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法反演結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。因此，基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能算法能夠精確穩(wěn)定實現(xiàn)尾流雙振子模型的參數(shù)確定。

表4 遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演結(jié)果Tab.4 Parameter inversion results of BP neural network optimized by genetic algorithm

最后以第3組參數(shù)反演問題為例進行靈敏度分析，研究反演參數(shù)的微小偏差對反演精度的影響。將兩個參數(shù)值分別在參數(shù)反演結(jié)果附近微小擾動，圖9給出了誤差Ret的值，其中灰色點代表遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演結(jié)果。

可以看出，參數(shù)反演結(jié)果處于在局部最優(yōu)解附近，進一步驗證了反演方法的正確性。此外，通過計算誤差沿兩個參數(shù)的變化率可發(fā)現(xiàn)，誤差Ret對參數(shù)βx和βy更加敏感。在反演結(jié)果(0.8214±0.2，10.0674±0.5)附近的參數(shù)取值(灰色實線區(qū)域)對應(yīng)的誤差Ret約為6%，在反演結(jié)果(0.8214±0.5，10.0674±1)附近的參數(shù)取值(灰色虛線區(qū)域)對應(yīng)的誤差Ret約為10%。該靈敏度分析結(jié)果可為類似問題的參數(shù)取值提供可靠的理論分析基礎(chǔ)。

圖8 第3、4和第6組試驗位移數(shù)據(jù)與反演數(shù)據(jù)對比

圖9 第3組參數(shù)反演問題中的參數(shù)取值域

6 結(jié) 論

本文主要研究了尾流雙振子模型中未知參數(shù)的反演方法，給出了基于物理試驗和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的參數(shù)反演方法。利用降階法將尾流雙振子模型轉(zhuǎn)換為一階常微分方程組，并使用龍格-庫塔方法實現(xiàn)模型的求解。給出了一種新型的圓柱結(jié)構(gòu)水槽試驗設(shè)計方案，獲取了圓柱結(jié)構(gòu)在水平和豎直方向的位移試驗數(shù)據(jù)?；谠囼灁?shù)據(jù)，構(gòu)建了最優(yōu)化模型，并利用基于遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對尾流雙振子模型中四個未知參數(shù)進行了反演，誤差處于可接受范圍之內(nèi)。本文的工作將為懸浮隧道等實際工程結(jié)構(gòu)的渦激振動響應(yīng)分析提供理論基礎(chǔ)。