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    空間曲梁單元的扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)研究

    2021-03-19 02:58:22宋泰宇李國平
    計算力學(xué)學(xué)報 2021年1期
    關(guān)鍵詞:曲梁剪應(yīng)力出版社

    宋泰宇,李國平

    (1.同濟大學(xué)建筑設(shè)計研究院(集團)有限公司,上海 200092; 2.同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院,上海 200092)

    1 引 言

    有限單元法是在當(dāng)今技術(shù)科學(xué)發(fā)展和工程分析中最強有力的數(shù)值方法[1,2],廣泛應(yīng)用于機械、橋梁和房屋等工程分析中。梁-桿件是工程結(jié)構(gòu)的重要組成,有限元分析一般通過引入平截面假設(shè)將桿件簡化為一維問題,從而采用梁單元求解。在實際工程中,常會采用曲線形梁結(jié)構(gòu),如橋梁工程中的彎梁和房屋工程中支撐球形網(wǎng)殼的曲梁等。由于曲梁的軸線是曲線,所以梁中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)是耦合的,梁內(nèi)存在扭矩。

    有限元分析曲梁主要有兩類單元,(1) 可以考慮扭矩的空間直梁單元; (2) 由三維實體單元退化而來的空間曲梁單元??臻g直梁單元是用折線代替曲線,優(yōu)點是表達格式較為簡單,但是,直梁單元中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)各自獨立,互不耦合,因此使用直梁單元模擬的曲梁在離散時較為困難,會出現(xiàn)彎矩和扭矩不連續(xù)等問題,同時劃分必須用較密集的網(wǎng)格;三維空間曲梁單元中的拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)幾種變形和應(yīng)力狀態(tài)是相互耦合的,這類單元的有限元程式是由三維實體單元推導(dǎo)而來,其位移和轉(zhuǎn)動自由度相互獨立,因此形函數(shù)只需要C0連續(xù)性[1],可以適用于各種形狀的直、曲梁結(jié)構(gòu)。同時,這類單元構(gòu)造時考慮了橫向剪切變形,可以同時適用于淺梁和深梁的分析。因此,當(dāng)考慮計算的精確度和有限元程序的普遍適用性時,宜采用空間曲梁單元進行曲梁結(jié)構(gòu)的分析。

    2 空間曲梁單元的剪應(yīng)力

    2.1 有限元程式

    三維曲梁單元中任一點在全局坐標(biāo)系中的幾何位置為

    (1)

    在小轉(zhuǎn)動的條件下,空間曲梁單元中任一點在全局坐標(biāo)系的位移場為

    (2)

    圖1 三維空間曲梁單元[1]

    式中{δk}={uk,vk,wk,θx k,θy k,θz k}T為結(jié)點k在全局坐標(biāo)系下的結(jié)點位移向量,{uk,vk,wk}T為平動向量,{θx k,θy k,θz k}T為轉(zhuǎn)動向量;其余符號意義同前。在局部坐標(biāo)系中,三維空間曲梁單元的彈性本構(gòu)矩陣的表達式為

    (3)

    式中E和G分別為楊氏彈性模量和剪切剛度,κ為剪切校正因子。本文只列出與本文相關(guān)的方程,空間曲梁單元的完整有限元程式可參見文獻[14]??臻g曲梁單元在梁軸線是直線時退化為 Timo -shenko 梁單元。

    本有限元程式中,數(shù)值計算采用減縮積分的3結(jié)點二次曲梁單元(2個高斯積分點),可有效避免剪切鎖死和零能模式。

    2.2 計算剪應(yīng)力和真實剪應(yīng)力

    矩形截面梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)時,各截面發(fā)生翹曲,不再保持平面。但是,從式(2)可以看出,扭轉(zhuǎn)角θx對軸向變形u沒有影響,即空間曲梁單元不能考慮扭轉(zhuǎn)翹曲的影響。根據(jù)理論和試驗結(jié)果[15,16],對于跨長大于橫截面尺寸4倍的實心截面梁來說,翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力與相應(yīng)的彎曲正應(yīng)力和剛性扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比較小,一般不超過5%,可不考慮翹曲的影響,采用單純扭轉(zhuǎn)理論分析[15]。因此,空間曲梁單元不考慮翹曲影響所引起的誤差較小,在工程設(shè)計容許范圍內(nèi)。

    將式(2)的位移場代入彈性力學(xué)的基本幾何方程,即可得到空間曲梁單元的6個應(yīng)變分量,將剪應(yīng)變代入式(3)即可得剪應(yīng)力,矩形截面空間曲梁單元上由橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力分別如 圖2(a,c)所示??梢钥闯?,計算的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度方向為常值,而真實的彎曲剪應(yīng)力近似為拋物線分布(圖2(b));計算的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈線性分布,在對角線頂點處達到最大值,而真實扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈非線性分布,在矩形長邊中點達到最大值,在對角線頂點處為0(圖2(d))。

    3 扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)

    圖2 梁單元截面上的剪應(yīng)力分布

    圖3 梁截面

    利用彈性力學(xué)的應(yīng)力函數(shù)可得到截面上扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的解析解[18]為

    (4)

    (5)

    式中αn=(2n+1)π/2a(n=0,1,2,…)。根據(jù)式(2)和幾何方程可得空間曲梁單元截面上的剪應(yīng)力

    τx z 2=-θGy,τz y 2=θGx

    (6,7)

    (8)

    (9)

    4 算例驗證分析

    基于上述的空間曲梁單元模型,文獻[14]編制了相應(yīng)的有限元電算程序。為了驗證上述推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)的正確性,以一矩形截面曲線懸臂梁為例,基于實體單元模型的結(jié)果對空間曲梁單元模型計算結(jié)果的正確性進行驗證和分析。

    表1 扭轉(zhuǎn)剛度修正系數(shù)Tab.1 Correction factors of torsional stiffness )

    曲線懸臂梁的平面布置如圖4所示,選取兩個截面尺寸分別為20cm(高)×20cm(寬)和20cm×10cm,E=3.45×107kN/m2,G=1.725×107kN/m2,在懸臂梁末端施加豎向單位力P =1kN。實體有限元模型利用有限元軟件ABAQUS[19]建立,模型采用網(wǎng)格細(xì)化的三次高階單元(C3D20R)以保證模型的計算準(zhǔn)確度(圖5)。

    表2 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力修正系數(shù)λTab.2 Correction factors of torsional shear (λ)

    圖4 曲線懸臂梁平面

    圖5 曲線懸臂梁的實體單元模型

    圖6 曲線懸臂梁沿梁長的撓度和扭轉(zhuǎn)角的對比

    5 結(jié) 論

    (1) 曲梁是典型的空間結(jié)構(gòu),具有彎扭耦合特性,受力狀態(tài)較復(fù)雜。對于曲梁結(jié)構(gòu)的分析,與解析解法、實體單元模型和直梁單元模型相比,采用空間曲梁單元模型最符合曲梁真實的幾何和受力特點,分析方法具有較高的準(zhǔn)確度和效率。

    (6) 與本文研究內(nèi)容相關(guān)的,空間曲梁單元模型采用分層法進行非線性受力性能分析時,單元的分層數(shù)需不少于4層(減縮積分),每個單元對應(yīng)的圓心角不大于6°,以保證獲得準(zhǔn)確的彎剪扭受力性能。

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