兩種離散方法對覆冰四分裂導(dǎo)線舞動特征的影響

閔光云，劉小會*,，孫測世，蔡萌琦

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；3.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106)

1 引 言

隨著我國電網(wǎng)的快速發(fā)展，輸電線的舞動已經(jīng)引起很多學(xué)者的關(guān)注，實際上輸電線的跨徑遠大于其直徑，因此其屬于柔性索結(jié)構(gòu)。Irvine[1]首先對懸索結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)、線性和非線性動力學(xué)進行了研究，并提出了重要的Irvine參數(shù)。Perkins[2]將外部激勵分為兩種，即參數(shù)激勵和周期激勵，并研究了兩自由度彈性懸索模態(tài)之間的相互作用。Rega[3]首先從理論方面系統(tǒng)地闡述了懸索的力學(xué)建模、響應(yīng)和非線性現(xiàn)象，接著從實驗方面進行驗證，證明了其研究成果的正確性，給予實際工程一些參考。Lilien等[4]分析了單導(dǎo)線、二分裂導(dǎo)線、三分裂導(dǎo)線和四分裂導(dǎo)線的實測舞動數(shù)據(jù)，得到一些有價值的成果。

針對懸索結(jié)構(gòu)的研究，國內(nèi)學(xué)者也做出許多貢獻。晏致濤等[5]基于空間曲梁理論建立了節(jié)點6自由度導(dǎo)線有限元模型，并采用Newton-Raphson迭代法進行靜力非線性求解，得到一些很有意義的結(jié)論。肖一等[6]在已有的研究基礎(chǔ)上，考慮了彎曲剛度對懸索的影響，并修改了已有文獻中沒有考慮抗彎剛度的誤差。趙躍宇等[7]根據(jù)Hamilton變分原理，推導(dǎo)了考慮抗彎剛度的三維非線性動力學(xué)方程，然后利用多尺度法分析了斜拉索可能的內(nèi)共振模式，并用數(shù)值方法研究了彎曲剛度對內(nèi)共振的影響。呂建根等[8]基于拉索和橋梁連接處的變形協(xié)調(diào)條件，采用Hamilton變分原理建立了索-梁結(jié)構(gòu)耦合的非線性偏微分方程，運用Galerkin離散法和多尺度法研究了梁主共振情形下索-梁結(jié)構(gòu)的 1∶1相互作用。

本文首先建立了覆冰導(dǎo)線三自由度動力學(xué)方程，接著應(yīng)用兩種不同的方法離散動張力應(yīng)變，最后利用Galerkin法將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。通過風(fēng)洞試驗測得四分裂導(dǎo)線的氣動力系數(shù)，并得到了四分裂導(dǎo)線中心軸處的氣動力系數(shù)，最后系統(tǒng)地研究了導(dǎo)線的舞動特性，并考察了兩種不同的離散方法對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響。

2 三自由度舞動方程

2.1 單檔導(dǎo)線數(shù)學(xué)模型

建立圖1所示的單檔導(dǎo)線數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)線兩端用固定鉸鏈約束，選取左端懸掛點為坐標原點建立笛卡爾空間坐標系O-x-y-z。圖中u1,u2和u3分別為x，y和z軸方向的動態(tài)位移。

由于覆冰的作用，導(dǎo)線的橫截面不再是規(guī)則的圓形，因此其質(zhì)心不再是圓心。哈密頓變分原理隸屬于能量法，其本質(zhì)是系統(tǒng)能量的守恒，盡管導(dǎo)線由于覆冰的影響會發(fā)生偏心轉(zhuǎn)動，但是哈密頓原理亦非常適用于舞動方程的推導(dǎo)。由哈密頓變分原理可得

(1)

式中kv為系統(tǒng)的動能，Π為系統(tǒng)的勢能，w為系統(tǒng)非保守力做功。

動能、勢能以及非保守力做功分別為

(2)

式中 圓點為對時間t求導(dǎo)，Sz和Sy為靜矩，EI為抗彎剛度，EA為抗拉剛度，GIP為扭轉(zhuǎn)剛度，ε為拉應(yīng)變，J為轉(zhuǎn)動慣量，θ為扭轉(zhuǎn)角，ui為動態(tài)位移，εθ為扭轉(zhuǎn)應(yīng)變，pi和pθ為外部激勵力，ci和cθ為阻尼系數(shù)，T為靜態(tài)張力，l為跨徑。

圖1 單檔導(dǎo)線數(shù)學(xué)模型

將式(2)代入式(1)，且只考慮導(dǎo)線豎向、橫向和扭轉(zhuǎn)方向的耦合振動，則可得

(3a)

(3b)

(3c)

2.2 直接離散法

針對動張力應(yīng)變的處理，不同的學(xué)者有不同的習(xí)慣。文獻[9-12]選擇直接離散法，即直接應(yīng)用一階模態(tài)截斷法與Galerkin法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。詳細步驟如下。

首先將動態(tài)位移表示為振動函數(shù)與模態(tài)函數(shù)的乘積，即

u2(x,t)=Ψ2(x)q2(t)

(4a)

u3(x,t)=Ψ3(x)q3(t)

(4b)

θ(x,t)=Ψθ(x)qθ(t)

(4c)

式中Ψ2，Ψ3和Ψθ為模態(tài)函數(shù)，q2，q3和qθ為振動函數(shù)。

接著將式(4)代入式(3)，可得

(5a)

(5b)

(5c)

式(5)中一瞥表示對位移x求導(dǎo)，且其中

(6)

對式(5a)使用Galerkin法可得

(7a)

對式(5b)使用Galerkin法可得

(7b)

對式(5c)使用Galerkin法可得

(7c)

式(7)即為直接離散法所得的覆冰導(dǎo)線三自由度耦合舞動方程。

2.3 間接離散法

文獻[13-15]認為覆冰導(dǎo)線x軸方向的振動比較微弱，因此可忽略覆冰導(dǎo)線x軸方向所受慣性力，基于這種思想可以將式(3)的動張力應(yīng)變等效處理，等效后的應(yīng)變?yōu)?/p>

(8)

接著可將式(3)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(9a)

(9b)

(9c)

將式(4)代入式(9a)，使用Galerkin法可得

(10a)

將式(4)代入式(9b)，使用Galerkin法可得

(10b)

將式(4)代入式(9c)，使用Galerkin法可得

(10c)

式(10)為間接離散法所得覆冰導(dǎo)線的三自由度耦合舞動方程。

2.4 氣動荷載數(shù)學(xué)模型

建立氣動載荷分析數(shù)學(xué)模型如圖2所示，覆冰冰型為新月形，F(xiàn)L為氣動升力，F(xiàn)D為氣動阻尼，U為平均風(fēng)速，Ur為相對風(fēng)速，D為導(dǎo)線直徑。

P2為使用Galerkin法后豎向的氣動載荷，P3為使用Galerkin法后橫向的氣動載荷，Pθ為使用Galerkin法后扭轉(zhuǎn)方向上的氣動載荷，且

(11a)

(11b)

(11c)

Cy(α)=α1α+α2α2+α3α3

(12a)

Cz(α)=β1α+β2α2+β3α3

(12b)

CM(α)=γ1α+γ2α2+γ3α3

(12c)

圖2 覆冰導(dǎo)線橫截面及相對流場

αi,βi以及γi可通過風(fēng)洞試驗測得，與初始轉(zhuǎn)角、扭轉(zhuǎn)角以及相對風(fēng)速有關(guān)。

聯(lián)立式(11,12)得

(13a)

(13b)

(13c)

將式(13)代入式(7)可得直接離散法下新的覆冰導(dǎo)線三自由度舞動方程為

(14)

同理，將式(13)代入式(10)可得間接離散法下新的覆冰導(dǎo)線三自由度舞動方程為

(15)

3 數(shù)值算例

覆冰導(dǎo)線的氣動力系數(shù)是分析覆冰導(dǎo)線舞動特征的重要參數(shù)，式(12)也驗證了這一點。為了獲取新月型覆冰導(dǎo)線的氣動力系數(shù)，進行了風(fēng)洞試驗。試驗的主要對象是覆冰四分裂導(dǎo)線，通過試驗可測得覆冰四分裂導(dǎo)線每一根子導(dǎo)線的氣動力系數(shù)，接著采用合適的方法可得到覆冰四分裂導(dǎo)線中心軸處的等效氣動力系數(shù)，如圖3所示。

可以看出，當(dāng)攻角α在40°～120°以及160°～180°時覆冰四分裂導(dǎo)線的等效氣動升力系數(shù)曲線具有負斜率，此時導(dǎo)線極易發(fā)生舞動[16，17]。選取攻角為55°時的三分力氣動系數(shù)，并將其α=0處進行泰勒展開，可得到三次擬合曲線，即

Cy=-0.96060α-1.40716α2+97.62315α3

(16a)

Cz=2.39795α-7.00826α2-119.95612α3

(16b)

CM=2.6744α+22.30868α2-132.0081α3

(16c)

覆冰物理參數(shù)列入表1。將表1的物理參數(shù)代入覆冰導(dǎo)線的三自由度舞動方程，結(jié)合氣動力系數(shù)與Runge -Kutta法可得到直接離散法與間接離散法下覆冰導(dǎo)線的位移響應(yīng)曲線，如圖4和圖5所示。

可以看出，兩種離散方法所得的位移響應(yīng)曲線有一定程度的區(qū)別，其中扭轉(zhuǎn)方向的位移響應(yīng)曲線區(qū)別最為明顯。覆冰導(dǎo)線主要的位移響應(yīng)表現(xiàn)為面內(nèi)的豎向位移，即面外的位移很小，這與已有文獻的研究結(jié)果一致。

圖3 氣動力系數(shù)

表1 導(dǎo)線的物理參數(shù)

圖4 直接離散法下的位移響應(yīng)

圖5 間接離散法下的位移響應(yīng)

為了更清楚地比較兩種離散方法下位移響應(yīng)曲線的區(qū)別，選取覆冰導(dǎo)線處于穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時的數(shù)據(jù)得到局部位移響應(yīng)曲線，如圖6所示。

圖6 局部位移響應(yīng)

可以看出，在面內(nèi)、面外以及扭轉(zhuǎn)這三個方向上，間接離散法所得的位移響應(yīng)皆比直接離散法所得的位移響應(yīng)大，扭轉(zhuǎn)方向的差異尤為明顯；兩種離散方法下所得的頻率、相位以及振幅都有一定的差別。因此針對具體的覆冰導(dǎo)線進行舞動特征分析時，選擇哪一種離散方法較切合實際情況值得考究，離散方法的不同可能導(dǎo)致理論結(jié)果與實際工況存在一定的誤差，這是一個值得注意的現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

(1) 直接離散法與間接離散法所得的舞動方程的系數(shù)表達式存在一定的差異，系數(shù)存在差異會導(dǎo)致位移響應(yīng)存在區(qū)別。

(2) 直接離散法與間接離散法對覆冰導(dǎo)線的頻率、相位以及幅值都有一定程度的影響，且在扭轉(zhuǎn)方向上，選擇不同的離散方法所得的幅值差別較大。

(3) 針對具體的覆冰導(dǎo)線進行舞動特征分析時，離散方法的不同可能會導(dǎo)致理論結(jié)果與實際工況存在差異，這是一個值得注意的現(xiàn)象。