動點軌跡為直線的模型

胡海友

基本模型：形狀不變的三角形（△ABC），有一個頂點（A）固定不動，如果第二個頂點B在一條定直線上運動，那么第三個頂點C必在一條定直線上運動.以這一模型為背景的動點問題是中考常見題型，下面以中考題為例簡析解此類題的關(guān)鍵.

一、認識模型，找尋方法

例1（2020·遼寧·沈陽·第24題）在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC.

（1）如圖1，當α = 60°時，①求證：AP = CD;②求∠DCP的度數(shù).

（2）如圖2，當α = 120°時，請直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系.

（3）當α = 120°時，若AB = 6，BP = [31]，請直接寫出點D到CP的距離 .

[P][D][B][C][A][圖1] [D][P][A][C][B][圖2]

分析：①尋找模型：△BPD為頂角為α的等腰三角形（形狀不變）;△BPD的第一個頂點B固定不動，第二個頂點P在直線AC上，則第三個頂點必在一條定直線上.

②證明思路：先找到△BPD的一個特殊位置△ABC（點P與點A重合），然后證明△PBA和△DBC全等或相似，得到∠BCD = ∠BAP = 180° - α，所以∠BCD為定角，又因為CB為定邊，可得CD為定直線，所以點D在定直線CD上運動.

解：（1）易得圖1中△ABC和△BPD都是等邊三角形，可證△PBA ≌△DBC（SAS），得AP = CD，∠BCD = ∠BAP = 120°，所以∠DCP = ∠BCD - ∠ACB = 120° - 60° = 60°.

（2）圖2中的△ABC可以看作是△BPD的一個特殊位置（點P與點A重合），符合上面模型，先證△ABC ∽△PBD，可得[BPBD] = [ABBC]，可證得∠PBA = ∠DBC，進而證得△PBA∽△DBC（兩邊成比例且夾角相等），得[CDAP] = [BCBA] = [3]，∠BCD = ∠BAP = 60°，所以∠PCD = ∠BCD - ∠ACB = 60° - 30° = 30°.

（3）如圖3，△CBP中，已知兩邊和一角，即BC = [3AB] = 6[3]，BP = [31]，∠BCP = 30°，過點B作BN⊥CP交直線CP于N. 即可求出AP = 1或5，再由第（2）問中的[CDPA] = [3]可求得CD = [3]或5[3];過點D作DM⊥PC于M，由前面結(jié)論∠PCD = 30°可求得DM = [32]或[532] .

二、強化模型，拓展提升

例2（2020·湖北·襄陽·第24題）在△ABC中，[∠BAC=90°]，[AB=AC].點D在邊[BC]上，[DE⊥DA]且[DE=DA]，[AE]交邊[BC]于點[F]，連接[CE].

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖4，當[AD=AF]時，①求證：[BD=CF];②[∠ACE=] °.

（2）探究證明：如圖5，當[AD≠AF]時，[∠ACE]的度數(shù)是否為定值，并說明理由.

（3）拓展運用：如圖6，在（2）的條件下，當[EFAF=13]時，過點[D]作[AE]的垂線，交[AE]于點[P]，交[AC]于點[K]，若[CK=163]，求[DF]的長.

（4）變式訓(xùn)練：若AC = 6[2]，連接BE，當AE + BE有最小值時，DF = .

[A][B][D][F][E][C] [A][B][D][F][E][C] [A][B][D][F][E][C] [P][K][圖5][圖4][圖6]

解析：（1）特殊情況下易證BD = CF，[∠ACE=] 90°;也可以與下面（2）問證法相同.

（2）①圖5中△ADE為∠ADE = 90°，∠DAE = 45°的等腰直角三角形，形狀不變;

②△ADE的第一個頂點A固定不動，第二個頂點D在直線BC上運動，則第三個頂點必在一條定直線上運動;

③如圖7，過點A作AM⊥BC于點M，可證△AMC也是等腰直角三角形，△AMC可以看作是△ADE的一個特殊位置（點D與點M重合），先證△ADE ∽△AMC，可得[ADAM] = [AEAC]，即[ADAE] = [AMAC]，再證得∠DAM = ∠EAC，可證△DAM ∽△EAC，得∠ACE = ∠AMD = 90°;

④由于∠ACE的頂點C不動，一邊CA不動，角度不變?yōu)?0°，可以確定另一邊CE為定直線，所以點E在過點C且垂直于CA的定直線上運動.

（3）如圖7，由第（2）問中的∠ACE = 90°以及∠BAC = 90°，可證AB[?]CE，則△ABF ∽△ECF，

∴[CEAB] = [CFBF] = [EFAF] = [13]，可得AB = 3CE，即AC = 3CE，

設(shè)CE = a，則AB = AC = 3a，

由CK = [163]得AK = AC - CK = 3a - [163]，

可證DK垂直平分AE，則KE = AK = 3a - [163]，

在Rt△CEK中，由勾股定理得[EK2] = [CK2] + [CE2]，[可]得a = 4，則CE = 4，AC = 12，

則AE = [AC2+CE2] = 4[10]，則DP = [12]AE = 2[10]，

由[EFAF] = [13]，[PE] = AP = [12]AE，可得PF = [12]PE = [14]AE = [10]，

在Rt△DPF中，DF = [DP2+PF2] = 5[2].

[圖7][A][K][C][P][M][F][E][B][D] [A][C][F][E][D][A'][F'][圖8][B]

（4）如圖8，因為點E在垂直于AC的直線上運動，故本題屬于“將軍飲馬”問題，作點A關(guān)于CE的對稱點A'，連接A'B，當點E在A'B上時，AE + BE最小，且最小值為線段A'B的長.

可證△A'CE ∽△A'AB，得[CEAB] = [A'CA'A] = [12]，再證△FCE ∽△FBA，則[CFBF] = [CEAB] = [12]，可得[CFBC] = [13].

∴CF = [13]BC = [13] ×[ 2]AC = [13] ×[ 2] × 6[2] = 4，BF = 8，

將△ACF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF'，再證△ADF ≌△ADF'，得BF' = CF，DF' = DF;

在Rt△DBF'中，由勾股定理得[F'D2] = [BD2] + [F'B2]，即[DF2] = [BD2] + [CF2]，

即[DF2] = [（8-DF）2] + [42]，解得DF = 5.

綜上所述，通過實例認識模型，可為以后研究定點到動點的最小距離做好鋪墊.

（作者單位：沈陽市第一二六中學(xué)）