帶投資和障礙分紅的破產(chǎn)時刻Laplace變換

孫宗岐，楊 鵬

1) 西京學(xué)院醫(yī)學(xué)院，陜西西安 710123；2) 西京學(xué)院理學(xué)院，陜西西安 710123

在保險資金的管理中，線性障礙分紅和閾值分紅是保險公司?？紤]到的分紅機制，因此，在復(fù)合風(fēng)險下，帶投資與線性障礙分紅的Gerber-Shiu函數(shù)問題也是一個值得研究的問題．GERBER等[1]提出一種分析保險盈余過程精算特征的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)懲罰函數(shù)(Gerber-Shiu函數(shù))，其在刻畫保險公司破產(chǎn)時刻的Laplace變換、破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時瞬間盈余及破產(chǎn)時的赤字分布時均有統(tǒng)一的微分-積分方程，因此，該函數(shù)受到廣泛研究關(guān)注．LIN等[2]將該函數(shù)引入考慮分紅的經(jīng)典風(fēng)險模型中，研究破產(chǎn)時刻的Laplace變換．趙金娥等[3]利用Gerber-Shiu函數(shù)研究障礙分紅下賠付到來為P-稀疏過程破產(chǎn)時刻的Laplace變換問題．陳潔等[4]研究離散風(fēng)險模型中帶障礙分紅的Gerber-Shiu函數(shù)，在指數(shù)分布下得到破產(chǎn)時刻的Laplace變換顯式解；韓樹新等[5]考慮兩類稀疏風(fēng)險模型中帶障礙分紅的Gerber-Shiu函數(shù)問題，也在指數(shù)分布下得到破產(chǎn)時刻的Laplace變換顯式解．然而以上研究都沒有考慮保險實務(wù)中普遍存在的免賠額規(guī)定和無賠款保費折扣優(yōu)待制度．

毛澤春等[6]基于保單免賠規(guī)定和無賠款保費折扣優(yōu)待制度，提出復(fù)合Poisson-Geometric過程(復(fù)合P-G過程)，很好刻畫了賠付和索賠不對等的事實，并利用偏離系數(shù)精確刻畫二者之間的不對等程度．賀麗娟等[7]在復(fù)合P-G風(fēng)險下研究變保費率的Gerber-Shiu函數(shù)，喬克林等[8]也在復(fù)合P-G風(fēng)險下繼續(xù)考慮帶風(fēng)險投資的復(fù)合P-G風(fēng)險破產(chǎn)概率．YANG等[9]得到帶擾動的相依風(fēng)險模型Gerber-Shiu函數(shù)所滿足的積分方程，最后在指數(shù)分布下給出Gerber-Shiu函數(shù)所滿足的顯式解．蘇必超等[10]利用概率的計算性質(zhì)，給出破產(chǎn)時刻的概率密度函數(shù)．在復(fù)合風(fēng)險下，孫宗岐等[11-12]研究保險公司的破產(chǎn)概率及帶投資的障礙分紅問題．然而以上研究沒有考慮分紅或投資，大多也未能得到破產(chǎn)時刻的Laplace變換顯式解．

為了使風(fēng)險模型更接近保險公司的實際運作情況，基于以上研究現(xiàn)狀，本文研究復(fù)合風(fēng)險下，帶投資和障礙分紅時，保險公司破產(chǎn)時刻的Laplace變換問題，并在指數(shù)分布下求解破產(chǎn)時刻的Laplace變換顯式解．

1 模型建立

假設(shè)所有隨機過程和隨機變量都定義在完備概率空間(Ω,Ft,F,P)上．先給出保費過程、賠付過程、盈余過程及障礙分紅的數(shù)學(xué)模型．

1.1 索賠過程、盈余過程及障礙分紅的刻畫

1.1.1 索賠過程

通過分析索賠事件與賠付事件不對等的事實，毛澤春等[6]提出如下復(fù)合P-G過程．

定義1設(shè)λ>0， 0≤γ<1， 稱非負整值隨機變量N服從參數(shù)為λ和γ的復(fù)合P-G分布，如果其矩母函數(shù)為

其中，γ為偏離系數(shù);r為任意實數(shù)．當γ=0時，MN(r)=E(erN)=exp[λ(er-1)]， 此時復(fù)合P-G分布退化成一般Poisson分布．

定義2設(shè)λ>0， 0≤γ<1， 稱隨機過程{N(t)}為服從參數(shù)為λ和γ的復(fù)合P-G過程，如果滿足

1)N(0)=0；

2)N(t)具有獨立平穩(wěn)增量；

3) 對任意t≥0，N(t)服從參數(shù)為λ和γ的復(fù)合P-G分布，且

當γ=0時，復(fù)合P-G過程退化為一般的Poisson過程．

以下討論假設(shè)保險賠付過程滿足復(fù)合P-G過程的情況．

1.1.2 盈余過程

dP(t)=P(t)(μdt+σd(W(t)))

其中，μ為單位風(fēng)險資產(chǎn)的收益率；σ為單位風(fēng)險資產(chǎn)的波動率．同時，保險公司選擇將剩余盈余全部投資到無風(fēng)險資產(chǎn)．為了方便推導(dǎo)，假設(shè)無風(fēng)險利率為0．因此，保險公司的盈余過程為

(1)

其中，W(t)為一維標準布朗運動；N1(t)、N2(t)、Xi、Yi及W(t)相互獨立．

1.1.3 障礙分紅

1.2 Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

2 障礙分紅下的函數(shù)

2.1 準備工作

為方便證明，做如下假設(shè)．

這表明累積賠付額服從參數(shù)為(1-γ)β的指數(shù)分布．在足夠小的時間dt內(nèi)，討論保費和賠付的幾種概率如下．

1) 保費到來和賠付到來均為0次的概率．

P(N1(dt)=0,N2(dt)=0)=

[1-λ1dt+o(dt)][1-λ2dt+o(dt)]=

1-(λ1+λ2)dt+o(dt)

2)保費到來為0次，而賠付到來為k次的概率．

P(N1(dt)=0,N2(dt)=k)=

[1-λ1dt+o(dt)][α1γkdt+Ak(dt)+o(dt)]=

3)保費到來1次，而賠付到來為0次的概率．

P(N1(dt)=1,N2(dt)=0)=

λ1dt[1-λ2dt+o(dt)]=λ1dt+o(dt)

4)其他情形下，事件發(fā)生的概率均為o(dt)．

2.2 Gerber-Shiu函數(shù)

定理1當0≤u≤b時，Gerber-Shiu函數(shù)G(u;b)滿足

當u>b時，Gerber-Shiu函數(shù)G(u;b)=G(b;b)．

【證】當0≤u≤b時，在足夠小的時間區(qū)間dt內(nèi)，由盈余的馬氏性及全期望公式有

流域的徑流量變化主要受兩個因素的影響：一為降水強度與其空間分布，二為流域內(nèi)區(qū)域的人為活動強度。由于人為活動對流域徑流的影響具有顯著的時空差異，因此流域水文過程具有趨勢性、階段性的特點。將本研究的研究對象設(shè)定為年徑流系數(shù)序列，是為了減少由降水強度差異引起的流域徑流變化，分析人為活動引起的流域年徑流變化的階段性。本研究采用的分析方法為：有序聚類法、序列滑動平均法等。

G(u;b)=E[G(U(dt);b)]=[1-(λ1+λ2)dt+o(dt)]e-δdtE[G(u+F(μdt+σW(dt));b)]+

[λ1dt+o(dt)]e-δdtE[G(u+F(μdt+σW(dt))+X;b)]+

G(u;b)=[1-(λ1+λ2)dt+o(dt)]e-δdtG(u+F(μdt+σW(dt));b)+[λ1dt+o(dt)]e-δdt

y-u-F(μdt+σW(dt))×[α1γkdt+Ak(dt)+o(dt)]dF*k(y)+o(dt)

G(u;b)-G(u+F(μdt+σW(dt));b)=[-(λ1+λ2+δ)dt+o(dt)]G(U+F(μdt+σdW(dt));b)+

利用文獻[13]的性質(zhì)1及文獻[8]中的無窮小方法，將上式兩端同除以F(μdt+σdW(t))，并令dt→0， 則以概率1有積分-微分方程

(2)

成立，并且當u≥b時，由于存在障礙分紅，Gerber-Shiu函數(shù)滿足G(u;b)=G(b;b)，證畢．

結(jié)合定義3，由式(2)可知，在障礙分紅下，破產(chǎn)時刻的Laplace變換ψ(u;b)滿足

(3)

3 障礙分紅下破產(chǎn)時刻的Laplace變換

3.1 Laplace變換滿足的線性微分方程

定理2當0≤u≤b時，破產(chǎn)時刻的Laplace變換滿足ψ(u;b)線性微分方程

ψ?(u;b)+[(1-γ)β-α-

α(1-γ)β]ψ′(u;b)=

且滿足ψ(u;∞)=φ(u)．

【證】為方便證明，首先做以下幾個輔助工作．

在式(3)中，先換元，再對u求導(dǎo)，有

還有

運用以上結(jié)果，推導(dǎo)定理結(jié)論．對式(3)兩邊關(guān)于u求導(dǎo)，有

(4)

對式(4)兩邊關(guān)于u求導(dǎo)，有

(5)

將式(3)乘以-α后與式(4)相加,有

(6)

將式(4)乘以-α后與式(5)相加，有

(7)

將式(6)乘以(1-γ)β后與式(7)相加，有

(8)

若記無分紅時保險公司破產(chǎn)時刻的Laplace變換為φ(u)， 則ψ(u;∞)=φ(u)， 且邊界條件為

φ(∞)=0

(9)

3.2 無分紅時破產(chǎn)時刻的Laplace變換

在式(8)中，若令b→∞， 則得到無分紅情形下，破產(chǎn)時刻的Laplace變換φ(u)滿足

定理3無分紅時保險公司破產(chǎn)時刻的Laplace變換為

其中，

k2=Fμr1-(λ1+λ2+δ)-

r1是特征方程(11)的唯一負根．

(11)

【證】方程(11)為方程(10)的特征方程.受文獻[4]啟發(fā)，不妨設(shè)方程(11)有3個不同的實根r1、r2及r3， 則方程(10)的通解為

φ(u)=C1er1u+C2er2u+C3er3u，

φ(u)=C1er1u

(12)

以下求解C1． 若令b→∞， 則式(3)轉(zhuǎn)化為

(13)

將式(12)代入式(13)得

(14)

從式(14)中可解出C1， 再將C1代入式(12)，有

其中，

k2=Fμr1-(λ1+λ2+δ)-

3.3 障礙分紅下破產(chǎn)時刻的Laplace變換

定理4障礙分紅下保險公司破產(chǎn)時刻的Laplace變換為

從中解得P=Aψ(b;b)e-αb， 其中，

因此，方程(8)的通解為

ψ(u;b)=φ(u)+Aψ(b;b)e-αbeαu

(15)

由式(15)可知ψ(b;b)=φ(b)+Aψ(b;b)， 從中解出ψ(b;b)， 并代入式(15)，可得

結(jié) 語

在復(fù)合P-G風(fēng)險下，本研究克服了僅單方面研究破產(chǎn)時刻的Laplace變換問題，或僅單方面研究帶投資分紅問題的局限，將帶投資的障礙分紅問題與破產(chǎn)時刻的Laplace變換問題統(tǒng)一起來，進行進一步研究．運用隨機分析基本理論，得到帶投資和障礙分紅的破產(chǎn)時刻Laplac變換所滿足的更新方程，并在指數(shù)分布假設(shè)下，得到復(fù)合P-G風(fēng)險下投資和障礙分紅破產(chǎn)時刻的Laplac變換顯式解．